त्रिभुज का क्षेत्रफल - समस्या समाधान के सूत्र और उदाहरण

नीचे दिया गया हैं एक मनमाना त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्रजो किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उपयुक्त हैं, चाहे उसके गुण, कोण या आयाम कुछ भी हों। सूत्र चित्र के रूप में प्रस्तुत किए गए हैं, यहां आवेदन या उनकी शुद्धता के औचित्य के लिए स्पष्टीकरण दिए गए हैं। साथ ही, एक अलग आंकड़ा सूत्र में अक्षर प्रतीकों और ड्राइंग में ग्राफिक प्रतीकों के पत्राचार को दर्शाता है।

टिप्पणी . यदि त्रिभुज में है विशेष गुण(समद्विबाहु, आयताकार, समबाहु), आप नीचे दिए गए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं, साथ ही अतिरिक्त विशेष सूत्र जो केवल इन गुणों वाले त्रिभुजों के लिए मान्य हैं:

• "एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र"

त्रिभुज क्षेत्र सूत्र

सूत्रों के लिए स्पष्टीकरण:
ए, बी, सी- त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई जिसका क्षेत्रफल हम ज्ञात करना चाहते हैं
आर- त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या
आर- त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या
एच- त्रिभुज की ऊँचाई, नीचे की ओर की ओर
पी- एक त्रिभुज का अर्धपरिधि, उसकी भुजाओं का योग 1/2 (परिधि)
α - त्रिभुज की भुजा a के सम्मुख कोण
β - त्रिभुज की भुजा b के सम्मुख कोण
γ - त्रिभुज की भुजा c के विपरीत कोण
एच ए, एच बी , एच सी- त्रिभुज की ऊँचाई, नीचे की ओर a, b, c

कृपया ध्यान दें कि दिया गया अंकन उपरोक्त आकृति से मेल खाता है, ताकि हल करते समय वास्तविक कार्यज्यामिति में, आपके लिए स्थानापन्न करना दृष्टिगत रूप से आसान था सही जगहसूत्र सही मान।

• त्रिभुज का क्षेत्रफल है त्रिभुज की ऊँचाई का आधा गुणनफल और उस भुजा की लंबाई जिस पर यह ऊँचाई कम की जाती है(सूत्र 1)। इस सूत्र की शुद्धता को तार्किक रूप से समझा जा सकता है। आधार तक कम की गई ऊंचाई एक मनमाना त्रिभुज को दो आयताकारों में विभाजित कर देगी। यदि हम उनमें से प्रत्येक को आयाम b और h के साथ एक आयत में पूरा करते हैं, तो, जाहिर है, इन त्रिभुजों का क्षेत्रफल आयत के ठीक आधे क्षेत्रफल के बराबर होगा (Spr = bh)
• त्रिभुज का क्षेत्रफल है इसकी दो भुजाओं का आधा गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या का आधा(सूत्र 2) (नीचे इस सूत्र का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने का एक उदाहरण देखें)। इस तथ्य के बावजूद कि यह पिछले वाले से अलग लगता है, इसे आसानी से इसमें बदला जा सकता है। यदि हम कोण B से भुजा b तक की ऊँचाई कम करते हैं, तो यह पता चलता है कि एक समकोण त्रिभुज में ज्या के गुणों के अनुसार भुजा a और कोण की ज्या का गुणनफल द्वारा खींचे गए त्रिभुज की ऊँचाई के बराबर होता है। हमें, जो हमें पिछला सूत्र देगा
• एक मनमाना त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है के माध्यम से कामएक वृत्त की त्रिज्या का आधा जो उसमें अंकित है, उसकी सभी भुजाओं की लंबाई के योग से(सूत्र 3), दूसरे शब्दों में, आपको त्रिभुज के अर्ध-परिधि को उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या से गुणा करना होगा (इस तरह से याद रखना आसान है)
• एक मनमाना त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके चारों ओर परिचालित वृत्त की 4 त्रिज्याओं से उसकी सभी भुजाओं के गुणनफल को विभाजित करके ज्ञात किया जा सकता है (सूत्र 4)
• फॉर्मूला 5 एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं की लंबाई और उसके अर्ध-परिधि (इसकी सभी भुजाओं के योग का आधा) के संदर्भ में ज्ञात कर रहा है।
• हीरोन का सूत्र(6) एक अर्धपरिमापी की अवधारणा का उपयोग किए बिना, केवल पक्षों की लंबाई के माध्यम से एक ही सूत्र का प्रतिनिधित्व है
• एक मनमाना त्रिभुज का क्षेत्रफल त्रिभुज की भुजा के वर्ग के गुणनफल के बराबर होता है और इस भुजा से सटे कोणों की ज्या इस भुजा के विपरीत कोण की दोहरी ज्या से विभाजित होती है (सूत्र 7)
• एक मनमाना त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके चारों ओर परिचालित एक वृत्त के दो वर्गों और उसके प्रत्येक कोण की ज्याओं के गुणनफल के रूप में पाया जा सकता है। (फॉर्मूला 8)
• यदि एक भुजा की लंबाई और उससे सटे दो कोणों का परिमाण ज्ञात हो, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल इस भुजा के वर्ग के रूप में पाया जा सकता है, जो इनके कोटंगेंट के दोहरे योग से विभाजित होता है। कोण (सूत्र 9)
• यदि केवल त्रिभुज की प्रत्येक ऊँचाई की लंबाई ज्ञात हो (सूत्र 10), तो ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल इन ऊँचाइयों की लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होता है, जैसा कि हेरॉन के सूत्र द्वारा
• फॉर्मूला 11 आपको गणना करने की अनुमति देता है एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके शीर्षों के निर्देशांक के अनुसार, जो प्रत्येक कोने के लिए (x;y) मान के रूप में दिए गए हैं। कृपया ध्यान दें कि परिणामी मान को मोडुलो लिया जाना चाहिए, क्योंकि व्यक्तिगत (या सभी) कोने के निर्देशांक नकारात्मक मूल्यों के क्षेत्र में हो सकते हैं

