अंतरिक्ष में दो रेखाएं अलग-अलग तरीकों से स्थित हो सकती हैं। सबसे पहले, ऐसा हो सकता है कि दो रेखाओं का एक उभयनिष्ठ बिंदु हो। तब वे निश्चित रूप से एक ही विमान में झूठ बोलते हैं। दरअसल, इस तरह के एक विमान को बनाने के लिए, इसे तीन बिंदुओं के माध्यम से खींचने के लिए पर्याप्त है: संकेतित रेखाओं के चौराहे का बिंदु ए (चित्र। 323) और बिंदु सी और बी, क्रमशः लाइनों पर लिया गया। प्रत्येक रेखा के साथ दो उभयनिष्ठ बिंदु होने पर, समतल में दोनों रेखाएँ होंगी।
माना अब दी गई रेखाओं में कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। इसका मतलब यह नहीं है कि वे समानांतर हैं, क्योंकि समानांतर की परिभाषा का अर्थ है कि रेखाएं एक ही विमान से संबंधित हैं। हमारी रेखाओं के स्थान के प्रश्न को हल करने के लिए, आइए उनमें से एक के माध्यम से ड्रा करें, उदाहरण के लिए, और दूसरी सीधी रेखा पर एक मनमाने ढंग से लिया गया बिंदु A, समतल K। दो मामले संभव हैं:
1) निर्मित तल में पूरी दूसरी रेखा होती है (चित्र 324)। इस मामले में, प्रकार की रेखाएं एक ही विमान से संबंधित होती हैं और प्रतिच्छेद नहीं करती हैं और इसलिए समानांतर होती हैं।
2) तल X रेखा को बिंदु A पर काटता है। तब दोनों रेखाएं एक ही तल में नहीं होती हैं। ऐसी रेखाओं को प्रतिच्छेदन कहते हैं (चित्र 325)।
तो, दो पंक्तियों की पारस्परिक व्यवस्था के तीन मुख्य मामले हैं।
1. रेखाएँ एक ही तल में स्थित होती हैं और प्रतिच्छेद करती हैं।
2. रेखाएँ एक ही तल में स्थित हैं और समानांतर हैं।
3. रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, अर्थात् वे एक ही तल में नहीं होती हैं।
उदाहरण। घन के 12 किनारों में से, आप सीधी रेखाओं का एक जोड़ा बना सकते हैं। इनमें से 24 जोड़े प्रतिच्छेद, 24 प्रतिच्छेदन और 18 जोड़े समानांतर रेखाएं हैं। एक मॉडल या ड्राइंग द्वारा पाठक इसकी शुद्धता के बारे में आश्वस्त हो जाएगा।
ध्यान दें कि अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं की अभिधारणा वैध रहती है:
एक रेखा के बाहर एक बिंदु के माध्यम से उसके समानांतर केवल एक रेखा होती है।
दरअसल, इसके बाहर दी गई एक रेखा और एक बिंदु उस विमान को निर्धारित करता है जिसमें दी गई रेखा के समानांतर मांगी गई रेखा को झूठ बोलना चाहिए; इसकी विशिष्टता समानांतरों के अभिधारणा से होती है।
हम देखते हैं कि समांतर रेखाओं के गुणों से संबंधित ग्रहमिति के दो प्रसिद्ध प्रस्तावों के लिए स्थान के मामले के लिए एक विशेष औचित्य की आवश्यकता होगी (देखें भाग 232)।
यदि दो रेखाएँ एक तिहाई के समानांतर हैं, तो वे एक दूसरे के समानांतर हैं; क्रमशः समानांतर और समान रूप से निर्देशित भुजाओं वाले दो कोण बराबर होते हैं।
इन प्रस्तावों में से दूसरे के बारे में, हम ध्यान दें कि तिरछी रेखाओं के बीच के कोण की परिभाषा इस पर आधारित है: दो तिरछी रेखाओं के बीच का कोण उनके समानांतर दो रेखाओं के बीच का कोण है और एक मनमाना बिंदु M से खींचा जाता है। जाहिर है, ऐसा एक परिभाषा इस धारणा पर आधारित है कि कोण बिंदु M की पसंद से स्वतंत्र है (आइटम 232 देखें)।
किसी दिए गए बिंदु से किसी रेखा पर गिराया गया लम्ब किसी दिए गए बिंदु से किसी दी गई रेखा पर समकोण पर खींची गई और उसे प्रतिच्छेद करने वाली रेखा है। एक बिंदु के माध्यम से एक रेखा पर नहीं, इसके लिए केवल एक लंबवत है।
वास्तव में, वांछित लंबवत को दी गई रेखा और बिंदु द्वारा परिभाषित तल में होना चाहिए, और इसलिए इस पर योजनामिति के प्रावधान लागू होते हैं। हालांकि, एक सीधी रेखा पर स्थित एक बिंदु से, अनंत संख्या में लंबवत खींचे जा सकते हैं: इस सीधी रेखा के माध्यम से खींचे गए प्रत्येक विमान में से एक।
इस लेख में, हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा की अवधारणा से निपटेंगे, सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति के विकल्पों पर विचार करेंगे, और अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को परिभाषित करने के मुख्य तरीकों पर ध्यान देंगे। एक बेहतर प्रस्तुति के लिए, हम ग्राफिक चित्र प्रस्तुत करते हैं।
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अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं की परिभाषा देने के बाद, यह उनके महत्व के कारण एक सीधी रेखा के निर्देश देने वाले सदिशों के बारे में कहा जाना चाहिए। कोई भी शून्येतर सदिश जो इस रेखा पर या उस रेखा पर स्थित है जो दी गई रेखा के समानांतर है, रेखा का सदिश सदिश कहलाएगा। एक सीधी रेखा के दिशा सदिश का उपयोग अक्सर अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा से संबंधित समस्याओं को हल करने में किया जाता है।
अंत में, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाएं तिरछी हो सकती हैं। कहा जाता है कि अंतरिक्ष में दो रेखाएँ एक दूसरे को काटती हैं यदि वे एक ही तल में नहीं होती हैं। अंतरिक्ष में दो रेखाओं की यह पारस्परिक व्यवस्था हमें तिरछी रेखाओं के बीच के कोण की अवधारणा की ओर ले जाती है।
अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को विशिष्ट रूप से परिभाषित करने के कई तरीके हैं। आइए मुख्य सूची दें।
हम अभिगृहीत से जानते हैं कि एक सीधी रेखा दो बिंदुओं से होकर गुजरती है, और केवल एक। इस प्रकार, यदि हम अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को चिह्नित करते हैं, तो यह हमें उनसे गुजरने वाली सीधी रेखा को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने की अनुमति देगा।
