Ustawienie funkcji oznacza ustanowienie reguły (prawa), za pomocą której, zgodnie z podanymi wartościami zmiennej niezależnej, znajdujemy odpowiednie wartości funkcji. Przyjrzyjmy się różnym sposobom definiowania funkcji.
Ten wpis definiuje temperaturę T w funkcji czasu t:T=f(t). Zaletą tabelarycznego sposobu określania funkcji jest to, że umożliwia natychmiastowe określenie określonych wartości funkcji, bez dodatkowych zmian czy obliczeń. Wady: definiuje funkcję nie do końca, ale tylko dla niektórych wartości argumentu; nie daje wizualnej reprezentacji natury zmiany funkcji wraz ze zmianą argumentu.
2. Graficzny sposób.harmonogram funkcja y=f(x) to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, których współrzędne spełniają podane równanie. Może to być jakaś krzywa, w szczególności linia prosta, zbiór punktów na płaszczyźnie.
Zaletą jest widoczność, wadą brak możliwości dokładnego określenia wartości argumentu. W inżynierii i fizyce jest to często jedyny dostępny sposób na ustawienie funkcji, na przykład w przypadku korzystania z rejestratorów, które automatycznie rejestrują zmianę jednej wielkości względem drugiej (barograf, termograf itp.).
3. Metoda analityczna. Zgodnie z tą metodą funkcja jest określana analitycznie za pomocą formuły. Ta metoda umożliwia każdej wartości liczbowej argumentu x znalezienie odpowiedniej wartości liczbowej funkcji y dokładnie lub z pewną dokładnością.
W metodzie analitycznej funkcję można podać za pomocą kilku różnych wzorów. Na przykład funkcja
zdefiniowane w obszarze definicji [- 
, 15] przy użyciu trzech formuł.
Jeśli związek między x i y jest podany przez formułę, która jest rozwiązana w odniesieniu do y, tj. ma postać y \u003d f (x) , to mówią, że funkcja x jest podana wyraźnie, na przykład. Jeśli wartości x i y są powiązane jakimś równaniem postaci F(x, y) = 0, tj. formuła nie jest dozwolona w odniesieniu do y, wtedy mówi się, że funkcja jest zdefiniowana niejawnie. Na przykład,. Zauważ, że nie każda funkcja niejawna może być reprezentowana jako y \u003d f (x), wręcz przeciwnie, każda funkcja jawna może być zawsze reprezentowana jako niejawna: 
. Inny rodzaj analitycznego określenia funkcji jest parametryczny, gdy argument x i funkcja y są funkcjami trzeciej wielkości - parametrem t: 
, gdzie 
, T to pewien przedział. Ta metoda jest szeroko stosowana w mechanice, w geometrii.
Sposób analityczny jest najczęstszym sposobem definiowania funkcji. Jego główne zalety to zwartość, umiejętność zastosowania aparatu analizy matematycznej do danej funkcji, umiejętność obliczania wartości funkcji dla dowolnych wartości argumentu.
4. Sposób werbalny. Metoda ta polega na tym, że zależność funkcjonalna jest wyrażona słowami. Na przykład funkcja E (x) jest częścią całkowitą liczby x, funkcja Dirichleta, funkcja Riemanna, n!, r (n) to liczba dzielników liczby naturalnej n.
5. Metoda semigraficzna. Tutaj wartości funkcji są reprezentowane jako segmenty, a wartości argumentów są reprezentowane jako liczby na końcach segmentów wskazujące wartości funkcji. Na przykład w termometrze znajduje się podziałka z równymi podziałkami, które mają liczby. Te liczby są wartościami argumentu (temperatury). Stoją one w miejscu, które determinuje graficzne wydłużenie słupa rtęci (wartości funkcji) ze względu na jego rozszerzanie objętościowe w wyniku zmian temperatury.
Jedną z klasycznych definicji pojęcia „funkcja” są definicje oparte na korespondencji. Przedstawiamy szereg takich definicji.
Definicja 1
Zależność, w której każda wartość zmiennej niezależnej odpowiada pojedynczej wartości zmiennej zależnej, nazywa się funkcjonować.
Definicja 2
Niech zostaną podane dwa niepuste zbiory $X$ i $Y$. Wywoływane jest dopasowanie $f$, które odwzorowuje każdy $x\in X$ jeden i tylko jeden $y\in Y$ funkcjonować($f:X → Y$).
Definicja 3
Niech $M$ i $N$ będą dwoma dowolnymi zbiorami liczbowymi. Mówi się, że funkcja $f$ jest zdefiniowana na $M$, przyjmując wartości z $N$, jeśli każdy element $x\w X$ jest powiązany z jednym i tylko jednym elementem z $N$.
Poniższą definicję podaje pojęcie zmiennej. Zmienna to wielkość, która w niniejszym opracowaniu przyjmuje różne wartości liczbowe.