टिप्पणी. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ज्यामिति में समस्याओं को हल करने के उदाहरण निम्नलिखित हैं। यदि आपको ज्यामिति में एक समस्या को हल करने की आवश्यकता है, जो यहां नहीं है - इसके बारे में फोरम में लिखें। समाधान में, प्रतीक के बजाय " वर्गमूल" sqrt () फ़ंक्शन का उपयोग किया जा सकता है, जिसमें sqrt वर्गमूल प्रतीक है, और मूल अभिव्यक्ति को कोष्ठक में दर्शाया गया है.कभी-कभी प्रतीक का उपयोग सरल मूल भावों के लिए किया जा सकता है √

काम। दो भुजाओं का क्षेत्रफल और उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए

त्रिभुज की भुजाएँ 5 और 6 सेमी हैं। उनके बीच का कोण 60 डिग्री है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए.

फेसला.

इस समस्या को हल करने के लिए, हम पाठ के सैद्धांतिक भाग से सूत्र संख्या दो का उपयोग करते हैं।
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल दो भुजाओं की लंबाई और उनके बीच के कोण की ज्या के माध्यम से पाया जा सकता है और इसके बराबर होगा
एस=1/2 अब पाप γ

चूंकि हमारे पास समाधान के लिए सभी आवश्यक डेटा हैं (सूत्र के अनुसार), हम केवल समस्या की स्थिति से मूल्यों को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
एस=1/2*5*6*पाप60

मूल्यों की तालिका में त्रिकोणमितीय कार्यव्यंजक में ज्या का मान 60 डिग्री खोजें और प्रतिस्थापित करें। यह तीन बटा दो के मूल के बराबर होगा.
एस = 15 3 / 2

जवाब: 7.5 3 (शिक्षक की आवश्यकताओं के आधार पर, 15 3/2 छोड़ना संभव है)

काम। एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजा 3 सेमी है।

फेसला ।

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल हीरोन के सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:

एस = 1/4 वर्ग ((ए + बी + सी) (बी + सी - ए) (ए + सी - बी) (ए + बी -सी))

चूँकि a \u003d b \u003d c, एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र रूप लेगा:

एस = 3 / 4 * a2

एस = 3 / 4 * 3 2

जवाब: 9 √3 / 4.

काम। भुजाओं की लंबाई बदलते समय क्षेत्रफल में परिवर्तन

यदि त्रिभुज की भुजाओं को चौगुना कर दिया जाए तो त्रिभुज का क्षेत्रफल कितना गुना बढ़ जाएगा?

फेसला.

चूँकि हम त्रिभुज की भुजाओं की विमाएँ नहीं जानते हैं, समस्या को हल करने के लिए हम यह मानेंगे कि भुजाओं की लंबाई क्रमशः मनमानी संख्या a, b, c के बराबर है। फिर, समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं दिया गया त्रिभुज, और फिर एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ चार गुना बड़ी हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात हमें समस्या का उत्तर देगा।

इसके बाद, हम चरणों में समस्या के समाधान का पाठ्य विवरण देते हैं। हालांकि, अंत में, वही समाधान एक ग्राफिकल रूप में प्रस्तुत किया जाता है जो धारणा के लिए अधिक सुविधाजनक होता है। जो चाहते हैं वे तुरंत समाधान छोड़ सकते हैं।

हल करने के लिए, हम बगुला सूत्र का उपयोग करते हैं (पाठ के सैद्धांतिक भाग में ऊपर देखें)। यह इस तरह दिख रहा है:

एस = 1/4 वर्ग ((ए + बी + सी) (बी + सी - ए) (ए + सी - बी) (ए + बी -सी))
(नीचे दी गई तस्वीर की पहली पंक्ति देखें)

एक मनमाना त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई चर a, b, c द्वारा दी गई है।
यदि भुजाओं को 4 गुना बढ़ा दिया जाए, तो नए त्रिभुज c का क्षेत्रफल होगा:

एस 2 = 1/4 वर्ग ((4 ए + 4 बी + 4 सी) (4 बी + 4 सी - 4 ए) (4 ए + 4 सी - 4 बी) (4 ए + 4 बी -4 सी))
(नीचे चित्र में दूसरी पंक्ति देखें)

जैसा कि आप देख सकते हैं, 4 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है जिसे के अनुसार सभी चार व्यंजकों से कोष्ठक से निकाला जा सकता है सामान्य नियमअंक शास्त्र।
फिर

एस 2 = 1/4 वर्ग (4 * 4 * 4 * 4 (ए + बी + सी) (बी + सी - ए) (ए + सी - बी) (ए + बी -सी)) - चित्र की तीसरी पंक्ति पर
एस 2 = 1/4 वर्ग (256 (ए + बी + सी) (बी + सी - ए) (ए + सी - बी) (ए + बी -सी)) - चौथी पंक्ति