यदि त्रिविमीय स्थान में एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली की शुरुआत की जाती है और उसके दो बिंदुओं के निर्देशांक निर्दिष्ट करके एक सीधी रेखा दी जाती है, तो हमारे पास दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करने का अवसर होता है।
अंतरिक्ष में एक रेखा निर्दिष्ट करने का दूसरा तरीका प्रमेय पर आधारित है: अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के माध्यम से जो किसी दी गई रेखा पर स्थित नहीं है, वहां दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा गुजरती है, और केवल एक।
इस प्रकार, यदि हम एक रेखा (या इस रेखा का एक खंड) और उस पर स्थित एक बिंदु निर्दिष्ट करते हैं, तो हम दिए गए बिंदु के समानांतर और दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा को विशिष्ट रूप से निर्धारित करते हैं।
आप उस बिंदु को निर्दिष्ट कर सकते हैं जिसके माध्यम से रेखा गुजरती है और इसकी दिशा वेक्टर। यह आपको विशिष्ट रूप से रेखा की पहचान करने की अनुमति भी देगा।
यदि एक निश्चित आयताकार निर्देशांक प्रणाली के संबंध में इस तरह से एक सीधी रेखा को परिभाषित किया जाता है, तो हम अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के इसके विहित समीकरणों और अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों को तुरंत लिख सकते हैं।
अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को निर्दिष्ट करने का अगला तरीका स्टीरियोमेट्री के स्वयंसिद्ध पर आधारित है: यदि दो विमानों में एक सामान्य बिंदु होता है, तो उनके पास एक सामान्य सीधी रेखा होती है, जिस पर इन विमानों के सभी सामान्य बिंदु होते हैं।
इस प्रकार, दो प्रतिच्छेदी तलों को स्थापित करके, हम विशिष्ट रूप से अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं।
अंतरिक्ष में एक रेखा निर्दिष्ट करने का एक और तरीका प्रमेय से अनुसरण करता है (आप इस लेख के अंत में सूचीबद्ध पुस्तकों में इसका प्रमाण पा सकते हैं): यदि एक विमान और उसमें नहीं पड़ा एक बिंदु दिया गया है, तो एक एकल रेखा गुजरती है इस बिंदु के माध्यम से और दिए गए विमान के लंबवत।
इस प्रकार, एक सीधी रेखा निर्धारित करने के लिए, आप उस तल को निर्दिष्ट कर सकते हैं जिस पर वांछित रेखा लंबवत है, और वह बिंदु जिसके माध्यम से यह रेखा गुजरती है।
यदि शुरू की गई आयताकार समन्वय प्रणाली के संबंध में सीधी रेखा को इस तरह परिभाषित किया गया है, तो किसी दिए गए विमान के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण के लेख की सामग्री का स्वामित्व होना उपयोगी होगा।
ग्रंथ सूची।
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याद रखें कि तिरछी रेखाओं के बीच का कोण उनके समानांतर और एक बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के बीच का कोण होता है। दूसरे शब्दों में, यदि प्रत्यक्ष मैंओ और मैं 1 प्रतिच्छेद करते हैं, तो हमें रेखा का समानांतर अनुवाद करना चाहिए मैं o एक सीधी रेखा प्राप्त करने के लिए मैं o के साथ प्रतिच्छेद करना मैं 1 , और . के बीच के कोण को मापें मैंओ और मैं 1 .
दो प्रतिच्छेदी रेखाओं का एक ही उभयनिष्ठ लंबवत होता है। इसकी लंबाई रेखाओं के बीच की दूरी कहलाती है।
मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो रेखाएँ उनके विहित समीकरणों द्वारा दी गई हैं:
मैंओ: ==, मैं 1: = = . (35)
तब हम तुरंत यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ( ए 1 , ए 2 , ए 3) ½½ मैंओ, ( बी 1 , बी 2 , बी 3) ½½ मैं 1 , एओ ( एक्सओ, आपओ, जेडओ)О मैंओ, ए 1 (एक्स 1 , आप 1 , जेड 1) मैंएक । आइए एक मैट्रिक्स बनाएं
एक्स 1 – एक्सहे आप 1 – आपहे जेड 1 –जेडहे
ए = ए 1 ए 2 ए 3 ,
बी 1 बी 2 बी 3
और माना D = det ए.
प्रमेय 8.1.l और p के बीच के कोण की गणना सूत्र द्वारा की जाती है
कॉस ए ==। (36)
2. सीधे lहे और मैं 1 परिवारों के बीच काडी 0.
3. सीधे lओ और मैं 1 एक दूसरे को काटनाडी = 0 और समरेखीय नहीं.
4. मैंसाढ़े मैं 1 रैंक ए= 2 और ½ ।
5. मैंओ = मैं 1 रैंक ए = 1.
प्रमाण। 1.
कोण a रेखाओं के बीच मैंओ और मैं 1 हो सकता है कोण के बराबरबी उनके दिशा वैक्टर के बीच, और इसके निकट हो सकता है। पहले मामले में
कॉस ए = कॉस बी =,
और दूसरे मामले में
cos a = - cos b =½ cos b½ = .
यह फॉर्मूला पहले केस के लिए भी काम करेगा। कृपया ध्यान दें कि ड्राइंग एक सीधी रेखा नहीं दिखाती है। मैं o , और इसके समानांतर रेखा मैंओ ।
2, 3. स्पष्ट रूप से सीधे मैंओ और मैं 1 समानांतर नहीं हैं यदि और केवल यदि उनकी दिशा सदिश और संरेख नहीं हैं। इस स्थिति में, रेखाएँ एक ही तल में स्थित होती हैं और वैक्टर समतलीय होती हैं। उनका मिश्रित उत्पाद शून्य: = 0 के बराबर होता है। और निर्देशांक में सटीकता का यह उत्पाद D के बराबर होता है।
तदनुसार, यदि D 0 है, तो सदिश समतलीय नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि वे सीधी रेखाएँ हैं मैंओ और मैं 1 एक ही समतल z में न लेटें, वे प्रतिच्छेद करते हैं।
4, 5.
यदि एक मैंसाढ़े मैं 1 या मैंओ = मैं 1 , फिर ½ ½ । लेकिन पहले मामले में, वेक्टर संरेख नहीं है और इसलिए मैट्रिक्स में पहली पंक्ति एदूसरी और तीसरी पंक्तियों के अनुपात में नहीं। तो रैंक ए = 2.
दूसरे मामले में, तीनों वैक्टर एक दूसरे के संरेख हैं, और इसलिए, सभी पंक्तियाँ
मैट्रिक्स में एआनुपातिक। तो रैंक ए = 1.