Definicja 4
Niech $M$ będzie zbiorem wartości zmiennej $x$. Wtedy, jeśli każda wartość $x\w M$ odpowiada jednej określonej wartości innej zmiennej, $y$ jest funkcją wartości $x$ zdefiniowanej na zbiorze $M$.
Definicja 5
Niech $X$ i $Y$ będą zbiorami liczb. Funkcja jest zbiorem $f$ uporządkowanych par liczb $(x,\ y)$ takich, że $x\in X$, $y\in Y$ i każdy $x$ należy do jednej i tylko jednej pary tego zestaw, a każdy $y$ jest w co najmniej jednej parze .
Definicja 6
Dowolny zbiór $f=\(\left(x,\ y\right)\)$ uporządkowanych par $\left(x,\ y\right)$ taki, że dla dowolnych par $\left(x",\ y" \right)\in f$ i $\left(x"",\ y""\right)\in f$ z warunku $y"≠ y""$ wynika, że $x"≠x""$ jest nazywana funkcją lub wyświetlaczem.
Definicja 7
Funkcja $f:X → Y$ to zbiór $f$ uporządkowanych par $\left(x,\ y\right)\in X\times Y$ taki, że dla dowolnego elementu $x\in X$ istnieje unikalny element $y\in Y$ taki, że $\left(x,\ y\right)\in f$, czyli funkcja jest krotką obiektów $\left(f,\ X,\ Y\right) $.
W tych definicjach
$x$ jest zmienną niezależną.
$y$ jest zmienną zależną.
Wszystkie możliwe wartości zmiennej $x$ nazywane są domeną funkcji, a wszystkie możliwe wartości zmiennej $y$ domeną funkcji.
Do tej metody potrzebujemy pojęcia wyrażenia analitycznego.
Definicja 8
Wyrażenie analityczne jest iloczynem wszystkich możliwych operacji matematycznych na dowolnych liczbach i zmiennych.
Analitycznym sposobem ustawienia funkcji jest jej ustawienie za pomocą wyrażenia analitycznego.
Przykład 1
$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.
Plusy:
Minusy:
Ten sposób ustawienia polega na tym, że dla kilku wartości zmiennej niezależnej wypisywane są wartości zmiennej zależnej. Wszystko to jest wpisane do tabeli.
Przykład 2
Obrazek 1.
Plus: Dla dowolnej wartości zmiennej niezależnej $x$, która jest wpisana do tabeli, odpowiednia wartość funkcji $y$ jest natychmiast rozpoznawana.
Minusy:
Pojęcie funkcji Sposoby definiowania funkcji Przykłady funkcji Analityczna definicja funkcji Graficzny sposób definiowania funkcji Granica funkcji w punkcie Tabelaryczny sposób definiowania funkcji Twierdzenia graniczne Niepowtarzalność granicy Granica funkcji, która ma granica Przejście do granicy w nierówności Granica funkcji w nieskończoności Funkcje nieskończenie małe Własności funkcji nieskończenie małych
Pojęcie funkcji jest podstawowe i oryginalne, podobnie jak pojęcie zbioru. Niech X będzie jakimś zbiorem liczb rzeczywistych x. Jeżeli każdemu x ∈ X zgodnie z jakimś prawem przyporządkujemy pewną liczbę rzeczywistą y, to mówią, że na zbiorze X dana jest funkcja i zapisują. Wprowadzoną w ten sposób funkcję nazywa się liczbową. W tym przypadku zbiór X nazywamy dziedziną definicji funkcji, a zmienną niezależną x nazywamy argumentem. Aby wskazać funkcję, czasami używa się tylko symbolu, który oznacza prawo korespondencji, tj. zamiast f (x) n i błazen, po prostu /. Zatem funkcja jest podana, jeśli 1) określono dziedzinę definicji 2) regułę /, która przypisuje każdej wartości a: X € pewna liczba y = /(x) - wartość funkcji odpowiadająca tej wartości argumentu x. Funkcje / i g są nazywane równymi, jeśli ich dziedziny definicji pokrywają się, a równość f(x) = g(x) jest prawdziwa dla dowolnej wartości argumentu x z ich wspólnej dziedziny. Zatem funkcje y nie są równe; są równe tylko w przedziale [O, I]. Przykłady funkcji. 1. Ciąg (o„) jest funkcją argumentu całkowitego, zdefiniowanego na zbiorze liczb naturalnych, takim, że f(n) = an (n = 1,2,...). 