विभिन्न राशियों की गणना करने के लिए की गई असंख्य गणनाओं में त्रिभुज का कर्ण ज्ञात करना है। याद रखें कि एक त्रिभुज तीन कोणों वाला एक बहुफलक होता है। नीचे विभिन्न त्रिभुजों के कर्ण की गणना करने के कई तरीके दिए गए हैं।
प्रारंभ में, आइए देखें कि कर्ण कैसे खोजें सही त्रिकोण. जो लोग भूल गए हैं, उनके लिए एक समकोण त्रिभुज 90 डिग्री के कोण वाला त्रिभुज होता है। त्रिभुज की वह भुजा जो विपरीत दिशा में हो समकोणकर्ण कहा जाता है। इसके अलावा, यह त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है। ज्ञात मूल्यों के आधार पर, कर्ण की लंबाई की गणना निम्नानुसार की जाती है:
एक उदाहरण पर विचार करें: एक समकोण त्रिभुज दिया गया है। एक पैर 3 सेमी, दूसरा 4 सेमी है। कर्ण ज्ञात कीजिए। समाधान इस तरह दिखता है।
FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2। निकालें और FB=5cm प्राप्त करें।
आइए एक उदाहरण देखें। कर्ण FB के साथ समान समकोण त्रिभुज BKF दिया गया है। मान लें कि कोण F 30 डिग्री के बराबर है, दूसरा कोण B 60 डिग्री से मेल खाता है। पैर बीके भी ज्ञात है, जिसकी लंबाई 8 सेमी से मेल खाती है आप वांछित मूल्य की गणना निम्नानुसार कर सकते हैं:
FB=BK/cos60=8 सेमी.
एफबी = बीके / पाप 30 = 8 सेमी।
यदि प्रश्न यह है कि समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का कर्ण कैसे ज्ञात किया जाए, तो उसी पाइथागोरस प्रमेय की ओर मुड़ना आवश्यक है। लेकिन, सबसे पहले, याद रखें कि एक समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसमें दो समान भुजाएँ होती हैं। एक समकोण त्रिभुज के मामले में, पैर समान भुजाएँ हैं। हमारे पास FB2=BK2+ KF2 है, लेकिन BK=KF के बाद से हमारे पास निम्नलिखित हैं: FB2=2 BK2, FB= BK√2
जैसा कि आप देख सकते हैं, पाइथागोरस प्रमेय और एक समकोण त्रिभुज के गुणों को जानना, उन समस्याओं को हल करना जिनमें कर्ण की लंबाई की गणना करना आवश्यक है, बहुत सरल है। यदि सभी गुणों को याद रखना मुश्किल है, तो ज्ञात मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, तैयार किए गए सूत्र सीखें, जिसमें आप कर्ण की आवश्यक लंबाई की गणना कर सकते हैं।
"लेकिन वे हमें बताते हैं कि पैर कर्ण से छोटा है ..." फीचर फिल्म "द एडवेंचर्स ऑफ इलेक्ट्रॉनिक्स" में प्रसिद्ध गीत की ये पंक्तियाँ यूक्लिड की ज्यामिति के संदर्भ में वास्तव में सही हैं। आखिरकार, पैर दो पक्ष हैं जो एक कोण बनाते हैं, जिसकी डिग्री माप 90 डिग्री है। और कर्ण सबसे लंबा "विस्तारित" पक्ष है जो दो पैरों को एक दूसरे से लंबवत जोड़ता है, और समकोण के विपरीत स्थित होता है। यही कारण है कि पैरों के साथ कर्ण को केवल एक समकोण त्रिभुज में खोजना संभव है, और यदि पैर कर्ण से लंबा होता, तो ऐसा त्रिभुज मौजूद नहीं होता।
प्रमेय कहता है कि कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग से अधिक कुछ नहीं है: x^2+y^2=z^2, कहा पे:
लेकिन आपको केवल कर्ण खोजने की जरूरत है, उसके वर्ग को नहीं। ऐसा करने के लिए, जड़ निकालें।
दो ज्ञात पैरों द्वारा कर्ण को खोजने के लिए एल्गोरिथ्म:
ज्ञात पैर और इसके विपरीत स्थित न्यून कोण का अनुपात कर्ण के मान के बराबर है: a/sin A = c. यह साइन की परिभाषा का परिणाम है:
कर्ण के विपरीत पैर का अनुपात: पाप ए \u003d ए / सी, जहां:
साइन प्रमेय का उपयोग करके कर्ण को खोजने के लिए एल्गोरिथ्म:
ज्ञात पैर का न्यून कोण से अनुपात कर्ण a/cos B = c के मान के बराबर है। यह कोसाइन की परिभाषा का एक परिणाम है: कर्ण के आसन्न पैर का अनुपात: cos B \u003d a / s, जहां:
कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके कर्ण को खोजने के लिए एल्गोरिथ्म:
"मिस्र का त्रिकोण" संख्याओं की एक तिकड़ी है, जिसे जानकर आप कर्ण या किसी अन्य अज्ञात पैर को खोजने के लिए समय बचा सकते हैं। त्रिभुज का ऐसा नाम है, क्योंकि मिस्र में कुछ संख्याएँ देवताओं का प्रतीक थीं और पिरामिड और अन्य विभिन्न संरचनाओं के निर्माण का आधार थीं।
ऐसी संख्याएँ तब भी मदद करती हैं जब उन्हें किसी एकल संख्या से विभाजित या गुणा किया जाता है। यदि पैर 3 और 4 हैं, तो कर्ण 5 होगा। यदि आप इन संख्याओं को 2 से गुणा करते हैं, तो कर्ण 2 से गुणा हो जाएगा। उदाहरण के लिए, संख्या 6-8-10 का त्रिगुण भी पाइथागोरस प्रमेय में फिट होगा। और यदि आप संख्याओं के इन त्रिगुणों को याद करते हैं तो आप कर्ण की गणना नहीं कर सकते। 
इस प्रकार, ज्ञात पैरों का उपयोग करके कर्ण को खोजने के 4 तरीके हैं। सबसे द्वारा सबसे बढ़िया विकल्पपायथागॉरियन प्रमेय है, लेकिन "मिस्र के त्रिभुज" को बनाने वाली संख्याओं के त्रिगुणों को याद करने में भी कोई दिक्कत नहीं होगी, क्योंकि यदि आप ऐसे मूल्यों के सामने आते हैं तो आप बहुत समय बचा सकते हैं।
त्रिभुज दर्शाता है ज्यामितीय संख्या, जिसमें तीन खंड होते हैं जो तीन बिंदुओं को जोड़ते हैं जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं। त्रिभुज बनाने वाले बिंदु इसके बिंदु कहलाते हैं, और खंड अगल-बगल होते हैं।
त्रिभुज के प्रकार (आयताकार, मोनोक्रोम, आदि) के आधार पर, आप इनपुट डेटा और समस्या की स्थितियों के आधार पर त्रिभुज के किनारे की गणना विभिन्न तरीकों से कर सकते हैं।
एक लेख के लिए त्वरित नेविगेशन
एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की गणना करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग किया जाता है, जिसके अनुसार कर्ण का वर्ग पाद के वर्गों के योग के बराबर होता है।
यदि हम पैरों को "ए" और "बी" और कर्ण को "सी" के साथ लेबल करते हैं, तो पृष्ठ निम्नलिखित सूत्रों के साथ मिल सकते हैं:
यदि एक समकोण त्रिभुज (a और b) के न्यून कोण ज्ञात हैं, तो इसकी भुजाएँ निम्नलिखित सूत्रों से ज्ञात की जा सकती हैं:
एक त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज कहलाता है जिसमें दोनों भुजाएँ समान होती हैं।
यदि अक्षर "ए" एक ही पृष्ठ के समान है, "बी" आधार है, "बी" आधार के विपरीत कोना है, "ए" है आसन्न कोणपृष्ठों की गणना करने के लिए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:
यदि किसी त्रिभुज का एक पृष्ठ (सी) और दो कोण (ए और बी) ज्ञात हैं, तो शेष पृष्ठों की गणना के लिए साइन सूत्र का उपयोग किया जाता है:
आपको तीसरा मान y = 180 - (a + b) ज्ञात करना होगा क्योंकि
त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होता है; 
यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ (a और b) और उनके बीच का कोण (y) ज्ञात हो, तो तीसरी भुजा की गणना के लिए कोज्या प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है।
एक त्रिभुज त्रिभुज एक त्रिभुज है, जिसमें से एक 90 डिग्री है, और अन्य दो न्यून हैं। भुगतान परिमापऐसा त्रिकोणइसके बारे में ज्ञात जानकारी की मात्रा के आधार पर।
आपको इसकी आवश्यकता होगी
सबसे पहलेविधि 1. यदि तीनों पृष्ठ ज्ञात हैं त्रिकोणफिर, लंबवत या त्रिकोणीय नहीं, परिधि की गणना इस प्रकार की जाती है: पी = ए + बी + सी, जहां संभव हो, सी कर्ण है; ए और बी पैर हैं।
दूसराविधि 2।
यदि एक आयत में केवल दो भुजाएँ हैं, तो पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, त्रिकोणसूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है: पी = वी (ए 2 + बी 2) + ए + बी या पी = वी (सी 2 - बी 2) + बी + सी।
तीसराविधि 3. माना कर्ण c और न्यून कोण है? एक समकोण त्रिभुज को देखते हुए, परिमाप इस प्रकार ज्ञात करना संभव होगा: P = (1 + sin?