और इसके विपरीत अगर || , फिर सीधी रेखाएं मैंओ और मैं 1 समानांतर या संयोग हैं; जबकि मैट्रिक्स की दूसरी और तीसरी पंक्तियाँ एआनुपातिक। अगर, इसके अलावा, रैंक ए= 2, तो मैट्रिक्स की पहली पंक्ति दूसरी और तीसरी पंक्ति के समानुपाती नहीं है, जिसका अर्थ है कि वेक्टर गैर-संरेखित है और मैंओ || मैंएक । अगर रैंक ए= 1, फिर मैट्रिक्स में सभी पंक्तियाँ एआनुपातिक हैं, जिसका अर्थ है कि तीनों वैक्टर एक दूसरे के संरेख हैं Û मैंओ = मैं 1 .
प्रमेय 9.दो पंक्तियाँ lहे और मैं 1 अंतरिक्ष में उनके विहित समीकरणों द्वारा दिए गए हैं (35). फिर
1. अगर मैंसाढ़े मैं 1 , फिर l . के बीच की दूरीहे और मैं 1 सूत्र के अनुसार पाया जाता है
एच = , (37)
2. अगर मैंहे और मैं 1 प्रतिच्छेद करते हैं, तो उनके बीच की दूरी सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है
एच = . (38)
प्रमाण। 1.
रहने दो मैंसाढ़े मैंएक । सदिश को बिंदु से अलग रखें ए o , और सदिशों पर और एक समांतर चतुर्भुज की रचना करें। फिर इसकी ऊंचाई एचके बीच की दूरी होगी मैंओ और मैंएक । इस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है: एस=½ ½, और आधार ½ ½ है। इसलिए
एच = एस/½ ½ = (37)।
2. रहने दो मैंओ और मैं 1 पार कर गए हैं। एक सीधी रेखा से गुजरें मैंओ फ्लैट पी ओ ½½ मैं 1 , और सीधी रेखा के माध्यम से मैं 1 समतल p 1 ½½ . खीचें मैंओ
तब उभयनिष्ठ लंबवत मैंओ और मैं 1 p o और p 1 का उभयनिष्ठ लंब होगा। वैक्टर और बिंदु से अलग सेट करें एओ और वैक्टर पर, और एक समानांतर चतुर्भुज का निर्माण करें। तब इसका निचला आधार p o तल में होता है, और इसका ऊपरी आधार p 1 तल में होता है। इसलिए, समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई p o और p 1 के लिए एक उभयनिष्ठ लंबवत होगी, और इसका मान एचके बीच की दूरी होगी मैंओ और मैंएक । समांतर चतुर्भुज का आयतन ½ ½ है, और आधार का क्षेत्रफल ½´½ है
एच= वी/एसआधार = (38)।
परिणाम। बिंदु A . से दूरी 1 (एक्स 1 , आप 1 , जेड 1) सीधे l . के लिए, समीकरण द्वारा दिया गया
सूत्र द्वारा गणना (37).
समस्या समाधान के उदाहरण।
1. शीर्षों के निर्देशांकों को देखते हुए A(1,– 6), बी(–3, 0), सी(6, 9) त्रिभुज एबीसी. किसी त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त का समीकरण लिखिए।
फेसला।
किसी वृत्त का समीकरण बनाने के लिए, हमें उसकी त्रिज्या जानने की आवश्यकता है आरऔर केंद्र निर्देशांक हे(ए, बी) तब समीकरण इस तरह दिखता है:
(एक्स–ए) 2 +(आप–बी) 2 = आर 2 .
एक त्रिभुज के चारों ओर परिचालित एक वृत्त का केंद्र इस त्रिभुज की भुजाओं के मध्यलंबों के प्रतिच्छेदन पर होता है। मध्य बिंदुओं के निर्देशांक ढूँढना एम 1 (एक्स 1 , आप 1), और एम 3 (एक्स 3 , आप 3) पक्ष ईसा पूर्वऔर अबक्रमश:
एक्स 1 = = = , आप 1 = = = , एम 1 .
उसी प्रकार एम 3 (–1,–3).
रहने दो मैं 3 - सीधी रेखा, जो औसत दर्जे का लंबवत है अब, ए मैं 1 से ईसा पूर्व. तब = (- 4, 6) ^ मैं 3 और मैं 3 गुजरता है एम 3. तो उसका समीकरण है:
– 4(एक्स+1) + 6(आप+3) = 0.
इसी प्रकार = (9, 9) ^ मैं 3. इसलिए, समीकरण मैं 1:
9(एक्स-) + 9(आप -) = 0
एक्स + आप – 6 = 0.
हमारे पास है हे =मैं 1 मैं मैं 3. इसलिए, एक बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए हेसमीकरणों को एक साथ हल करना आवश्यक है मैं 1 और मैं 3:
एक्स + आप – 6 = 0 ,
– 4एक्स + 6आप +14 = 0.
आइए पहले समीकरण को दूसरे समीकरण में जोड़ें, 4 से गुणा करें:
एक्स + आप – 6 = 0,
10आप – 10 = 0.
यहां से आप = 1, एक्स = 5, हे(5, 1).
त्रिज्या से दूरी के बराबर है हेत्रिभुज के किसी भी शीर्ष पर। हम ढूंढे:
आर =½½= = .
तो वृत्त समीकरण है:
(एक्स – 5) 2 + (आप–1) 2 = 65.
2. पर सही त्रिकोणएबीसी को एक पैर के समीकरण के रूप में जाना जाता है 3एक्स – 2आप + 5 = 0, शीर्ष निर्देशांक C(–5,–5) और मध्य बिंदु O . के निर्देशांक(– 3/2,–3)कर्ण एबी। निर्देशांक खोजें
शीर्ष A, B और बिंदु E के निर्देशांक, जो भुजा BC के संबंध में O के सममित है। त्रिभुज ABC की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए .
फेसला।मान लीजिए कि जिस पाद का समीकरण हमें दिया गया है, वह है दप. यह फॉर्म के सामान्य समीकरण द्वारा दिया जाता है
कुल्हाड़ी + द्वारा + सी = 0.
इस समीकरण में, ज्यामितीय अर्थ
गुणांकों एऔर बीसामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं ( ए, बी) इसलिए (3,-2)^ सूरज.
लंबवत समीकरण लिखें मैं = आयुध डिपोउधर की तरफ दपऔर बिंदु के निर्देशांक खोजें डी. सदिश समांतर होगा आयुध डिपो, अर्थात। यह इस रेखा का दिशा सदिश है। इसके अलावा, हम बिंदु के निर्देशांक जानते हैं हेइस लाइन पर। हम एक पैरामीट्रिक समीकरण बनाते हैं मैं:
एक्स = – + 3टी, (*)
आप = – 3 - 2टी .