2. Funkcja y = n? (czytaj „en-silnik”). Dane na zbiorze liczb naturalnych: każda liczba naturalna n jest powiązana z iloczynem wszystkich liczb naturalnych od 1 do n włącznie: ponadto 0! = 1. Znak oznaczenia pochodzi od łacińskiego słowa signum - znak. Ta funkcja jest zdefiniowana na całej osi liczbowej, zbiór jej wartości składa się z trzech liczb -1,0, I (ryc. 1). y = |x), gdzie (x) oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej x, tj. [x| - największa liczba całkowita nieprzekraczająca Czyta się: - gra jest równa antie x ”(fr. entier). Ta funkcja jest ustawiona na całej osi liczbowej, a zbiór wszystkich jej wartości składa się z liczb całkowitych (ryc. 2). Sposoby określania funkcji Analityczne określanie funkcji Funkcja y = f(x) jest określana analitycznie, jeśli jest zdefiniowana za pomocą formuły, która wskazuje, jakie operacje należy wykonać na każdej wartości x, aby uzyskać odpowiednią wartość tak. Na przykład funkcja jest podana analitycznie. W tym przypadku dziedzinę funkcji (o ile nie jest ona z góry określona) rozumiana jest jako zbiór wszystkich wartości rzeczywistych argumentu x, dla których wyrażenie analityczne definiujące funkcję przyjmuje tylko wartości rzeczywiste i wartości końcowe. W tym sensie dziedzina funkcji nazywana jest także jej domeną istnienia. Dla funkcji dziedziną definicji jest odcinek, dla funkcji y - sin x dziedziną definicji jest cała oś liczbowa. Zauważ, że nie każda formuła definiuje funkcję. Na przykład formuła nie definiuje żadnej funkcji, ponieważ nie istnieje ani jedna wartość rzeczywista x, dla której oba pierwiastki zapisane powyżej miałyby wartości rzeczywiste. Przypisanie analityczne funkcji może wyglądać dość skomplikowanie. W szczególności funkcję można podać różnymi wzorami na różne części jego dziedzina definicji. Na przykład funkcję można zdefiniować tak: 1.2. Graficzny sposób określenia funkcji Funkcja y = f(x) jest wywoływana określona graficznie, jeśli określony jest jej harmonogram, tj. zbiór punktów (xy/(x)) na płaszczyźnie xOy, których odcięte należą do dziedziny definicji funkcji, a rzędne są równe odpowiednim wartościom funkcji (rys. 4). Nie dla każdej funkcji jej wykres można przedstawić na rysunku. Na przykład funkcja Dirichleta, jeśli x jest wymierne, jeśli x jest niewymierne, ZX \o nie pozwala na taką reprezentację. Funkcja R(x) podana jest na całej osi liczbowej, a zbiór jej wartości składa się z dwóch liczb 0 i 1. 1.3. Tabelaryczny sposób określania funkcji Funkcja jest określana tabelarycznie, jeśli podana jest tabela zawierająca wartości liczbowe funkcji dla niektórych wartości argumentu. Gdy funkcja jest zdefiniowana w tabeli, jej dziedziną definicji są tylko wartości x\t x2i..., xn wymienione w tabeli. §2. Granica funkcji w punkcie Pojęcie granicy funkcji jest kluczowe dla Analiza matematyczna. Niech funkcja f(x) będzie zdefiniowana w pewnym sąsiedztwie Q punktu xq, z wyjątkiem być może samego punktu rozszerzenia (Cauchy'ego). Liczbę A nazywamy granicą funkcji f(x) w punkcie x0 jeśli dla dowolnej liczby e > 0, która może być dowolnie mała, istnieje liczba<5 >0 tak, że dla wszystkich iGH.i^ x0 spełniających warunek nierówność jest prawdziwa Definicja funkcji Sposoby definiowania funkcji Przykłady funkcji Analityczna definicja funkcji Graficzny sposób definiowania funkcji Granica funkcji w punkcie Tabelaryczny sposób Definiowanie funkcji Twierdzenia graniczne Niepowtarzalność granicy Granica funkcji, która ma granicę Przejście do granicy w nierówności Granica funkcji w nieskończoności Funkcje nieskończenie małe Własności funkcji nieskończenie małych Notacja: Używając symboli logicznych, definicja ta jest wyrażona w następujący sposób. . 1. Korzystając z definicji granicy funkcji w punkcie, pokaż, że Funkcja jest zdefiniowana wszędzie, łącznie z punktem zo = 1: /(1) = 5. Weź dowolne. Aby nierówność |(2x + 3) - 5| miało miejsce, konieczne jest spełnienie następujących nierówności Dlatego jeśli weźmiemy to będziemy mieli. Oznacza to, że liczba 5 jest granicą funkcji: w punkcie 2. Korzystając z definicji granicy funkcji, pokaż, że funkcja nie jest zdefiniowana w punkcie xo = 2. Rozważmy /(x) w jakimś sąsiedztwie punkt-Xq = 2, na przykład na przedziale (1, 5), który nie zawiera punktu x = 0, w którym funkcja /(x) również nie jest zdefiniowana. Weź dowolną liczbę c > 0 i przekształć wyrażenie |/(x) - 2| dla x f 2 w następujący sposób Dla x b (1, 5) otrzymujemy nierówność Z tego jest jasne, że jeśli weźmiemy 6 \u003d c, to dla wszystkich x € (1,5) pod warunkiem, że nierówność będzie prawdziwa Oznacza to, że liczba A - 2 jest granicą danej funkcji w punkcie Podajmy geometryczne wyjaśnienie pojęcia granicy funkcji w punkcie, odwołując się do jej wykresu (ryc. 5). Dla x wartości funkcji /(x) wyznaczają rzędne punktów krzywej M \ M, dla x > ho - rzędne punktów krzywej MM2. Wartość /(x0) wyznacza rzędna punktu N. Wykres tej funkcji otrzymujemy, jeśli weźmiemy „dobrą” krzywą M\MMg i zastąpimy punkt M(x0, A) na krzywej punktem JW. Pokażmy, że funkcja f(x) ma granicę w punkcie xo, równa liczbie A (rzędna punktu M). Weź dowolną (dowolnie małą) liczbę e > 0. Zaznacz na osi Oy punkty rzędnymi A, A - e, A + e. Oznacz przez P i Q punkty przecięcia wykresu funkcji y \u003d / (x ) liniami y \u003d A - enu = A + e. Niech odcięte tych punktów będą odpowiednio x0 - hx0 + hi (ht > 0, /12 > 0). Z rysunku widać, że dla dowolnego x Φ x0 z przedziału (x0 - h\, x0 + hi) wartość funkcji f(x) jest pomiędzy. dla wszystkich x ⩽ x0 spełniających warunek, nierówność jest prawdziwa Ustalamy Wtedy przedział będzie zawarty w przedziale, a więc nierówność lub, co będzie również spełnione dla wszystkich x spełniających warunek Dowodzi to, że funkcja y \u003d f (x) ma granicę A w punkcie x0, jeśli bez względu na to, jak wąski e-pasek między liniami y = A - eny = A + e, istnieje takie „5 > 0, że dla wszystkich x z przebitego sąsiedztwa punktu x0 punktu wykresu funkcji y = / (x) znajdują się wewnątrz wskazanego e-pasma. Uwaga 1. Wielkość b zależy od e: 6 = 6(e). Uwaga 2. W definicji granicy funkcji w punkcie Xq sam punkt x0 jest wyłączony z rozważań. Zatem wartość funkcji w punkcie Ho ns nie wpływa na granicę funkcji w tym punkcie. Co więcej, funkcja może nie być nawet zdefiniowana w punkcie Xq. Dlatego dwie funkcje, które są równe w sąsiedztwie punktu Xq, wyłączając być może sam punkt x0 (mogą mieć w nim różne wartości, jedna z nich lub obie mogą nie być zdefiniowane), mają tę samą granicę dla x - Xq lub oba nie mają limitu. Z tego w szczególności wynika, że aby znaleźć granicę ułamka w punkcie xo, uzasadnione jest zredukowanie tego ułamka o równe wyrażenia, które znikają w x = Xq. Przykład 1. Znajdź Funkcja /(x) = j dla wszystkich x Ф 0 jest równa jeden, aw punkcie x = 0 nie jest zdefiniowana. Zastępując f(x) funkcją g(x) = 1 równą jej przy x 0, otrzymujemy pojęcie funkcji Sposoby definiowania funkcji Przykłady funkcji Analityczna definicja funkcji Graficzny sposób definiowania funkcji Granica funkcji funkcja w punkcie Tabelaryczny sposób definiowania funkcji Twierdzenia graniczne Unikalność granicy Granica funkcji posiadającej granicę przejścia do granicy w nierówności Granica funkcji w nieskończoności Funkcje nieskończenie małe Własności funkcji nieskończenie małych x = 0 granica równa zero: lim q(x) = 0 (pokaż to!). Dlatego lim /(x) = 0. Problem. Sformułuj za pomocą nierówności (w języku e-6), co oznacza Niech funkcja /(n) będzie zdefiniowana w jakimś sąsiedztwie Π punktu x0, z wyjątkiem być może samego punktu x0. Definicja (Heinego). Liczbę A nazywamy granicą funkcji /(x) w punkcie x0, jeśli dla dowolnego ciągu (xn) wartości argumentu x 6 P, zn / x0) zbieżnych do punktu x0, odpowiedni ciąg wartości funkcji (/(xn)) zbiega się do liczby A. Wygodnie jest zastosować powyższą definicję, gdy konieczne jest ustalenie, że funkcja /(x) nie ma limitu w punkcie x0. Aby to zrobić, wystarczy znaleźć jakiś ciąg (/(xn)), który nie ma granicy, lub wskazać dwa ciągi (/(xn)) i (/(x "n)) mające różne granice. pokazać na przykład, że funkcja iiya / (x) = sin j (rys. 7), zdefiniowana WSZĘDZIE, poza PUNKTEM X = O, rys. 7 nie ma granicy w punkcie x = 0. Rozważmy dwa ciągi (, zbieżne do punktu x = 0. Odpowiednie wartości ciągów funkcji f(x) zbiegają się do różnych granic: ciąg (sinnTr) jest zbieżny do zera, a ciąg (sin(5+-) do jednego Oznacza to, że