संख्या 256 से वर्गमूल पूरी तरह से निकाला जाता है, इसलिए हम इसे जड़ के नीचे से निकालेंगे
एस 2 = 16 * 1/4 वर्ग ((ए + बी + सी) (बी + सी - ए) (ए + सी - बी) (ए + बी -सी))
एस 2 = 4 वर्ग ((ए + बी + सी) (बी + सी - ए) (ए + सी - बी) (ए + बी -सी))
(नीचे दिए गए चित्र की पांचवीं पंक्ति देखें)

समस्या में उत्पन्न प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमारे लिए परिणामी त्रिभुज के क्षेत्रफल को मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल से विभाजित करना पर्याप्त है।
हम व्यंजकों को एक दूसरे में विभाजित करके और परिणामी भिन्न को घटाकर क्षेत्रफल अनुपात निर्धारित करते हैं।

विपरीत शीर्ष से) और परिणामी उत्पाद को दो से विभाजित करें। रूप में यह इस तरह दिखता है:

एस = ½ * ए * एच,

कहाँ पे:
S त्रिभुज का क्षेत्रफल है,
a इसकी भुजा की लंबाई है,
h इस तरफ कम की गई ऊंचाई है।

साइड की लंबाई और ऊंचाई समान इकाइयों में प्रस्तुत की जानी चाहिए। इस मामले में, त्रिभुज का क्षेत्रफल संबंधित "" इकाइयों में निकलेगा।

उदाहरण।
20 सेमी लंबे एक स्केलीन त्रिभुज की एक भुजा पर, 10 सेमी लंबे विपरीत शीर्ष से एक लंबवत नीचे किया जाता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल आवश्यक है।
फेसला।
एस = ½ * 20 * 10 = 100 (सेमी²)।

यदि आप एक स्केलीन त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई और उनके बीच के कोण को जानते हैं, तो सूत्र का उपयोग करें:

एस = ½ * ए * बी * पापγ,

जहां: ए, बी दो मनमानी पक्षों की लंबाई हैं, और γ उनके बीच का कोण है।

व्यवहार में, उदाहरण के लिए, भूमि को मापते समय, उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करना कभी-कभी कठिन होता है, क्योंकि इसके लिए अतिरिक्त निर्माण और कोणों की माप की आवश्यकता होती है।

यदि आप एक विषमबाहु त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई जानते हैं, तो हीरोन के सूत्र का उपयोग करें:

एस = √ (पी (पी-ए) (पी-बी) (पी-सी)),

a, b, c त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं,
р - अर्ध-परिधि: p = (a+b+c)/2.

यदि, सभी भुजाओं की लंबाई के अतिरिक्त, त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात हो, तो निम्न संहत सूत्र का प्रयोग करें:

जहां: r खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या है (p अर्ध-परिधि है)।

परिचालित वृत्त के एक विषमकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल और उसकी भुजाओं की लंबाई की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें:

जहाँ: R परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है।

यदि त्रिभुज की भुजाओं में से एक की लंबाई और तीन कोण ज्ञात हैं (सिद्धांत रूप में, दो पर्याप्त हैं - तीसरे के मान की गणना त्रिभुज के तीन कोणों के योग की समानता से की जाती है - 180º), तो उपयोग करें सूत्र:

एस = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

जहाँ α भुजा a के सम्मुख कोण का मान है;
β, त्रिभुज के शेष दो कोणों के मान हैं।

खोजने की जरूरत विभिन्न तत्व, क्षेत्र सहित त्रिकोण, हमारे युग से कई सदियों पहले खगोलविदों के बीच दिखाई दिए प्राचीन ग्रीस. वर्ग त्रिकोणगणना की जा सकती है विभिन्न तरीकेविभिन्न सूत्रों का उपयोग करना। गणना विधि किन तत्वों पर निर्भर करती है त्रिकोणज्ञात।

अनुदेश

यदि शर्त से हम दोनों पक्षों b, c और उनके द्वारा बनाए गए कोण के मान ज्ञात करें?, तो क्षेत्रफल त्रिकोणएबीसी सूत्र द्वारा पाया जाता है:
एस = (बीसीएसआईएन?)/2।

यदि शर्त से हम दोनों पक्षों a, b और उनके द्वारा नहीं बने कोण के मान ज्ञात करें?, तो क्षेत्रफल त्रिकोणएबीसी निम्नानुसार पाया जाता है:
कोण ढूँढना ?, पाप? = bsin? / a, आगे की मेज पर हम कोण को ही निर्धारित करते हैं।
एक कोण ढूँढना? = 180°-?-?.
S = (absin?)/2 का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

अगर शर्त से हम केवल तीन पक्षों के मूल्यों को जानते हैं त्रिकोणए, बी और सी, फिर क्षेत्र त्रिकोणएबीसी सूत्र द्वारा पाया जाता है:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , जहां p सेमीपरिमीटर p = (a+b+c)/2 है

अगर समस्या की स्थिति से हम ऊंचाई जानते हैं त्रिकोण h और वह भुजा जिससे यह ऊँचाई कम की जाती है, तो क्षेत्रफल त्रिकोणएबीसी सूत्र द्वारा:
एस = आह (ए) / 2 = बीएच (बी) / 2 = सीएच (सी) / 2।

अगर हम पक्षों के मूल्यों को जानते हैं त्रिकोणए, बी, सी और दिए गए के पास परिबद्ध की त्रिज्या त्रिकोणआर, तो इसका क्षेत्रफल त्रिकोणएबीसी सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
एस = एबीसी / 4 आर।
यदि तीन भुजाएँ a, b, c और अंकित की त्रिज्या ज्ञात हो, तो क्षेत्रफल त्रिकोणएबीसी सूत्र द्वारा पाया जाता है:
एस = पीआर, जहां पी सेमीपेरीमीटर है, पी = (ए+बी+सी)/2।