चौथीविधि 4. वे कहते हैं कि समकोण त्रिभुज में एक पैर की लंबाई बराबर होती है और, इसके विपरीत, एक न्यून कोण होता है। फिर गणना करें परिमापयह त्रिकोणसूत्र के अनुसार प्रदर्शन किया जाएगा: P = a * (1 / tg?
1 / बेटा? + 1)
पांचवांविधि 5.
हमारे पैर को आगे बढ़ने दें और उसमें शामिल हो जाएं, फिर सीमा की गणना इस प्रकार की जाएगी: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)
इसी तरह के वीडियो
पाइथागोरस प्रमेय किसी भी गणित का आधार है। एक सच्चे त्रिभुज की भुजाओं के बीच संबंध निर्दिष्ट करता है। अब इस प्रमेय के 367 प्रमाण हैं।
सबसे पहलेपायथागॉरियन प्रमेय का क्लासिक स्कूल फॉर्मूलेशन इस तरह लगता है: कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
दो कैटेट्स के समकोण त्रिभुज में कर्ण को खोजने के लिए, आपको पैरों की लंबाई को वर्गाकार करना होगा, उन्हें इकट्ठा करना होगा और योग का वर्गमूल लेना होगा। उनके कथन के मूल सूत्रीकरण में, बाजार कर्ण पर आधारित है, जो केटेट द्वारा निर्मित 2 वर्गों के वर्गों के योग के बराबर है। हालांकि, आधुनिक बीजगणितीय सूत्रीकरण के लिए एक डोमेन प्रतिनिधित्व की शुरूआत की आवश्यकता नहीं होती है।
दूसराउदाहरण के लिए, एक समकोण त्रिभुज जिसकी टाँगें 7 सेमी और 8 सेमी हैं।
फिर, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, वर्ग कर्ण R + S = 49 + 64 = 113 सेमी है। कर्ण है वर्गमूल 113 में से।
परिणाम एक अनुचित संख्या थी।
तीसरायदि त्रिभुज पैर 3 और 4 हैं, तो कर्ण = 25 = 5। जब आप वर्गमूल लेते हैं, तो आपको एक प्राकृत संख्या प्राप्त होती है। संख्याएँ 3, 4, 5 एक पाइगोरियन ट्रिपल बनाती हैं, क्योंकि वे संबंध x को संतुष्ट करती हैं? +Y? = Z, जो स्वाभाविक है।
पाइथागोरस त्रिक के अन्य उदाहरण हैं: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.