funkcja f(x) = sin j w punkcie x = 0 nie ma granicy Uwaga. Obie definicje granicy funkcji” w punkcie (definicja Cauchy'ego i definicja Heinego) są równoważne. §3 Twierdzenia graniczne Twierdzenie 1 (jedyność granicy) Jeżeli funkcja f(x) ma granicę w xo, to granica ta jest jednoznaczna. A Niech lim /(x) = A. Pokażmy, że nie ma liczby B φ A może być granicą x-x0 funkcji /(x) w punkcie x0. ov XO jest sformułowane w następujący sposób: Korzystając z otrzymanej nierówności, weźmy e = > 0. Ponieważ lim / (x) = A, dla wybranego e > 0 jest 6 > 0 takie, że Z relacji (1) dla wskazane wartości x mamy Czyli znaleźliśmy takie , że nieważne jak małe są x Φ xQ, takie że i jednocześnie ^ e. Stąd definicja. Mówi się, że funkcja /(x) jest ograniczona w sąsiedztwie punktu x0, jeśli istnieją liczby M > 0 i 6 > 0 takie, że Twierdzenie 2 (ograniczenie funkcji, która ma granicę). Jeżeli funkcja f(x) jest zdefiniowana w sąsiedztwie punktu x0 i ma skończoną granicę w punkcie x0, to jest ograniczona w pewnym sąsiedztwie tego punktu. m Niech Wtedy dla dowolnego przykładu, dla e = 1, jest takie 6 > 0, że dla wszystkich x φ x0 spełniających warunek, nierówność będzie prawdziwa Zauważając, że zawsze otrzymujemy Let. Wtedy w każdym punkcie x naszego przedziału Oznacza to, zgodnie z definicją, że funkcja f(x) jest ograniczona w sąsiedztwie. Na przykład funkcja /(x) = sin jest ograniczona w pobliżu punktu, ale nie ma ograniczenia w punkcie x = 0. Sformułujmy jeszcze dwa twierdzenia, których znaczenie geometryczne jest całkiem jasne. Twierdzenie 3 (przejście do granicy nierówności). Jeśli /(x) ⩽ ip(x) dla wszystkich x w jakimś sąsiedztwie punktu x0, może z wyjątkiem samego punktu x0, a każda z funkcji /(x) i ip(x) w punkcie x0 ma granicę , to Zauważ, że ścisła nierówność funkcji niekoniecznie implikuje ścisłą nierówność ich granic. Jeśli te granice istnieją, to możemy tylko stwierdzić, że Tak np. nierówność while jest prawdziwa dla funkcji Twierdzenie 4 (granica funkcji pośredniej). Jeśli dla wszystkich x w jakimś sąsiedztwie punktu Xq, z wyjątkiem być może samego punktu x0 (rys. 9) oraz funkcji f(x) i ip(x) w punkcie xo mają tę samą granicę A, to funkcja f(x) w punkcie x0 ma granicę równą tej samej wartości A. § 4. Granica funkcji w nieskończoności Niech funkcja /(x) będzie zdefiniowana albo na całej osi rzeczywistej albo przynajmniej dla wszystkie x spełniają warunek jx| > K dla pewnego K > 0. Definicja. Liczba A nazywana jest granicą funkcji f(x), ponieważ x dąży do nieskończoności, i piszą, jeśli dla dowolnego e > 0 istnieje liczba jV > 0 taka, że dla wszystkich x spełniających warunek |x| > X, nierówność jest prawdziwa Zastępując odpowiednio warunek w tej definicji, otrzymujemy definicje Z tych definicji wynika, że wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie Fakt ten geometrycznie oznacza co następuje: nieważne jak wąski jest e-pasek między liniami y \ u003d A- euy \u003d A + e, istnieje taka prosta linia x = N > 0, że po prawej stronie wykres funkcji y = /(x) jest w całości zawarty we wskazanym e-pasku (ryc. 10 ). W tym przypadku mówią, że dla x + oo wykres funkcji y \u003d / (x) asymptotycznie zbliża się do linii prostej y \u003d A. Przykład: Funkcja / (x) \u003d jtjj- jest zdefiniowana na cała oś rzeczywista i jest ułamkiem, którego licznik jest stały , a mianownik rośnie w nieskończoność jako |x| +oo. Naturalne jest oczekiwanie, że lim /(x)=0. Pokażmy to. M Weź dowolne e > 0, z zastrzeżeniem warunku Aby relacja zaszła, nierówność c lub musi być spełniona, co jest tym samym, co skąd Tak. jeśli weźmiemy, będziemy mieć. Oznacza to, że liczba jest granicą tej funkcji w Uwaga, wyrażenie pierwiastkowe dotyczy tylko t ^ 1. W przypadku, gdy nierówność c jest automatycznie spełniony dla wszystkich nawet funkcja y = - asymptotycznie zbliża się do prostej Problem. Sformułuj używając nierówności, co oznacza §5. Nieskończenie małe funkcje Niech funkcja a(x) będzie zdefiniowana w