यदि ABC समबाहु है, तो क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
एस = (ए ^ 2 वी 3) / 4।
यदि त्रिभुज ABC समद्विबाहु है, तो क्षेत्रफल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
एस = (सीवी(4ए^2-सी^2))/4, जहां सी है त्रिकोण.
यदि त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है, तो क्षेत्रफल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
एस = एबी/2, जहां ए और बी पैर हैं त्रिकोण.
यदि त्रिभुज ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, तो क्षेत्रफल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
एस = सी^2/4 = ए^2/2, जहां सी कर्ण है त्रिकोण, ए = बी - पैर।

संबंधित वीडियो

स्रोत:

• त्रिभुज के क्षेत्रफल को कैसे मापें

टिप 3: यदि आप कोण जानते हैं तो त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए केवल एक पैरामीटर (कोण का मान) जानना पर्याप्त नहीं है ट्रे वर्ग . यदि कोई अतिरिक्त आयाम हैं, तो क्षेत्र निर्धारित करने के लिए, आप उन सूत्रों में से एक चुन सकते हैं जिनमें कोण मान का उपयोग ज्ञात चरों में से एक के रूप में भी किया जाता है। सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले कुछ फ़ार्मुलों को नीचे सूचीबद्ध किया गया है।

अनुदेश

यदि, दोनों पक्षों द्वारा बने कोण (γ) के अतिरिक्त ट्रे वर्ग , इन भुजाओं की लंबाई (A और B) भी ज्ञात हैं, तो वर्ग(एस) आंकड़े पक्ष की लंबाई के आधे उत्पाद और इस ज्ञात कोण की साइन के रूप में परिभाषित किए जा सकते हैं: एस = ½ × ए × बी × पाप (γ)।

त्रिकोण एक प्रसिद्ध आकृति है। और यह, इसके रूपों की समृद्ध विविधता के बावजूद। आयताकार, समबाहु, तीव्र, समद्विबाहु, अधिक। उनमें से प्रत्येक कुछ अलग है। लेकिन किसी के लिए भी त्रिभुज का क्षेत्रफल जानना आवश्यक है।

सभी त्रिभुजों के लिए सामान्य सूत्र जो भुजाओं या ऊँचाई की लंबाई का उपयोग करते हैं

उनमें अपनाए गए पदनाम: पक्ष - ए, बी, सी; a, n in, n s पर संगत भुजाओं पर ऊँचाई।

1. त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना ½ के गुणनफल के रूप में की जाती है, इसकी भुजा और ऊँचाई उस पर कम होती है। एस = ½ * ए * एन ए। इसी तरह, अन्य दो पक्षों के लिए सूत्र लिखना चाहिए।

2. बगुला का सूत्र, जिसमें अर्ध-परिधि दिखाई देती है (इसे पूर्ण परिधि के विपरीत एक छोटे अक्षर p से निरूपित करने की प्रथा है)। अर्ध-परिधि की गणना निम्नानुसार की जानी चाहिए: सभी पक्षों को जोड़ें और उन्हें 2 से विभाजित करें। अर्ध-परिधि के लिए सूत्र: p \u003d (a + b + c) / 2. फिर के क्षेत्र के लिए समानता \u200b\u200bआकृति इस तरह दिखती है: एस \u003d (पी * (पी - ए) * ( पी - सी) * (पी - सी))।

3. यदि आप अर्ध-परिधि का उपयोग नहीं करना चाहते हैं, तो ऐसा सूत्र काम आएगा, जिसमें केवल भुजाओं की लंबाई मौजूद है: S \u003d ¼ * ((a + b + c) * ( बी + सी - ए) * (ए + सी - सी) * (ए + बी - सी))। यह पिछले वाले की तुलना में कुछ लंबा है, लेकिन अगर आप भूल गए कि अर्ध-परिधि कैसे खोजना है तो यह मदद करेगा।

सामान्य सूत्र जिसमें त्रिभुज के कोण दिखाई देते हैं

सूत्र पढ़ने के लिए आवश्यक अंकन: α, β, γ - कोण। वे क्रमशः विपरीत भुजाएँ a, b, c स्थित हैं।

1. इसके अनुसार दो भुजाओं का आधा गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होती है। वह है: एस = ½ ए * बी * पाप γ। अन्य दो मामलों के सूत्र इसी तरह लिखे जाने चाहिए।

2. त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना एक भुजा और तीन ज्ञात कोणों से की जा सकती है। एस \u003d (ए 2 * पाप β * पाप γ) / (2 पाप α)।

3. एक के साथ एक और सूत्र है ज्ञात पार्टीऔर दो आसन्न कोने। यह इस तरह दिखता है: एस = सी 2 / (2 (सीटीजी α + सीटीजी β))।

अंतिम दो सूत्र सबसे सरल नहीं हैं। उन्हें याद रखना काफी मुश्किल है।

उस स्थिति के लिए सामान्य सूत्र जब अंकित या परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्या ज्ञात हो

अतिरिक्त पदनाम: आर, आर - त्रिज्या। पहले का उपयोग खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या के लिए किया जाता है। दूसरा वर्णित के लिए है।

1. पहला सूत्र जिसके द्वारा त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना की जाती है, अर्ध-परिधि से संबंधित है। एस = आर * आर। दूसरे तरीके से, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: S \u003d ½ r * (a + b + c)।