चौथीइस मामले में, यदि पैर एक दूसरे के समान हैं, तो पाइथागोरस प्रमेय एक अधिक आदिम समीकरण में बदल जाता है। उदाहरण के लिए, मान लें कि ऐसा हाथ संख्या A के बराबर है और कर्ण को C के लिए परिभाषित किया गया है, और फिर c? = एपी + एपी, सी = 2ए2, सी = ए? 2. इस मामले में, आपको ए की आवश्यकता नहीं है।
पांचवांपाइथागोरस प्रमेय एक विशेष मामला है, जो सामान्य कोसाइन प्रमेय से बड़ा है, जो त्रिभुज के तीनों पक्षों के बीच किसी भी कोण के लिए एक संबंध स्थापित करता है।
कर्ण को एक समकोण त्रिभुज में भुजा कहा जाता है जो 90 डिग्री के कोण के विपरीत होता है।
सबसे पहलेप्रसिद्ध कैथेटर के मामले में, साथ ही एक समकोण त्रिभुज का एक तीव्र कोण, कर्ण का आकार इस कोण के कोसाइन / साइन के पैर के अनुपात के बराबर हो सकता है, यदि कोण विपरीत था / ई में शामिल हैं: एच = सी 1 (या सी 2) / पाप, एच = सी 1 (या С2?) / क्योंकि?। उदाहरण: मान लीजिए ABC को कर्ण AB और समकोण C वाला एक अनियमित त्रिभुज दिया गया है।
बी को 60 डिग्री और ए को 30 डिग्री होने दें। तना BC की लम्बाई 8 cm है कर्ण की लम्बाई AB ज्ञात करनी चाहिए। ऐसा करने के लिए, आप उपरोक्त विधियों में से एक का उपयोग कर सकते हैं: AB = BC / cos60 = 8 सेमी। AB = BC / sin30 = 8 सेमी।
कर्ण आयत की सबसे लंबी भुजा है त्रिकोण. यह एक समकोण पर स्थित है। एक आयत का कर्ण ज्ञात करने की विधि त्रिकोणस्रोत डेटा के आधार पर।
सबसे पहलेयदि आपके पैर लंबवत हैं त्रिकोण, तो आयत के कर्ण की लंबाई त्रिकोणपायथागॉरियन एनालॉग द्वारा पाया जा सकता है - कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर है: c2 = a2 + b2, जहां a और b दाईं ओर के पैरों की लंबाई हैं त्रिकोण .
दूसरायदि यह ज्ञात है और पैरों में से एक तीव्र कोण पर है, तो कर्ण को खोजने का सूत्र ज्ञात पैर के संबंध में एक निश्चित कोण पर उपस्थिति या अनुपस्थिति पर निर्भर करेगा - आसन्न (पैर निकट स्थित है), या इसके विपरीत वर्सा (विपरीत मामला स्थित है nego.V निर्दिष्ट कोण का अंश पैर कर्ण के बराबर है कोसाइन कोण में: a = a / cos; E, दूसरी ओर, कर्ण साइनसोइडल कोणों के अनुपात के समान है: दा = ए / पाप।
इसी तरह के वीडियो
सहायक संकेत
एक कोणीय त्रिभुज जिसकी भुजाएँ 3:4:5 के रूप में जुड़ी हुई हैं, मिस्र का डेल्टा कहा जाता है, इस तथ्य के कारण कि इन आकृतियों का व्यापक रूप से प्राचीन मिस्र के वास्तुकारों द्वारा उपयोग किया जाता था।
यह जेरोन के त्रिभुजों का सबसे सरल उदाहरण भी है, जिसमें पृष्ठ और क्षेत्र पूर्णांक के रूप में दर्शाए गए हैं।
एक त्रिभुज एक आयत कहलाता है जिसका कोण 90° का होता है। दाहिने कोने के विपरीत पक्ष को कर्ण कहा जाता है, दूसरे पक्ष को पैर कहा जाता है।
यदि आप यह जानना चाहते हैं कि नियमित त्रिभुजों के कुछ गुणों से एक समकोण त्रिभुज कैसे बनता है, अर्थात् यह तथ्य कि न्यून कोणों का योग 90° है, जिसका उपयोग किया जाता है, और तथ्य यह है कि विपरीत पैर की लंबाई कर्ण का आधा है 30° है।
एक लेख के लिए त्वरित नेविगेशन
एक समान त्रिभुज का एक गुण यह है कि इसके दो कोण समान होते हैं।
एक समबाहु त्रिभुज के कोण की गणना करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि:
कोण α और β 45° हैं।
यदि एक न्यून कोण का ज्ञात मान ज्ञात है, तो दूसरे को सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है: β = 180º-90º-α या α = 180º-90º-β।
यह अनुपात सबसे अधिक उपयोग किया जाता है यदि कोणों में से एक 60° या 30° है।