हमारे पास है डी = मैंमैं ईसा पूर्व. इसलिए, इस बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए, हमें संयुक्त रूप से समीकरणों को हल करना होगा मैंऔर ईसा पूर्व. विकल्प एक्सऔर आपसमीकरण से मैंसमीकरण में ईसा पूर्व:
3(– + 3टी) –2(–3 -2टी)+5 = 0,
– + 9टी +6 +4टी+5 = 0,
13टी = –, टी डी= – .
हम पाए को प्रतिस्थापित करते हैं टीसमीकरण में मैंऔर बिंदु के निर्देशांक खोजें डी(-3, -2)। निर्देशांक खोजने के लिए इयाद रखना भौतिक अर्थएक सीधी रेखा का पैरामीट्रिक समीकरण: यह एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है और एकसमान गति. हमारे मामले में, प्रारंभिक बिंदु है हे ँखंड की लंबाई का दोगुना आयुध डिपो. अगर समय पर टी डी= - हम से चले गए हैं हेइससे पहले डी, फिर से पथ हेइससे पहले इहम समय में गुजरेंगे टी ई= 2टी डी= -1। इस मान को (*) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं इ(– 4,5;–1).
दूरसंचार विभाग डीखंड को विभाजित करता है ईसा पूर्वआधे में। इसलिए
एक्स डी = , यार्ड = .
यहाँ से हम पाते हैं
एक्सबी= 2एक्स डी– एक्स सी= –1, वाई बी = 2यार्ड – वाईसी =1, बी(–1, 1).
इसी प्रकार, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि हे- मध्य अब, बिंदु के निर्देशांक खोजें लेकिन(-2, -7)। इस समस्या को हल करने का एक और तरीका है: पूर्ण एबीसीएक समांतर चतुर्भुज के लिए।
सामान्य सूत्रइस संबंध में खंड के विभाजन इस तरह दिखते हैं:
एक्स = , यार्ड = ,
अगर बिंदु साथ मेंखंड को विभाजित करता है अब l 1:l 2 के संबंध में, अर्थात्। साढ़े एसी½:½ ईसा पूर्व½ = एल 1: एल 2।
यह ज्ञात है कि माध्यिका का प्रतिच्छेदन बिंदु मध्यिका को ऊपर से गिनते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। हमारे मामले में आरविभाजित इसलिए 2:1 के अनुपात में। इसलिए
एक्स पी = = = – ,
वाई पी = = = – .
जवाब:लेकिन(–2,–7), बी(–1, 1), पी.
3. शीर्षों के निर्देशांकों को देखते हुए A(– 4,–2), बी(9, 7), सी(2,– 4)त्रिभुज एबीसी। द्विभाजक AD के लिए सामान्य समीकरण लिखिए और बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
फेसला।
प्रारंभिक गणित के पाठ्यक्रम से ज्ञात होता है कि = . गणना
(13, 9), (6,–2);
½½== 5, ½½== 2 ।
एक्स डी = = = 4,
यार्ड = = = – , डी(4,–).
हम बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करते हैं एऔर डी. उसके लिए, वेक्टर एक मार्गदर्शक है। लेकिन, एक मार्गदर्शक के रूप में, हम कोई भी सदिश, संरेख ले सकते हैं। उदाहरण के लिए, = , (7, 1) लेना सुविधाजनक होगा। फिर समीकरण
विज्ञापन: = आप+ 2 एक्स – 7आप– 10 = 0.
जवाब:डी(4,–), विज्ञापन: एक्स – 7आप– 10 = 0.
4. दो माध्यिकाओं के समीकरण x – आप– 3 = 0, 5एक्स + 4आप– 9 = 0 त्रिभुज ABC और शीर्ष A . के निर्देशांक(– 1, 2). तीसरे माध्यिका की बराबरी करें.
फेसला।पहले हम सुनिश्चित करते हैं कि बिंदु एइन मध्यस्थों से संबंधित नहीं है। त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं एम. इसलिए, वे गुजरने वाली रेखाओं के बंडल में शामिल हैं एम. आइए इस बीम के लिए समीकरण लिखें:
एल( एक्स – आप- 3) + एम(5 एक्स + 4आप– 9) = 0.
गुणांक एल और एम आनुपातिकता तक निर्धारित होते हैं; इसलिए, हम मान सकते हैं कि m = 1 (यदि m = 0 है, तो बीम समीकरण केवल पहली माध्यिका निर्दिष्ट करता है, और वांछित सीधी रेखा इसके साथ मेल नहीं खाती)। हमें बीम समीकरण मिलता है:
(एल + 5) एक्स+ (-एल + 4) आप- 3l - 9 = 0।
इस बंडल से हमें बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा चुननी होगी ए(- 12)। आइए इसके निर्देशांकों को बीम समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
- (एल + 5) + 2 (-एल + 4) - 3 एल - 9 = 0,
- 6l - 6 = 0, एल = -1।
हम बीम समीकरण में एल के पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं और आवश्यक औसत समीकरण प्राप्त करते हैं:
4एक्स + 5आप– 6 = 0.
जवाब: 4एक्स + 5आप– 6 = 0.
5. त्रिभुजाकार पिरामिड SABC के शीर्षों के निर्देशांकों को देखते हुए: ए(–3, 7, 1), बी(–1, 9, 2), सी(–3, 6, 6) एस(6,–5,–2). आधार ABC के तल का समीकरण और ऊँचाई SD का समीकरण लिखिए। बिंदु D और बिंदु S . के निर्देशांक ज्ञात कीजिए¢ आधार के तल के संबंध में S के सममित।
फेसला।आधार p = . के तल के समांतर दो सदिशों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए एबीसी:
= (2, 1, 1), = (0,–1, 5).
किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण ए(एक्सओ, आपओ, जेड o) दो असंरेखीय सदिशों के समानांतर ( ए 1 ,ए 2 , ए 3), (बी 1 ,बी 2 , बी 3) जैसा दिखता है
एक्स – एक्सहे आप – आपहे जेड – जेडहे
ए 1 ए 2 ए 3 = 0.
बी 1 बी 2 बी 3
हमारे डेटा को इस समीकरण में बदलें:
एक्स + 3 आप – 7 जेड – 1
2 2 1 = 0.
0 –1 5
निर्धारक खोलना:
समतल के समीकरण से, हम पाते हैं कि सदिश (11,–10,–2) समतल का अभिलंब सदिश है। वही वेक्टर सीधी रेखा के लिए मार्गदर्शक होगा। एच = एसडी. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का पैरामीट्रिक समीकरण ए(एक्सओ, आपओ, जेडओ) दिशा वेक्टर के साथ ( ए 1 ,ए 2 , ए 3) जैसा दिखता है
एक्स = एक्सओ + ए 1 टी ,
आप = आपओ + ए 2 टी ,
जेड = जेडओ + ए 3 टी .