2. दूसरे मामले में, आपको त्रिभुज की सभी भुजाओं को गुणा करना होगा और उन्हें परिबद्ध वृत्त की चौगुनी त्रिज्या से विभाजित करना होगा। पर शाब्दिक अभिव्यक्तियह इस तरह दिखता है: एस = (ए * बी * सी) / (4 आर)।

3. तीसरी स्थिति आपको पक्षों को जाने बिना करने की अनुमति देती है, लेकिन आपको तीनों कोणों के मूल्यों की आवश्यकता होती है। एस \u003d 2 आर 2 * पाप α * पाप β * पाप ।

विशेष मामला: समकोण त्रिभुज

यह सबसे सरल स्थिति है, क्योंकि केवल दोनों पैरों की लंबाई की आवश्यकता होती है। उन्हें लैटिन अक्षरों ए और बी द्वारा दर्शाया गया है। एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल इसमें जोड़े गए आयत के आधे क्षेत्रफल के बराबर होता है।

गणितीय रूप से, यह इस तरह दिखता है: S = ½ a * b। वह याद रखने में सबसे आसान है। क्योंकि यह एक आयत के क्षेत्रफल के लिए सूत्र जैसा दिखता है, केवल एक अंश दिखाई देता है, जो आधा दर्शाता है।

विशेष मामला: समद्विबाहु त्रिभुज

चूँकि इसकी दोनों भुजाएँ समान हैं, इसलिए इसके क्षेत्रफल के कुछ सूत्र थोड़े सरल लगते हैं। उदाहरण के लिए, बगुला का सूत्र, जो एक समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करता है, निम्नलिखित रूप लेता है:

S = ½ in ((a + ½ in)*(a - ½ in))।

यदि आप इसे रूपांतरित करते हैं, तो यह छोटा हो जाएगा। इस मामले में, एक समद्विबाहु त्रिभुज के लिए बगुला का सूत्र इस प्रकार लिखा गया है:

एस = में (4 * ए 2 - बी 2)।

यदि भुजाएँ और उनके बीच का कोण ज्ञात हो तो क्षेत्रफल सूत्र एक मनमाना त्रिभुज की तुलना में कुछ सरल लगता है। एस \u003d ½ ए 2 * पाप β।

विशेष मामला: समबाहु त्रिभुज

आमतौर पर उसके बारे में समस्याओं में पक्ष जाना जाता है या किसी तरह पहचाना जा सकता है। तब ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:

एस = (ए 2 √3) / 4।

यदि त्रिभुज को चेकर पेपर पर दर्शाया गया है तो क्षेत्रफल ज्ञात करने का कार्य

सबसे सरल स्थिति तब होती है जब एक समकोण त्रिभुज खींचा जाता है ताकि उसके पैर कागज की रेखाओं से मेल खाते हों। फिर आपको केवल उन कोशिकाओं की संख्या गिनने की आवश्यकता है जो पैरों में फिट होती हैं। फिर उन्हें गुणा करें और दो से भाग दें।

जब त्रिभुज न्यून या अधिक हो, तो उसे एक आयत की ओर खींचा जाना चाहिए। तब परिणामी आकृति में 3 त्रिभुज होंगे। एक वह है जो कार्य में दिया गया है। और अन्य दो सहायक और आयताकार हैं। अंतिम दो के क्षेत्रों को ऊपर वर्णित विधि द्वारा निर्धारित किया जाना चाहिए। फिर आयत के क्षेत्र की गणना करें और उसमें से सहायक के लिए गणना की गई घटाएं। त्रिभुज का क्षेत्रफल निर्धारित होता है।

अधिक कठिन वह स्थिति है जिसमें त्रिभुज की कोई भी भुजा कागज की रेखाओं से मेल नहीं खाती। फिर इसे एक आयत में अंकित किया जाना चाहिए ताकि मूल आकृति के कोने इसके किनारों पर हों। इस मामले में, तीन सहायक समकोण त्रिभुज होंगे।

हेरॉन के सूत्र पर एक समस्या का एक उदाहरण

स्थिति। कुछ त्रिभुज की भुजाएँ होती हैं। वे 3, 5 और 6 सेमी के बराबर हैं।आपको इसका क्षेत्रफल जानना होगा।

अब आप उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। वर्गमूल के अंतर्गत चार संख्याओं का गुणनफल होता है: 7, 4, 2 और 1। यानी क्षेत्रफल √ (4 * 14) = 2 √ (14) है।

यदि आपको अधिक सटीकता की आवश्यकता नहीं है, तो आप 14 का वर्गमूल ले सकते हैं। यह 3.74 है। तब क्षेत्रफल 7.48 के बराबर होगा।

जवाब। एस \u003d 2 14 सेमी 2 या 7.48 सेमी 2।

समकोण त्रिभुज वाली समस्या का एक उदाहरण

स्थिति। एक समकोण त्रिभुज का एक पैर दूसरे से 31 सेमी लंबा है। यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल 180 सेमी 2 है, तो उनकी लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है।
फेसला। आपको दो समीकरणों के निकाय को हल करना है। पहले क्षेत्र के साथ करना है। दूसरा पैरों के अनुपात के साथ है, जो समस्या में दिया गया है।
180 \u003d ½ ए * बी;

ए \u003d बी + 31।
सबसे पहले, "ए" के मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। यह पता चला है: 180 \u003d ½ (में + 31) * में। इसकी केवल एक अज्ञात मात्रा है, इसलिए इसे हल करना आसान है। कोष्ठक खोलने के बाद, हम प्राप्त करते हैं द्विघात समीकरण: 2 + 31 में - 360 = 0। यह "इन" के लिए दो मान देता है: 9 और - 40। दूसरी संख्या उत्तर के रूप में उपयुक्त नहीं है, क्योंकि त्रिभुज की भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती है मूल्य।