योग आंतरिक कोनेत्रिभुज 180° है।
क्योंकि यह एक स्तर है, दो तेज रहते हैं।
यदि आप उन्हें ढूंढना चाहते हैं, तो आपको यह जानना होगा:
एक समकोण त्रिभुज के तीव्र कोण मानों की गणना माध्य से की जा सकती है - त्रिभुज के विपरीत दिशा में एक बिंदु से एक रेखा के साथ, और ऊँचाई - रेखा एक समकोण पर कर्ण से खींची गई लंबवत है।
मान लीजिए कि माध्यिका दाएं कोने से कर्ण के मध्य तक फैली हुई है, और h ऊँचाई है। इस मामले में यह पता चला है कि: 
यदि कर्ण और पैरों में से एक की लंबाई एक समकोण त्रिभुज में या दो पक्षों से जानी जाती है, तो न्यून कोणों के मान निर्धारित करने के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग किया जाता है:
किसी भी त्रिभुज की परिधि तीनों भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर होती है। सामान्य सूत्रत्रिकोणीय त्रिभुज खोजने के लिए:
जहाँ P त्रिभुज की परिधि है, a, b और c इसकी भुजाएँ हैं।
एक समान त्रिभुज का परिमापइसके पक्षों की लंबाई को क्रमिक रूप से जोड़कर, या पक्ष की लंबाई को 2 से गुणा करके और आधार की लंबाई को उत्पाद में जोड़कर पाया जा सकता है।
एक संतुलन त्रिभुज खोजने का सामान्य सूत्र इस तरह दिखेगा:
जहाँ P एक समान त्रिभुज का परिमाप है, लेकिन या तो b, b आधार हैं।
एक समबाहु त्रिभुज का परिमापइसके पक्षों की लंबाई को क्रमिक रूप से जोड़कर, या किसी पृष्ठ की लंबाई को 3 से गुणा करके पाया जा सकता है।
समबाहु त्रिभुजों की परिधि ज्ञात करने का सामान्य सूत्र इस प्रकार होगा:
जहाँ P एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप है, a इसकी कोई भुजा है।
यदि आप किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल मापना चाहते हैं, तो आप उसकी तुलना समांतर चतुर्भुज से कर सकते हैं। त्रिभुज ABC पर विचार करें:
यदि हम एक ही त्रिभुज लेते हैं और इसे ठीक करते हैं ताकि हमें एक समांतर चतुर्भुज प्राप्त हो, तो हमें इस त्रिभुज के समान ऊँचाई और आधार वाला एक समांतर चतुर्भुज प्राप्त होता है:
इस मामले में, त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजा को ढाले हुए समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के अनुदिश एक साथ मोड़ा जाता है।
समांतर चतुर्भुज के गुणों से। हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण हमेशा दो से विभाज्य होते हैं। बराबर त्रिभुज, तो प्रत्येक त्रिभुज का पृष्ठ समांतर चतुर्भुज के आधे परास के बराबर होता है।
चूँकि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार की ऊँचाई का गुणनफल होता है, त्रिभुज का क्षेत्रफल उस गुणनफल का आधा होगा। अत: ABC का क्षेत्रफल समान होगा
अब एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें:
दो समान समकोण त्रिभुजों को एक आयत में मोड़ा जा सकता है यदि यह उनके खिलाफ झुके, जो कि हर दूसरा कर्ण है।
चूँकि आयत की सतह आसन्न भुजाओं की सतह से मेल खाती है, इस त्रिभुज का क्षेत्रफल समान है:
इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि किसी भी समकोण त्रिभुज की सतह 2 से विभाजित टांगों के गुणनफल के बराबर होती है।
इन उदाहरणों से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि प्रत्येक त्रिभुज की सतह लंबाई के गुणनफल के समान है, और ऊँचाई को 2 से विभाजित आधार तक घटा दिया जाता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सामान्य सूत्र इस प्रकार होगा:
जहाँ S त्रिभुज का क्षेत्रफल है, लेकिन इसका आधार है, लेकिन ऊँचाई नीचे तक गिरती है a.