jakimś sąsiedztwie punktu x0, z wyjątkiem być może samego punktu x0. Definicja. Funkcja a(x) jest nazywana funkcją nieskończenie małą (w skrócie b.m.f.), ponieważ x dąży do x0, jeśli w ramach jednoznaczności granic granica funkcji, która ma przejście graniczne do granicy w nierówności Granica funkcji w nieskończoności Funkcje nieskończenie małe Własności funkcji nieskończenie małych Na przykład funkcja a(x) = x - 1 to b. m. ż. przy x 1, ponieważ lim (x-l) \u003d 0. Wykres funkcji y \u003d x-1 1-1 pokazano na ryc. II. Ogólnie funkcja a(x)=x-x0 jest najprostszym przykładem b. m. ż. w x-»ho. Biorąc pod uwagę definicję granicy funkcji w punkcie, definicję b. m. ż. można sformułować w ten sposób. Definicja. Mówi się, że funkcja a(x) jest nieskończenie mała dla x - * xo, jeśli dla dowolnego t > 0 istnieje takie "5 > 0, że dla wszystkich x spełniających warunek nierówność jest prawdziwymi funkcjami w definicji. Funkcję a(x) nazywamy nieskończenie małą dla x -» oo, jeśli wtedy funkcję a(x) nazywamy odpowiednio nieskończenie małą, dla lub dla Na przykład funkcja jest nieskończenie mała dla x -» oo, ponieważ lim j = 0. Funkcja a (x ) = e~x jest nieskończenie małą funkcją jak x -* + oo, ponieważ w dalszej części rozważymy z reguły wszystkie pojęcia i twierdzenia dotyczące granic funkcji tylko w relacji do przypadku granicy funkcji w punkcie, pozostawiając czytelnikowi sformułowanie odpowiednich pojęć dla siebie i udowodnienie podobnych twierdzeń z czasów, gdy Własności funkcji nieskończenie małych Twierdzenie 5. Jeśli a(x) i P(x) - b. m. ż. dla x - * xo, to ich suma a(x) + P(x) jest również b.m. f. w x -» ho. 4 Weź dowolne e > 0. Ponieważ a(x) to b.m.f. dla x -* xo, to jest "51 > 0 takie, że dla wszystkich x Φ xo spełniających warunek nierówność jest prawdziwa. Z warunku P(x) również b.m.f. dla x ho, więc jest takie, że dla wszystkich χ φ ho spełniających warunek, nierówność jest prawdziwa Ustawmy 6 = min(«5j, 62). Wtedy dla wszystkich x Ф ho spełniających warunek, nierówności (1) i (2) będą jednocześnie prawdziwe. Oznacza to zatem, że suma a(x) +/3(x) to b.m.f. dla xxq. Komentarz. Twierdzenie pozostaje ważne dla sumy dowolnej skończonej liczby funkcji, b. m. w x zo. Twierdzenie 6 (iloczyn b.m.f. przez funkcję ograniczoną). Jeśli funkcja a(x) to b. m. ż. dla x -* x0, a funkcja f(x) jest ograniczona w sąsiedztwie punktu Xo, to iloczyn a(x)/(x) wynosi 6. m. ż. dla x -» x0. Z założenia funkcja f(x) jest ograniczona w sąsiedztwie punktu x0. Oznacza to, że istnieją liczby 0 i M > 0 takie, że weźmy dowolne e > 0. Ponieważ z tego warunku istnieje 62 > 0 takie, że dla wszystkich x φ x0 spełniających warunek |x - xol, nierówność będzie bd prawdziwe Ustalmy i wszystkich x f x0 speniajcych warunek |x - x0|, nierównoci bd jednoczenie prawdziwe Dlatego Oznacza to, e iloczyn a(x)/(x) jest b. mf z przykładem. Funkcję y \u003d xsin - (ryc. 12) można uznać za iloczyn funkcji a (ar) \u003d x if (x) \u003d sin j. Funkcja a(a) to b. m. ż. dla x - 0, a funkcja f oznacza największą z liczb całkowitych, która nie przekracza x. Innymi słowy, jeśli x = r + q, gdzie r jest liczbą całkowitą (może być ujemna), a q należy do przedziału = r. Funkcja E(x) = [x] jest stała na przedziale = r.
Przykład 2: funkcja y = (x) - część ułamkowa liczby. Dokładniej, y =(x) = x - [x], gdzie [x] jest częścią całkowitą liczby x. Ta funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich x. Jeśli x jest dowolną liczbą, to reprezentując ją jako x = r + q (r = [x]), gdzie r jest liczbą całkowitą, a q leży w przedziale .
Widzimy, że dodanie n do argumentu x nie zmienia wartości funkcji.
Najmniejsza niezerowa liczba w n to , więc okres to sin 2x .
Wywoływana jest wartość argumentu, dla którego funkcja jest równa 0 zero (źródło) Funkcje.
Funkcja może mieć wiele zer.
Na przykład funkcja y=x(x+1)(x-3) ma trzy zera: x=0, x=-1, x=3.
Geometrycznie zero funkcji jest odciętą punktu przecięcia wykresu funkcji z osią X .