हमारे मामले में, हमें समीकरण मिलता है:
एक्स = 6 + 11टी ,
एच: आप = –5 – 10टी , (*)
जेड = –2 – 2टी .
लंब का आधार ज्ञात कीजिए। यह समतल p के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है। ऐसा करने के लिए, हमें समीकरणों और p को एक साथ हल करना होगा। हम समीकरण से प्रतिस्थापित करते हैं मैंसमीकरण में:
11(6 + 11टी) – 10(–5 – 10 टी) – 2(–2 – 2टी) + 105 = 0,
66 + 121 टी + 50 + 100 टी + 4 + 4 टी + 105 = 0,
225 आप = –225, टी = –1.
मिला टीसमीकरण में प्लग करें मैंऔर निर्देशांक खोजें डी(–5, 5, 0).
आइए हम एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण के भौतिक अर्थ को याद करें: यह एक सीधा और एकसमान गति निर्दिष्ट करता है। हमारे मामले में, प्रारंभिक बिंदु है एस, वेग वेक्टर है। रेखा खंड एसएससेगमेंट से दुगुना लम्बा एसडीऔर इसे पूरा करने में दोगुना समय लगेगा। अगर समय पर टी डी= - 1 हम से चले गए हैं एसइससे पहले डी, फिर से पथ एसइससे पहले एसहम समय में गुजरेंगे टी= 2 टी डी= -2। इस मान को (*) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं एस(-16, 15; 2)।
जवाब:एबीसी: 11एक्स – 10आप– 2जेड +105 = 0, डी(–5, 5, 0), एस(-16, 15; 2),
एक्स = 6 + 11टी ,
एसडी: आप = –5 – 10टी ,
जेड = –2 – 2टी .
6. समतल p . की रेखा l के समीकरणों को देखते हुए:
सुनिश्चित करें कि l और p प्रतिच्छेद करते हैं और प्रक्षेपण समीकरण l . लिखते हैं¢ सीधी रेखा एल विमान के लिए। l और p . के बीच का कोण ज्ञात कीजिए .
फेसला। एक सीधी रेखा के समीकरण से, हम इसका निर्देशन सदिश पाते हैं: (1,-1, 2) और इस सीधी रेखा पर एक बिंदु: ए(6, 0, 2) , और समतल के समीकरण से - समतल का सामान्य सदिश:
(5,-2, 4)। स्पष्ट है कि यदि मैं½½ पी या , फिर ^ यानी। ·
= 0. जाँच करें:
· = 5 1 - 2 (-1) + 4 2 = 15 0.
माध्यम, मैंप्रतिच्छेदन . के बीच का कोण मैंऔर p सूत्र द्वारा ज्ञात कीजिए:
पाप ए = ;
|| = = , || = = = 3 .
पाप ए = = .
रहने दो एओ - बिंदु प्रक्षेपण एविमान के लिए, और बी = मैंमैं π
. फिर मैं¢= एहे बीएक सीधी रेखा का प्रक्षेपण है। आइए पहले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें बी. ऐसा करने के लिए, हम सीधी रेखा के समीकरण को फिर से लिखते हैं मैंपैरामीट्रिक रूप में:
एक्स = 6 + टी,
मैं: आप = – टी,
जेड = 2 + 2टी,
और इसे समतल समीकरण के साथ हल करें π . हम समीकरण से प्रतिस्थापित करते हैं मैंसमीकरण में π :
5(6 + टी) – 2(– टी) + 4(2 + 2टी) + 7 = 0,
30 + 5टी + 2टी + 8 + 8टी + 7 = 0,
15टी = – 45, टी = – 3.
इसे प्रतिस्थापित करना टीसमीकरण में मैंनिर्देशांक खोजें बी(3, 3, 4)। लंबवत समीकरण लिखें एच = आओ सीधे के लिए एचवेक्टर गाइड के रूप में कार्य करता है। इसलिए एचसमीकरण द्वारा दिया गया है
एक्स = 6 + 5टी,
एच: आप = –2 टी,
जेड = 2 + 4टी,
हम इसे समतल के समीकरण के साथ मिलकर बिंदु . के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए हल करते हैं एओ:
5(6 + 5टी) – 2(–2टी) + 4(2 + 4टी) + 7 = 0,
30 + 25टी + 4टी + 8 + 16टी + 7 = 0,
45टी = – 45, टी = – 1.
इसे प्रतिस्थापित करें टीसमीकरण में एचऔर ढूंढें एओ (1, 2,-2)। सीधी रेखा का दिशा सदिश ज्ञात करना मैं": एहे बी(2, 1,–2) और इसका समीकरण प्राप्त करें:
.
7. अंतरिक्ष में रेखा l समीकरणों के निकाय द्वारा दी गई है
2एक्स+2आप– जेड– 1=0,
4एक्स– 8आप+ जेड – 5= 0,
और बिंदु A . के निर्देशांक दिए गए हैं(–5,6,1). रेखा l . के सन्दर्भ में बिंदु B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो A के सममित है.
फेसला।रहने दो पीबिंदु से खींचे गए लंब का आधार है एसीधे मैं. पहले हम बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करते हैं पी. ऐसा करने के लिए, हम बिंदु से गुजरने वाले समतल p का समीकरण लिखेंगे एपी 1 और पी 2 विमानों के लंबवत। हम इन तलों के अभिलंब सदिश पाते हैं: (2, 2,-1), (4,-8, 1)। पी विमान के लिए, वे मार्गदर्शक होंगे। तो इस विमान के लिए समीकरण है:
एक्स + 5 आप – 6 जेड – 1
2 2 –1 = 0.
4 –8 1
– 6(एक्स + 5) – 6(आप – 6) –24(जेड – 1) = 0 .
पहले कोष्ठक खोलना सुनिश्चित करें
पहले हम पूरे समीकरण को -6 से विभाजित करते हैं:
एक्स + 5 + आप – 6 + 4(जेड – 1) = 0,
एक्स+ वाई+ 4जेड – 5 = 0.
अभी पी- समतल p, p 1 और p 2 का प्रतिच्छेदन बिंदु। इसके निर्देशांक खोजने के लिए, हमें इन विमानों के समीकरणों से बनी एक प्रणाली को हल करना होगा:
एक्स + आप + 4जेड – 5 = 0,
4एक्स – 8आप + जेड – 5 = 0,
2एक्स + 2आप – जेड – 1 = 0.
गॉस विधि द्वारा इसे हल करने पर, हम पाते हैं पी(1,0,1)। अगला, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि पी- मध्य अबहम एक बिंदु के निर्देशांक पाते हैं बी(7,–6,1).