यह दूसरे चरण की गणना करने के लिए बनी हुई है: परिणामी संख्या में 31 जोड़ें। यह 40 निकला। ये समस्या में मांगी गई मात्राएँ हैं।

जवाब। त्रिभुज के पैर 9 और 40 सेमी हैं।

त्रिभुज के क्षेत्रफल, भुजा और कोण से भुजा ज्ञात करने का कार्य

स्थिति। किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल 60 सेमी2 है। इसकी एक भुजा की गणना करना आवश्यक है यदि दूसरी भुजा 15 सेमी है, और उनके बीच का कोण 30º है।

फेसला। स्वीकृत पदों के आधार पर, वांछित पक्ष "ए", ज्ञात "बी" है, दिया गया कोण "γ" है। फिर क्षेत्र सूत्र को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

60 \u003d ½ ए * 15 * पाप 30º। यहां 30 डिग्री की ज्या 0.5 है।

परिवर्तनों के बाद, "ए" 60 / (0.5 * 0.5 * 15) के बराबर हो जाता है। यानी 16.

जवाब। वांछित पक्ष 16 सेमी है।

एक समकोण त्रिभुज में अंकित एक वर्ग की समस्या

स्थिति। 24 सेमी भुजा वाले एक वर्ग का शीर्ष त्रिभुज के समकोण के साथ संपाती है। अन्य दो पैरों पर झूठ बोलते हैं। तीसरा कर्ण का है। एक पैर की लंबाई 42 सेमी है समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

फेसला। दो समकोण त्रिभुजों पर विचार कीजिए। पहला कार्य में निर्दिष्ट है। दूसरा पर आधारित है प्रसिद्ध पैरमूल त्रिकोण। वे समान हैं क्योंकि उनके पास एक सामान्य कोण है और समानांतर रेखाओं से बनते हैं।

तब उनके पैरों के अनुपात बराबर होते हैं। छोटे त्रिभुज की टांगें 24 सेमी (वर्ग की भुजा) और 18 सेमी (दिए गए पैर 42 सेमी से वर्ग 24 सेमी की भुजा को घटाकर) हैं। बड़े त्रिभुज के संगत पैर 42 सेमी और x सेमी हैं। यह "x" है जो त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए आवश्यक है।

18/42 \u003d 24 / x, यानी x \u003d 24 * 42/18 \u003d 56 (सेमी)।

तब क्षेत्रफल 56 और 42 के गुणनफल के बराबर होता है, जिसे दो से विभाजित किया जाता है, यानी 1176 सेमी 2।

जवाब। वांछित क्षेत्र 1176 सेमी 2 है।

जीवन में कभी-कभी ऐसे हालात होते हैं जब आपको लंबे समय से भूले हुए स्कूली ज्ञान की तलाश में अपनी याददाश्त में तल्लीन करना पड़ता है। उदाहरण के लिए, आपको एक त्रिकोणीय आकार के भूमि भूखंड का क्षेत्र निर्धारित करने की आवश्यकता है, या किसी अपार्टमेंट या निजी घर में अगली मरम्मत की बारी आ गई है, और आपको गणना करने की आवश्यकता है कि कितनी सामग्री छोड़ी जाएगी सतह के लिए त्रिकोणीय आकार. एक समय था जब आप इस तरह की समस्या को कुछ मिनटों में हल कर सकते थे, और अब आप यह याद करने की पूरी कोशिश कर रहे हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे निर्धारित किया जाए?

आपको इस बारे में चिंता करने की ज़रूरत नहीं है! आखिरकार, यह बिल्कुल सामान्य है जब मानव मस्तिष्क लंबे समय से अप्रयुक्त ज्ञान को एक दूरस्थ कोने में स्थानांतरित करने का निर्णय लेता है, जहां से इसे निकालना कभी-कभी इतना आसान नहीं होता है। ताकि आपको इस तरह की समस्या को हल करने के लिए भूले हुए स्कूली ज्ञान की खोज में परेशानी न हो, इस लेख में शामिल हैं विभिन्न तरीके, जिससे त्रिभुज का वांछित क्षेत्रफल ज्ञात करना आसान हो जाता है।

यह सर्वविदित है कि त्रिभुज एक प्रकार का बहुभुज है जो पक्षों की न्यूनतम संभव संख्या द्वारा सीमित होता है। सिद्धांत रूप में, किसी भी बहुभुज को उसके शीर्षों को उन खंडों से जोड़कर कई त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है जो उसकी भुजाओं को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। इसलिए त्रिभुज को जानकर आप लगभग किसी भी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

जीवन में होने वाले सभी संभावित त्रिभुजों में, निम्नलिखित विशेष प्रकारों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: और आयताकार।

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने का सबसे आसान तरीका यह है कि जब इसका एक कोना सही हो, यानी समकोण त्रिभुज के मामले में। यह देखना आसान है कि यह आधा आयत है। इसलिए, इसका क्षेत्रफल उन भुजाओं के आधे गुणनफल के बराबर है, जो उनके बीच एक समकोण बनाती हैं।

यदि हम त्रिभुज की ऊँचाई, उसके एक शीर्ष से विपरीत दिशा में नीचे की ओर, और इस भुजा की लंबाई, जिसे आधार कहते हैं, ज्ञात करें, तो क्षेत्रफल की गणना ऊँचाई और आधार के आधे गुणनफल के रूप में की जाती है। यह निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके लिखा गया है:

एस = 1/2*बी*एच, जिसमें

S त्रिभुज का वांछित क्षेत्रफल है;

b, h - क्रमशः त्रिभुज की ऊँचाई और आधार।

समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करना इतना आसान है, क्योंकि ऊँचाई विपरीत भुजा को समद्विभाजित करेगी, और इसे आसानी से मापा जा सकता है। यदि क्षेत्र निर्धारित किया जाता है, तो एक समकोण बनाने वाली भुजा की लंबाई को ऊंचाई के रूप में लेना सुविधाजनक होता है।

यह सब निश्चित रूप से अच्छा है, लेकिन यह कैसे निर्धारित किया जाए कि त्रिभुज का कोई एक कोना सही है या नहीं? अगर हमारे फिगर का साइज छोटा है, तो आप बिल्डिंग एंगल, ड्रॉइंग ट्रायंगल, पोस्टकार्ड या अन्य ऑब्जेक्ट का इस्तेमाल कर सकते हैं। आयत आकार.

लेकिन क्या होगा अगर हमारे पास त्रिभुज है भूमि का भाग? इस मामले में, निम्नानुसार आगे बढ़ें: प्रस्तावित के ऊपर से गिनें समकोणएक तरफ, 3 (30 सेमी, 90 सेमी, 3 मीटर) की दूरी गुणक, और दूसरी तरफ, 4 (40 सेमी, 160 सेमी, 4 मीटर) की दूरी गुणक समान अनुपात में मापा जाता है। अब आपको इन दो खंडों के अंतिम बिंदुओं के बीच की दूरी को मापने की आवश्यकता है। यदि मान 5 (50 सेमी, 250 सेमी, 5 मीटर) का गुणज है, तो यह तर्क दिया जा सकता है कि कोण सही है।

यदि हमारी आकृति की तीनों भुजाओं में से प्रत्येक की लंबाई का मान ज्ञात हो, तो हीरोन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है। इसका एक सरल रूप होने के लिए, एक नए मान का उपयोग किया जाता है, जिसे अर्ध-परिधि कहा जाता है। यह हमारे त्रिभुज की सभी भुजाओं का योग है, जो आधे में विभाजित है। अर्ध-परिधि की गणना के बाद, आप सूत्र का उपयोग करके क्षेत्र निर्धारित करना शुरू कर सकते हैं:

एस = वर्ग (पी (पी-ए) (पी-बी) (पी-सी)), कहा पे

sqrt - वर्गमूल;

p अर्ध-परिधि का मान है (p =(a+b+c)/2);

ए, बी, सी - त्रिभुज के किनारे (भुजाएँ)।

लेकिन क्या होगा अगर त्रिभुज है अनियमित आकार? यहां दो संभावित तरीके हैं। इनमें से पहला यह है कि ऐसी आकृति को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करने का प्रयास किया जाए, जिनके क्षेत्रफलों का योग अलग-अलग परिकलित किया जाता है, और फिर जोड़ा जाता है। या, यदि दोनों पक्षों के बीच का कोण और इन भुजाओं का आकार ज्ञात हो, तो सूत्र लागू करें:

एस = 0.5 * एबी * पापसी, जहां

ए, बी - त्रिभुज की भुजाएँ;

c इन भुजाओं के बीच का कोण है।

बाद वाला मामला व्यवहार में दुर्लभ है, लेकिन फिर भी, जीवन में सब कुछ संभव है, इसलिए उपरोक्त सूत्र अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा। आपकी गणना के साथ शुभकामनाएँ!

त्रिभुज सबसे सरल ज्यामितीय आकृति है, जिसमें तीन भुजाएँ और तीन शीर्ष होते हैं। इसकी सरलता के कारण, त्रिभुज का उपयोग प्राचीन काल से विभिन्न मापों के लिए किया जाता रहा है, और आज यह आंकड़ा व्यावहारिक और रोजमर्रा की समस्याओं को हल करने के लिए उपयोगी हो सकता है।

त्रिभुज विशेषताएं

इस आकृति का उपयोग प्राचीन काल से गणना के लिए किया जाता रहा है, उदाहरण के लिए, सर्वेक्षणकर्ता और खगोलविद त्रिभुज के गुणों के साथ क्षेत्रों और दूरियों की गणना करने के लिए कार्य करते हैं। इस आकृति के क्षेत्र के माध्यम से, किसी भी एन-गॉन के क्षेत्र को व्यक्त करना आसान है, और इस संपत्ति का उपयोग प्राचीन वैज्ञानिकों द्वारा बहुभुज के क्षेत्रों के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए किया गया था। पक्की नौकरीत्रिकोण के साथ, विशेष रूप से एक समकोण त्रिभुज के साथ, गणित के एक पूरे खंड - त्रिकोणमिति का आधार बन गया है।

त्रिकोण ज्यामिति

गुण ज्यामितीय आकृतिप्राचीन काल से अध्ययन किया गया है: त्रिभुज के बारे में सबसे प्रारंभिक जानकारी मिस्र के पपीरी में 4000 साल पुरानी मिली थी। तब प्राचीन ग्रीस में इस आकृति का अध्ययन किया गया था और त्रिकोण की ज्यामिति में सबसे बड़ा योगदान यूक्लिड, पाइथागोरस और हेरॉन द्वारा किया गया था। त्रिभुज का अध्ययन कभी नहीं रुका, और 18वीं शताब्दी में लियोनहार्ड यूलर ने आकृति के ऑर्थोसेंटर और यूलर के चक्र की अवधारणा को पेश किया। 19वीं और 20वीं शताब्दी के मोड़ पर, जब ऐसा लग रहा था कि त्रिभुज के बारे में पूरी तरह से सब कुछ ज्ञात था, फ्रैंक मॉर्ले ने कोण ट्राइसेक्ट्रिक्स प्रमेय तैयार किया, और वेक्लेव सिएरपिंस्की ने फ्रैक्टल त्रिकोण का प्रस्ताव रखा।