त्रिभुज कई प्रकार के होते हैं: धनात्मक, समद्विबाहु, न्यूनकोण, इत्यादि। उन सभी में गुण हैं जो केवल उनके लिए शास्त्रीय हैं, और मात्राओं को खोजने के लिए प्रत्येक के अपने नियम हैं, चाहे वह एक पक्ष हो या आधार पर कोण। लेकिन इनमें से हर किस्म से ज्यामितीय आकारएक अलग समूह में इसे समकोण के साथ एक त्रिभुज आवंटित करने की अनुमति है।
आपको चाहिये होगा
1. एक त्रिभुज को समकोण त्रिभुज कहा जाता है यदि उसका एक कोण 90 डिग्री का हो। इसमें 2 पैर और एक कर्ण होता है। कर्ण इस त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा है। यह समकोण के विपरीत स्थित है। पैर, क्रमशः, इसकी छोटी भुजाएँ कहलाती हैं। वे या तो एक दूसरे के बराबर हो सकते हैं या अलग-अलग आकार के हो सकते हैं। पैरों की समानता का मतलब है कि आप समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के साथ काम कर रहे हैं। इसकी सुंदरता यह है कि यह 2 आकृतियों के गुणों को जोड़ती है: एक समकोण और एक समद्विबाहु त्रिभुज। यदि पैर समान नहीं हैं, तो त्रिभुज मनमाना है और मूल नियम का पालन करता है: कोण जितना बड़ा होगा, उतना ही बड़ा उसके विपरीत झूठ बोलेगा।
2. कर्ण को पैर और कोण से खोजने की कई विधियाँ हैं। लेकिन उनमें से किसी एक का उपयोग करने से पहले, आपको यह निर्धारित करना चाहिए कि कौन सा पैर और कोण प्रसिद्ध है। यदि एक कोण और उसके बगल का पैर दिया गया हो, तो कोण के कोसाइन द्वारा कर्ण को खोजना आसान होता है। एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण (cos a) की कोज्या, आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है। यहाँ से यह इस प्रकार है कि कर्ण (c) आसन्न पैर (b) के कोण a (cos a) के कोसाइन के अनुपात के बराबर होगा। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: cos a=b/c => c=b/cos a.
3. यदि कोण और विपरीत पैर दिए गए हैं, तो आपको साइन के साथ काम करना चाहिए। एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण (sin a) की ज्या विपरीत पैर (a) और कर्ण (c) का अनुपात है। थीसिस यहां काम करती है, जैसा कि पिछले उदाहरण में है, केवल कोसाइन फ़ंक्शन के बजाय, साइन लिया जाता है। पाप a=a/c => c=a/sin a.
4. इस तरह के त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को स्पर्शरेखा के रूप में उपयोग करने की भी अनुमति है। लेकिन वांछित मूल्य खोजना थोड़ा अधिक जटिल है। एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण (tg a) की स्पर्शरेखा विपरीत पैर (a) से आसन्न एक (b) का अनुपात है। दोनों पैरों को खोजने के बाद, पायथागॉरियन प्रमेय लागू करें (कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है) और त्रिभुज के विशाल पक्ष की खोज की जाएगी।
कर्ण एक समकोण त्रिभुज की भुजा है जो 90 डिग्री के कोण के विपरीत है। इसकी लंबाई की गणना करने के लिए, एक पैर की लंबाई और त्रिभुज के तीव्र कोणों में से एक का मान जानना पर्याप्त है।
1. एक संचालित पैर और एक समकोण त्रिभुज के तीव्र कोण के साथ, कर्ण का आकार इस कोण के कोसाइन / ज्या के पैर के अनुपात के बराबर हो सकता है, यदि यह कोण इसके विपरीत / आसन्न है: h \u003d C1 (या C2) / sin ?; h \u003d C1 (या C2)/cos?। उदाहरण: मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज ABC दिया गया है जिसमें कर्ण AB और समकोण C है। मान लीजिए कि कोण B 60 डिग्री और कोण A 30 डिग्री है। पैर BC की लंबाई 8 सेमी है। कर्ण AB की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आप ऊपर प्रस्तावित किसी भी तरीके का उपयोग कर सकते हैं: AB = BC / cos60 = 8 सेमी। AB = BC / sin30 = 8 सेमी।