Rysunek 7 przedstawia wykres funkcji z zerami: x = a, x = b i x = c .
Jeśli wykres funkcji zbliża się do pewnej linii prostej w nieskończoność, gdy oddala się od początku, to ta linia prosta jest nazywana asymptota.
Funkcja odwrotna
Niech funkcja y=ƒ(x) będzie dana z dziedziną definicji D i zbiorem wartości E. Jeżeli każdej wartości yєE odpowiada pojedyncza wartość xєD, to funkcja x=φ(y) jest zdefiniowana domena definicji E i zbiór wartości D (patrz Rys. 102 ).
Taką funkcję φ(y) nazywamy odwrotnością funkcji ƒ(x) i zapisujemy w następujący formularz: x=j(y)=f -1 (y) Funkcje y=ƒ(x) i x=φ(y) są uważane za wzajemnie odwrotne. Aby znaleźć funkcję x=φ(y) odwrotną do funkcji y=ƒ(x), wystarczy rozwiązać równanie ƒ(x)=y względem x (jeśli to możliwe).
1. Dla funkcji y \u003d 2x funkcją odwrotną jest funkcja x \u003d y / 2;
2. Dla funkcji y \u003d x2 xє funkcją odwrotną jest x \u003d √y; zauważ, że dla funkcji y \u003d x 2, podanej w segmencie [-1; 1] nie ma odwrotności, ponieważ jedna wartość y odpowiada dwóm wartościom x (np. jeśli y=1/4, to x1=1/2, x2=-1/2).
Z definicji funkcji odwrotnej wynika, że funkcja y=ƒ(x) ma odwrotność wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja ƒ(x) definiuje zależność jeden do jednego między zbiorami D i E. Wynika z tego, że dowolna funkcja ściśle monotoniczna ma odwrotność. Co więcej, jeśli funkcja rośnie (maleje), to funkcja odwrotna również rośnie (maleje).
Zauważ, że funkcja y \u003d ƒ (x) i jej odwrotność x \u003d φ (y) są przedstawione tą samą krzywą, to znaczy ich wykresy pokrywają się. Jeśli zgodzimy się, że jak zwykle zmienna niezależna (tj. argument) jest oznaczona przez x, a zmienna zależna przez y, wówczas funkcja odwrotna funkcji y \u003d ƒ (x) zostanie zapisana jako y \u003d (x).
Oznacza to, że punkt M1 (xo;yo) krzywej y=ƒ(x) staje się punktem M2(yo;xo) krzywej y=φ(x). Ale punkty M 1 i M 2 są symetryczne względem linii prostej y \u003d x (patrz ryc. 103). Dlatego wykresy funkcji wzajemnie odwrotnych y=ƒ(x) i y=φ(x) są symetryczne względem dwusiecznej pierwszego i trzeciego kąta współrzędnej.
Złożona funkcja
Niech funkcja y=ƒ(u) będzie zdefiniowana na zbiorze D, a funkcja u= φ(x) na zbiorze D 1 , a dla x D 1 odpowiednia wartość u=φ(x) є D. Wtedy na zbiorze D 1 zdefiniowana jest funkcja u=ƒ(φ(x)), którą nazywamy złożoną funkcją x (lub superpozycją ustawić funkcje lub funkcja funkcji).
Zmienna u=φ(x) nazywana jest argumentem pośrednim funkcji złożonej.
Na przykład funkcja y=sin2x jest superpozycją dwóch funkcji y=sinu i u=2x. Złożona funkcja może mieć wiele argumentów pośrednich.
4. Podstawowe funkcje elementarne i ich wykresy.
Następujące funkcje nazywane są podstawowymi funkcjami podstawowymi.
1) Funkcja wykładnicza y \u003d a x, a> 0, a ≠ 1. Na ryc. Pokazano 104 wykresy funkcje wykładnicze odpowiadające różnym podstawom stopnia.
2) Funkcja potęgowa y=x α , αєR. Przykłady wykresów funkcje zasilania, odpowiadające różnym wykładnikom, są podane na rysunkach
3) Funkcja logarytmiczna y=log a x, a>0,a≠1 Wykresy funkcji logarytmicznych odpowiadających różnym podstawom przedstawiono na rys. 106.
4) Funkcje trygonometryczne y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Wykresy funkcji trygonometrycznych mają postać pokazaną na ryc. 107.
5) Rewers funkcje trygonometryczne y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx. Na ryc. 108 przedstawia wykresy odwrotnych funkcji trygonometrycznych.
Funkcja zdefiniowana przez jedną formułę składającą się z basic podstawowe funkcje a stała wykorzystująca skończoną liczbę operacji arytmetycznych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie) oraz operacji pobierania funkcji z funkcji nazywana jest funkcją elementarną.
Przykładami funkcji elementarnych są funkcje
Przykładami funkcji nieelementarnych są funkcje
5. Pojęcia granicy ciągu i funkcji. Ogranicz właściwości.
Ograniczenie funkcji (ograniczenie funkcji) w danym punkcie, ograniczającą dziedzinę definicji funkcji, jest taka wartość, do której dąży wartość rozważanej funkcji, gdy jej argument zmierza do określonego punktu.