स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम से हमें कई प्रकार के समतल त्रिभुज परिचित हैं:

• तीव्र कोण - आकृति के सभी कोने नुकीले हैं;
• कुंठित - आकृति में एक है अधिक कोण(90 डिग्री से अधिक);
• आयताकार - आकृति में 90 डिग्री के बराबर एक समकोण होता है;
• समद्विबाहु - दो समान भुजाओं वाला एक त्रिभुज;
• समबाहु - सभी समान भुजाओं वाला त्रिभुज।
• पर असली जीवनसभी प्रकार के त्रिभुज होते हैं, और कुछ मामलों में हमें एक ज्यामितीय आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता हो सकती है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल

क्षेत्रफल इस बात का अनुमान है कि यह आंकड़ा कितना समतल है। त्रिभुज का क्षेत्रफल छह तरीकों से पाया जा सकता है, भुजाओं, ऊँचाई, कोणों, एक उत्कीर्ण या परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या के साथ-साथ हीरोन के सूत्र का उपयोग करके या विमान को घेरने वाली रेखाओं पर दोहरे अभिन्न की गणना करना। सबसे अधिक सरल सूत्रत्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए इस तरह दिखता है:

जहाँ a त्रिभुज की भुजा है, h उसकी ऊँचाई है।

हालांकि, व्यवहार में हमारे लिए ज्यामितीय आकृति की ऊंचाई का पता लगाना हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। हमारे कैलकुलेटर का एल्गोरिदम आपको क्षेत्र की गणना करने की अनुमति देता है, यह जानकर:

• तीन पक्ष;
• दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण;
• एक तरफ और दो कोने।

तीन भुजाओं के रूप में क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हैं:

एस = वर्ग (पी × (पी-ए) × (पी-बी) × (पी-सी)),

जहाँ p त्रिभुज का आधा परिमाप है।

दो पक्षों और कोण पर क्षेत्रफल की गणना शास्त्रीय सूत्र के अनुसार की जाती है:

एस = ए × बी × पाप (अल्फा),

जहां अल्फा पक्षों ए और बी के बीच का कोण है।

एक तरफ और दो कोनों के माध्यम से क्षेत्र का निर्धारण करने के लिए हम इस संबंध का उपयोग करते हैं कि:

ए / पाप (अल्फा) = बी / पाप (बीटा) = सी / पाप (गामा)

एक साधारण अनुपात का उपयोग करके, हम दूसरी भुजा की लंबाई निर्धारित करते हैं, जिसके बाद हम सूत्र S = a × b × sin(alfa) का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करते हैं। यह एल्गोरिथ्म पूरी तरह से स्वचालित है और आपको केवल दिए गए चर दर्ज करने और परिणाम प्राप्त करने की आवश्यकता है। आइए एक दो उदाहरण देखें।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

फर्श का पत्थर

मान लें कि आप फर्श को त्रिकोणीय टाइलों से पक्का करना चाहते हैं, और राशि निर्धारित करना चाहते हैं आवश्यक सामग्री, आपको एक टाइल का क्षेत्रफल और फर्श का क्षेत्रफल ज्ञात करना चाहिए। एक टाइल का उपयोग करके सतह के 6 वर्ग मीटर को संसाधित करना आवश्यक होने दें जिसका आयाम a = 20 सेमी, b = 21 सेमी, c = 29 सेमी है। जाहिर है, कैलकुलेटर त्रिभुज के क्षेत्र की गणना करने के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग करता है और परिणाम देगा:

इस प्रकार, एक टाइल तत्व का क्षेत्रफल 0.021 . होगा वर्ग मीटर, और आपको फर्श को सुशोभित करने के लिए 6/0.021 = 285 त्रिकोणों की आवश्यकता होगी। 20, 21 और 29 संख्याएँ पाइथागोरस की त्रि-संख्याएँ बनाती हैं जो संतुष्ट करती हैं। और यह सही है, हमारे कैलकुलेटर ने भी त्रिभुज के सभी कोणों की गणना की, और गामा कोण बिल्कुल 90 डिग्री है।

स्कूल का काम

पर स्कूल का कामत्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है, यह जानते हुए कि भुजा a = 5 सेमी, और घाव के कोण अल्फा और बीटा क्रमशः 30 और 50 डिग्री हैं। इस समस्या को मैन्युअल रूप से हल करने के लिए, हम पहले भुजाओं के अनुपात और विपरीत कोणों की ज्याओं का उपयोग करके भुजा b का मान ज्ञात करेंगे, और फिर सरल सूत्र S = a × b × sin (alfa) का उपयोग करके क्षेत्र का निर्धारण करेंगे। आइए समय बचाएं, कैलकुलेटर फॉर्म में डेटा दर्ज करें और तुरंत उत्तर प्राप्त करें

कैलकुलेटर का उपयोग करते समय, कोणों और पक्षों को सही ढंग से निर्दिष्ट करना महत्वपूर्ण है, अन्यथा परिणाम गलत होगा।

निष्कर्ष

त्रिभुज एक अद्वितीय आकृति है जो वास्तविक जीवन और अमूर्त गणनाओं दोनों में होती है। किसी भी प्रकार के त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हमारे ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करें।