बिंदु पीदूसरे तरीके से पाया जा सकता है, के रूप में निकटतम एसीधी रेखा बिंदु मैं. ऐसा करने के लिए, इस रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण की रचना करना आवश्यक है। यह कैसे किया जाता है, कार्य देखें 10 . आगे की कार्रवाइयों के लिए, कार्य देखें 8 .
8.
परडी एबीसी शीर्ष A . के साथ(9, 5, 1), बी(–3, 8, 4), सी(9,–13,–8) ऊंचाई ई. बिंदु D . के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, AD . रेखा का समीकरण लिखिए, गणना एच=½ विज्ञापन½ और गणना करके एच की जांच करेंएस डी क्रॉस उत्पाद के माध्यम से एबीसी.
फेसला।यह स्पष्ट है कि बिंदु डीइस तरह पाया जा सकता है: डी= मैं ईसा पूर्व, जहां वह तल है जो बिंदु . से होकर गुजरता है एपक्ष के लंबवत ईसा पूर्व. इसके लिए विमान एक सामान्य वेक्टर के रूप में कार्य करता है। खोजें (12, -21, -12)। इस सदिश के निर्देशांक 3 से समान रूप से विभाज्य हैं। इसलिए, हम p के लिए सामान्य सदिश के रूप में =, (4,-7, -4) ले सकते हैं। एक विमान का समीकरण π एक बिंदु से गुजर रहा है एओ ( एक्सओ, आपओ, जेडओ) वेक्टर के लंबवत ( ए, बी, सी), का रूप है:
ए(एक्स – एक्सओ) + बी(आप – आपओ) + सी(जेड – जेडओ) = 0।
हमारे मामले में:
4(एक्स – 9) - 7(आप – 5) - 4(जेड – 1) = 0,
4एक्स - 7आप - 4जेड + 3 = 0,
एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें ईसा पूर्व. उसके लिए, वेक्टर मार्गदर्शक होगा:
एक्स = –3 + 4टी,
ईसा पूर्व: आप = 8 – 7टी, (*)
जेड = 4 – 4टी,
जहां तक कि डी= मैं ईसा पूर्व, एक बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए डीहमें एक साथ समीकरणों को हल करने की जरूरत है π और ईसा पूर्व. हम समीकरण से प्रतिस्थापित करते हैं ईसा पूर्वसमीकरण में:
4(–3 + 4टी) – 7(8 – 7टी) – 4(4 – 4टी) + 3 = 0,
–12 + 16 टी – 56 + 49टी – 16 + 16 टी + 3 = 0,
81टी = 81, टी = 1.
इसे प्रतिस्थापित करें टीएक सीधी रेखा के समीकरण में ईसा पूर्वऔर ढूंढें डी(1, 1, 0)। इसके अलावा, बिंदुओं के निर्देशांक जानना एऔर डी, एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें विज्ञापनसूत्र का उपयोग करके बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करें:
मैं जम्मू कश्मीर
= -12 3 3 = -27 - 4 1 1 = -27(- मैं + 4जे– 8क) .
0 –18 –9 0 2 1
(गणना के दौरान, हमने सारणिक की संपत्ति का उपयोग किया: एक पंक्ति के तत्वों के सामान्य कारक को सारणिक के संकेत से निकाला जा सकता है)।
सू एबीसी= · 27 = .
दूसरी ओर, एस एबीसी = | |· एच. यहां से एच=। हम ढूंढे
इसलिए एच= 9. यह पहले पाए गए उत्तर से मेल खाता है।
बिंदु डीके निकटतम के रूप में पाया जा सकता है एसीधी रेखा बिंदु ईसा पूर्व, विभेदक कलन के तरीकों का उपयोग करना। रहने दो एम(टी) रेखा का एक मनमाना बिंदु है ईसा पूर्व; इसके निर्देशांक सिस्टम (*) द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:
एम(–3 + 4टी, 8 – 7टी, 4 – 4टी).
एक बिंदु से वर्ग दूरी ज्ञात करना एइससे पहले एम(टी):
एच 2 (टी) = (9 + 3 – 4टी) 2 + (5 – 8 + 7टी) 2 + (1 – 4 + 4टी) 2
= (12 – 4टी) 2 + (–3 + 7टी) 2 + (–3 + 4टी) 2 =
144 – 96टी + 16टी 2 + 9 – 42टी + 49टी 2 + 9 – 24टी + 16टी 2 =
81टी 2 – 162टी + 162.
हमे पता करने दें सबसे छोटा मानकार्यों एच 2 (टी) व्युत्पन्न का उपयोग करना:
एच 2 (टी) = 162टी – 162; एच 2 (टी) = 0 Þ टी = 1.
इस मान को प्रतिस्थापित करें टीएक सीधी रेखा के समीकरण में ईसा पूर्वऔर हम पाते हैं कि डी(1, 1, 0) के निकटतम है एएक रेखा पर बिंदु ईसा पूर्व.
9. निम्नलिखित विमानों के जोड़े की सापेक्ष स्थिति का अन्वेषण करें(प्रतिच्छेद करना, समानांतर, मेल खाना). यदि तल प्रतिच्छेद करते हैं, तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए, यदि वे समानांतर हैं – उनके बीच की दूरी.
ए)।प1:2 आप+ जेड + 5 = 0, पी 2: 5 एक्स + 4आप- 2z +11 = 0.
फेसला।यदि तल p1 और p2 उनके सामान्य समीकरणों द्वारा दिए गए हैं
ए 1 एक्स + बी 1 आप + सी 1z+ डी 1 = 0, ए 2 एक्स + बी 2 आप + सी 2z+ डी 2 = 0,
पी 1 ½ 1/2 पी 2 = = ,
पी 1 = पी 2 = = =।
हमारे मामले में, , इसलिए विमान समानांतर नहीं हैं और मेल नहीं खाते हैं। इसलिए वे प्रतिच्छेद करते हैं। विमानों के बीच के कोण की गणना सूत्र द्वारा की जाती है
क्योंकि ए = ,
जहां और इन विमानों के सामान्य वैक्टर हैं। हमारे मामले में
(0, 2, 1), (5, 4,-2), = 0 5 + 2 4 + 1 (-2);
|| = = , || = = 3 .
तो कोस ए = = .
जवाब:ए = आर्ककोस।
बी) p1: एक्स – आप+ 2z + 8 = 0,
p2:2 एक्स – आप+ 4z -12 = 0.
फेसला।समानता या संयोग की जाँच करें:
अत: p 1 ½ p 2 परंतु p 1 p 2 । बिंदु से दूरी ए(एक्स, आप, जेड) समीकरण द्वारा दिए गए तल को सूत्र द्वारा पाया जाता है
एच = .