W matematyce limit sekwencji elementy przestrzeni metrycznej lub przestrzeni topologicznej to element tej samej przestrzeni, który ma właściwość „przyciągania” elementów danego ciągu. Granicą ciągu elementów przestrzeni topologicznej jest taki punkt, którego każde sąsiedztwo zawiera wszystkie elementy ciągu, począwszy od pewnej liczby. W przestrzeni metrycznej sąsiedztwo definiuje się za pomocą funkcji odległości, a więc pojęcie granicy formułuje się w języku odległości. Historycznie pierwszym z nich było pojęcie granicy ciągu liczbowego, które pojawia się w analizie matematycznej, gdzie służy jako podstawa systemu przybliżeń i jest szeroko stosowane w konstrukcji rachunku różniczkowego i całkowego.
Przeznaczenie:
(czytać: granica ciągu x-n-tego jako zmierzająca do nieskończoności to a)
Własność sekwencji mająca granicę nazywa się konwergencja: jeśli ciąg ma granicę, to o podanym ciągu mówimy zbiega się; w przeciwnym razie (jeśli ciąg nie ma limitu) ciąg jest określany jako rozbieżne. W przestrzeni Hausdorffa, a w szczególności przestrzeni metrycznej, każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny, a jego granica jest taka sama jak granica oryginalnego ciągu. Innymi słowy, sekwencja elementów w przestrzeni Hausdorffa nie może mieć dwóch różnych granic. Może się jednak okazać, że ciąg nie ma granicy, ale istnieje podciąg (danego ciągu), który ma granicę. Jeśli dowolny ciąg punktów w przestrzeni ma zbieżny podciąg, to mówi się, że dana przestrzeń ma właściwość sekwencyjnej zwartości (lub po prostu zwartości, jeśli zwartość jest definiowana wyłącznie w kategoriach ciągów).
Pojęcie granicy ciągu jest bezpośrednio związane z pojęciem punktu (zbioru) granicznego: jeśli zbiór ma punkt graniczny, to istnieje ciąg elementów danego zbioru zbieżny do danego punktu.
Definicja
Niech zostanie podana przestrzeń topologiczna i ciąg Wtedy, jeśli istnieje element taki, że
gdzie jest zbiorem otwartym zawierającym , to nazywa się to granicą ciągu . Jeśli przestrzeń jest metryczna, limit można zdefiniować za pomocą metryki: jeśli istnieje element taki, że
gdzie jest metryka, wtedy nazywa się limit.
· Jeżeli przestrzeń jest wyposażona w topologię antydyskretną, to granicą dowolnej sekwencji jest dowolny element przestrzeni.
6. Granica funkcji w punkcie. Granice jednostronne.
Funkcja jednej zmiennej. Wyznaczanie granicy funkcji w punkcie według Cauchy'ego. Numer b nazywa się granicą funkcji w = f(x) w X dążenie do a(lub w punkcie a) jeśli dla dowolnej liczby dodatniej istnieje liczba dodatnia taka, że dla wszystkich x ≠ a, taka, że | x – a | < , выполняется неравенство
| f(x) – a | < .
Wyznaczanie granicy funkcji w punkcie według Heinego. Numer b nazywa się granicą funkcji w = f(x) w X dążenie do a(lub w punkcie a) jeśli dla dowolnej sekwencji ( x n ) zbieżne do a(dążąc do a, który ma limitowaną liczbę a) i dla dowolnej wartości n x n a, podciąg ( tak n= f(x n)) zbiega się do b.
Definicje te zakładają, że funkcja w = f(x) jest określone w pewnym sąsiedztwie punktu a, może z wyjątkiem samego punktu a.
Definicje granicy funkcji w punkcie według Cauchy'ego i według Heinego są równoważne: jeśli liczba b służy jako granica w jednym z nich, to samo dotyczy drugiego.
Określony limit jest wskazany w następujący sposób:
Geometrycznie istnienie granicy funkcji w punkcie według Cauchy'ego oznacza, że dla dowolnej liczby > 0 taki prostokąt można wskazać na płaszczyźnie współrzędnych o podstawie 2 > 0, wysokości 2 i środku w punkcie ( a; b), że wszystkie punkty wykresu tej funkcji na przedziale ( a– ; a+ ), z ewentualnym wyjątkiem punktu M(a; f(a)), leżą w tym prostokącie
Limit jednostronny w analizie matematycznej granica funkcji numerycznej, implikująca „zbliżenie się” do punktu granicznego z jednej strony. Takie limity nazywane są odpowiednio granica lewej ręki(lub lewy limit) oraz granica prawostronna (granica po prawej stronie). Niech zostanie podany jakiś zbiór liczbowy funkcja numeryczna a liczba to punkt graniczny domeny. Istnieją różne definicje granic jednostronnych funkcji w punkcie, ale wszystkie są równoważne.
.jpg)