एक बिंदु चुनें लेकिनसेशन 1। ऐसा करने के लिए, आपको किन्हीं तीन निर्देशांकों को चुनना होगा जो समीकरण p 1 को संतुष्ट करते हैं। हमारे मामले में, सबसे सरल: एओ (0, 8, 0)। से दूरी एओ से पी 2 और पी 1 और पी 2 के बीच की दूरी होगी:
एच = = .
10.
समतल का समीकरण लिखिएपी, जो समतलों के बीच के विकर्ण कोणों को समद्विभाजित करता है
प1:2 एक्स– आप+ 2= 0, पी2: 5 एक्स+ 4आप– 2जेड–14 = 0,
जिसमें दिया गया बिंदु A है(0, 3,–2). सीधी रेखा l . का एक पैरामीट्रिक समीकरण लिखें = पी 1 मैं पी 2 ;
फेसला।यदि बिंदु समतल p पर स्थित है, जो विकर्ण कोण को समद्विभाजित करता है, तो दूरी एच 1 और एच 2 इस बिंदु से p 1 और p 2 तक बराबर हैं।
इन दूरियों को खोजें और उनकी बराबरी करें:
हम उसी के साथ मॉड्यूल खोल सकते हैं या विभिन्न संकेत. इसलिए, हमें 2 उत्तर मिल सकते हैं, क्योंकि। p 1 और p 2 दो द्विफलकीय कोण बनाते हैं। लेकिन इस स्थिति में उस समतल का समीकरण ज्ञात करना आवश्यक है जो उस कोण को समद्विभाजित करता है जिसमें बिंदु स्थित है लेकिन. तो बिंदु के निर्देशांक एमइन तलों के समीकरणों के बाएँ भागों में प्रतिस्थापित करने पर पी 1 और बिंदु के निर्देशांक के समान चिह्न होने चाहिए लेकिन. यह जांचना आसान है कि ये संकेत p 1 के लिए हैं और "+" p 2 के लिए हैं। इसलिए, हम पहले मॉड्यूल को "-" चिह्न के साथ विस्तारित करते हैं, और दूसरा "+" चिह्न के साथ:
3(-2एक्स + आप- 2) = 5एक्स+ 4आप– 2जेड–14,
पी:11 एक्स + आप - 2जेड - 14 = 0.
एक सीधी रेखा का समीकरण बनाने के लिए मैं, हमें इस रेखा की दिशा सदिश और उस पर एक बिंदु खोजने की आवश्यकता है।
समीकरण p 1 और p 2 से हम इन तलों के अभिलंब सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करते हैं: (2,-1, 0), (5, 4,-2)। दिशा वेक्टर सीधे मैंलंबवत मैं। यह क्रॉस उत्पाद का उपयोग करके पाया जा सकता है (परिभाषा के अनुसार, यदि = , तो ^ और ^):
= = 2 -1 0 = 2 मैं + 4जे+ 13क .
एक सीधी रेखा पर एक बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए, हमें समीकरणों की प्रणाली का एक विशेष समाधान खोजना होगा
चूंकि दो समीकरण और तीन अज्ञात हैं, सिस्टम में अनंत समाधान हैं। हमें केवल एक को चुनना है। लगाना सबसे आसान है एक्स= 0 और फिर हम पाते हैं
Þ जेड = – 3, 
.
एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का विहित समीकरण बी(एक्सओ, आपओ, जेडओ) वेक्टर के समानांतर ( ए 1 , ए 2 , ए 3) का रूप है:
हमारे मामले में, हमारे पास समीकरण है:
मैं: = = .
जवाब:पी:11 एक्स + आप – 2जेड = 0, मैं: = = .
11. अंतरिक्ष में दो रेखाओं के समीकरणों को देखते हुए:
एक्स = –1 – टी, एक्स = –3 + 2टी¢,
मैं 1: आप = 6 + 2 टी, मैं 2: आप = –2 – 3टी¢,
जेड = 5 + 2टी, जेड = 3 – 2टी¢.
सिद्ध कीजिए कि दी गई रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं और उनके उभयनिष्ठ लंबों का समीकरण लिखती हैं।
फेसला।रेखाओं के समीकरणों से, हम उनके दिशा वैक्टर के निर्देशांक पाते हैं: (-1, 2, 2), (2, -3, -2) और बिंदु 1 1, जिसका अर्थ है कि आम का दिशा वेक्टर है इन पंक्तियों के लंबवत। हमें इसके निर्देशांक पहले ही मिल चुके हैं: (2, 2,-1)। के लिए
एक समीकरण लिखें एचहमें इस रेखा पर एक बिंदु के निर्देशांक खोजने होंगे। ऐसा करने के लिए, हम से गुजरने वाले समतल के लिए समीकरण लिखेंगे मैं 1 और एच. उसके लिए, सदिश मार्गदर्शक होंगे, और एऑप।
एक्स – 1 आप – 2 जेड – 1
– 6(एक्स – 1) + 3(आप – 2) – 6(जेड – 1) = 0.
– 2(एक्स – 1) + (आप – 2) – 2(जेड – 1) = 0.
पी: -2 एक्स + आप – 2जेड + 2 = 0.
चौराहे का बिंदु ढूँढना मैं 2 और पीआई। इसके लिए समीकरण से मैं 2 को समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है:
–2(–3 + 2टी) -2 + 3 टी- 2(3 - 2 .) टी) + 2 = 0,
6 – 4टी- 2 - 3 टी- 6 - 4 टी+ 2 = 0,
–7टी¢= 0, टी¢= 0.
हम पाए को प्रतिस्थापित करते हैं टीमें
इस पाठ में, हम अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं के विषय पर बुनियादी परिभाषाएँ और प्रमेय देंगे।
पाठ की शुरुआत में, हम अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं की परिभाषा पर विचार करेंगे और इस प्रमेय को सिद्ध करेंगे कि अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर केवल एक ही रेखा खींचना संभव है। इसके बाद, हम एक समतल को प्रतिच्छेद करने वाली दो समानांतर रेखाओं पर एक लेम्मा सिद्ध करते हैं। और इसकी सहायता से हम तीसरी रेखा के समांतर दो रेखाओं के प्रमेय को सिद्ध करेंगे।
विषय: रेखाओं और विमानों की समानता
पाठ: अंतरिक्ष में समानांतर रेखाएँ। तीन पंक्तियों की समानता
हम समतलमिति में समांतर रेखाओं का अध्ययन कर चुके हैं। अब हमें अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं को परिभाषित करने और संबंधित प्रमेयों को सिद्ध करने की आवश्यकता है।
परिभाषा: अंतरिक्ष में दो रेखाएँ समानांतर कहलाती हैं यदि वे एक ही तल में हों और प्रतिच्छेद न करें (चित्र 1.)।
समानांतर रेखाओं के लिए संकेतन: a || बी।
1. किन रेखाओं को समानांतर कहा जाता है?
2. सिद्ध कीजिए कि दी गई दो समान्तर रेखाओं को प्रतिच्छेद करने वाली सभी रेखाएँ एक ही तल में होती हैं।
3. एक रेखा रेखाओं को काटती है अबऔर ईसा पूर्वसमकोण पर। क्या रेखाएँ समानांतर हैं? अबऔर ईसा पूर्व?
4. ज्यामिति। ग्रेड 10-11: शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक (मूल और प्रोफ़ाइल स्तर) / आई। एम। स्मिरनोवा, वी। ए। स्मिरनोव। - 5 वां संस्करण, सही और पूरक - एम।: मेमोसिन, 2008। - 288 पी। : बीमार।
3.1 अंतरिक्ष में दो पंक्तियों की पारस्परिक व्यवस्था के तीन मामले
समतल में दो रेखाएँ समानांतर या प्रतिच्छेद करती हैं - उनके लिए कोई तीसरी संभावना नहीं है। अंतरिक्ष में, इन दो स्थितियों में, एक और जोड़ा जाता है - जब दो रेखाएँ एक ही तल में नहीं होती हैं। ऐसी पंक्तियाँ मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, चार बिंदु A, B, C, D लें जो एक ही तल में नहीं हैं (समस्या 1.1)। तब रेखाएँ AB और CD (चित्र 35) एक ही तल में नहीं होती हैं (क्योंकि अन्यथा बिंदु A, B, C, D एक ही तल में होंगे)।
चावल। 35
तो, अंतरिक्ष में दो रेखाओं की सापेक्ष स्थिति के लिए, निम्नलिखित स्थितियाँ संभव हैं:
चावल। 36
इन तीन मामलों को दूसरे तरीके से प्राप्त किया जा सकता है।
सभी तीन मामलों को सीधी रेखाओं के उदाहरण पर देखा जा सकता है जिसके साथ कमरे की दीवारें और छत मिलते हैं (चित्र 37): उदाहरण के लिए, बी के साथ एक क्रॉस और सी के समानांतर है, और बी और सी छेड़छाड़ करते हैं।
चावल। 37
ध्यान दें कि समानांतर रेखाएं उस तल को परिभाषित करती हैं जिसमें वे स्थित हैं।
3.2. प्रतिच्छेदन रेखाओं के चिन्ह
खंड 3.1 में दो तिरछी रेखाओं AB और CD के उदाहरण को इंगित करने के बाद, हमने वास्तव में तिरछी रेखाओं के निम्नलिखित चिन्ह का उपयोग किया है:
प्रमाण। मान लीजिए कि रेखा a, समतल a को बिंदु A पर काटती है, लेकिन समतल a में स्थित रेखा b को नहीं काटती (चित्र 38)। रेखा a पर एक बिंदु B लें, और रेखा b पर दो बिंदु C और D लें। चार बिंदु A, B, C और D एक ही तल में नहीं हैं, और इसलिए रेखाएँ a और b प्रतिच्छेद करती हैं।
चावल। 38
3.3. समानांतर रेखाएं
अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं के लिए, निम्न कथन, जैसा कि समतल में है:
प्रमाण। मान लीजिए कि एक रेखा a और एक बिंदु A दिया गया है, जो उस पर नहीं है। प्रमेय 3 के अनुसार, एक तल उनसे होकर गुजरता है; चलो इसे ए कहते हैं। समतल a में, समतलमिति की सभी स्थितियाँ पूरी होती हैं, और इसलिए एक सीधी रेखा b इसमें बिंदु A से होकर गुजरती है, जो a (चित्र 39) के समानांतर है। आइए हम सिद्ध करें कि a के समानांतर और समान बिंदु A से गुजरने वाली कोई अन्य रेखा नहीं है।
चावल। 39
वास्तव में, ऐसी रेखा, समानांतर रेखाओं की परिभाषा के अनुसार, उसी तल में रेखा a के साथ होनी चाहिए। इसके अलावा, इसे बिंदु A से गुजरना होगा। इसलिए, इसे रेखा a और बिंदु A से गुजरने वाले तल में होना चाहिए।
प्रमेय 3 के अनुसार, ऐसा केवल एक ही तल है - यह तल है a.
लेकिन एक समतल में, जैसा कि ज्ञात है, दी गई सीधी रेखा a के समानांतर दिए गए बिंदु A से केवल एक सीधी रेखा गुजरती है, - यह सीधी रेखा b है। नतीजतन, अंतरिक्ष में केवल एक रेखा बिंदु A से होकर गुजरती है, जो दी गई रेखा a के समानांतर है।
जैसा कि समतल में होता है, अंतरिक्ष में एक तीसरी रेखा के समानांतर दो रेखाएँ समानांतर होती हैं। समानांतर रेखाओं के इस चिन्ह को सिद्ध करने के लिए, हम पहले निम्नलिखित प्रमेयिका सिद्ध करते हैं:
मान लीजिए कि रेखाएँ a और b समानांतर हैं और समतल a, रेखा a को बिंदु A पर काटती है (चित्र 40)। आइए हम समांतर रेखाओं a और b से होकर समतल β खींचते हैं। समतल a और β में एक उभयनिष्ठ बिंदु A है, और इसलिए बिंदु A से गुजरने वाली रेखा c के अनुदिश प्रतिच्छेद करती है। रेखा a, रेखा c को बिंदु A पर काटती है। इसलिए, समतल β में और उसके समानांतर रेखा b को प्रतिच्छेद करती है रेखा c किसी बिंदु B पर। बिंदु B पर रेखा b भी समतल a को काटती है।
चावल। 40
आइए हम समांतर रेखाओं की कसौटी सिद्ध करें।
मान लीजिए कि दो रेखाएँ a और b रेखा c के समानांतर हैं। आइए हम सिद्ध करें कि a||b. रेखा b पर कोई बिंदु B लीजिए और बिंदु B और रेखा a से होकर जाने वाला तल a खींचिए। तब रेखा b भी समतल a में स्थित है। यदि रेखा b समतल a (बिंदु B पर) को काटती है, तो लेम्मा द्वारा, इसके समानांतर रेखा c भी इस तल को काटती है। यदि हम फिर से समांतर रेखाओं a और c पर लेम्मा लागू करते हैं, तो हम पाते हैं कि रेखा a समतल a को काटती है, जो समतल a की रचना का खंडन करती है (इसमें रेखा a शामिल है)। अतः रेखा b, रेखा a के समान तल a में स्थित है। रेखाएँ a और b प्रतिच्छेद नहीं कर सकतीं (प्रमेय 5 द्वारा)। अतः रेखाएँ a और b समांतर हैं।
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