शब्द " टांग" ग्रीक शब्द "लंबवत" या "ऊर्ध्वाधर" से आया है - यह बताता है कि एक समकोण त्रिभुज के दोनों पक्षों, जो इसके नब्बे-डिग्री कोण को बनाते हैं, का नाम इस तरह क्यों रखा गया। प्रत्येक की लंबाई पाएं टांगओव मुश्किल नहीं है अगर उसके आस-पास के कोण का मान और कुछ अन्य पैरामीटर ज्ञात हैं, क्योंकि इस मामले में सभी 3 कोणों के मान वास्तव में ज्ञात हो जाएंगे।
1. यदि, आसन्न कोण (β) के मान के अतिरिक्त, सेकंड . की लंबाई टांगए (बी), फिर लंबाई टांगऔर (ए) प्रसिद्ध की लंबाई के भागफल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है टांगऔर संचालित कोण के स्पर्शरेखा पर: a=b/tg(β)। यह इस त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की परिभाषा से निम्नानुसार है। यदि आप साइन प्रमेय का उपयोग करते हैं, तो इसे स्पर्शरेखा के बिना करने की अनुमति है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि वांछित भुजा की लंबाई का विपरीत कोण की ज्या से अनुपात ज्ञात की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है। टांगलेकिन प्रसिद्ध कोण की ज्या के लिए। वांछित के विपरीत टांग y एक न्यून कोण को प्रसिद्ध कोण के माध्यम से 180°-90°-β = 90°-β के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, क्योंकि किसी भी त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होना चाहिए, और समकोण त्रिभुज की परिभाषा के अनुसार इसका एक कोण 90° के बराबर है। तो वांछित लंबाई टांगऔर इसे सूत्र a=sin(90°-β)∗b/sin(β) द्वारा परिकलित करने की अनुमति है।
2. यदि आसन्न कोण (β) का परिमाण और कर्ण (c) की लंबाई ज्ञात हो, तो लंबाई टांगऔर (ए) प्रसिद्ध कोण के कर्ण और कोसाइन की लंबाई के उत्पाद के रूप में गणना की जा सकती है: a=c∗cos(β)। यह एक त्रिकोणमितीय फलन के रूप में कोसाइन की परिभाषा का अनुसरण करता है। लेकिन इसे पिछले चरण की तरह, साइन प्रमेय और फिर वांछित लंबाई के रूप में उपयोग करने की अनुमति है टांग a 90 ° और अग्रणी कोण के बीच के अंतर की ज्या के गुणनफल के बराबर होगा और कर्ण की लंबाई का समकोण की ज्या से अनुपात के बराबर होगा। और इस तथ्य से कि 90° की ज्या एक के बराबर होती है, तो सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है: a=sin(90°-β)∗c.
3. विंडोज के साथ शामिल सॉफ्टवेयर कैलकुलेटर का उपयोग करके वास्तविक गणना की जा सकती है। इसे लॉन्च करने के लिए, "निष्पादन" आइटम को प्राथमिकता देने के लिए "प्रारंभ" बटन पर मुख्य मेनू में इसकी अनुमति है, कैल्क कमांड टाइप करें और "ओके" बटन पर क्लिक करें। डिफ़ॉल्ट रूप से खुलने वाले इस प्रोग्राम के इंटरफ़ेस के सरलतम संस्करण में त्रिकोणमितीय कार्यप्रदान नहीं किए गए हैं, इसलिए, इसे लॉन्च करने के बाद, आपको मेनू में "व्यू" अनुभाग पर क्लिक करना होगा और "साइंटिस्ट" या "इंजीनियरिंग" (प्रयुक्त संस्करण के आधार पर) लाइन को प्राथमिकता देनी होगी। ऑपरेटिंग सिस्टम).
संबंधित वीडियो
शब्द "केट" ग्रीक से रूसी में आया था। में सटीक अनुवादयह एक साहुल रेखा को दर्शाता है, जो कि पृथ्वी की सतह के लंबवत है। गणित में, टाँगों को वे भुजाएँ कहते हैं जो एक समकोण त्रिभुज का समकोण बनाती हैं। इस कोण के सम्मुख भुजा को कर्ण कहते हैं। शब्द "लेग" का उपयोग वास्तुकला और विशेष वेल्डिंग तकनीक में भी किया जाता है।
एक समकोण त्रिभुज ACB खींचिए। इसके पैरों को a और b लेबल करें, और इसके कर्ण को c लेबल करें। एक समकोण त्रिभुज की सभी भुजाएँ और कोण कुछ निश्चित संबंधों से जुड़े होते हैं। किसी एक न्यून कोण के विपरीत पैर के कर्ण से अनुपात को इस कोण की ज्या कहा जाता है। में दिया गया त्रिभुज sinCAB=a/c. कोसाइन आसन्न पैर के कर्ण का अनुपात है, अर्थात cosCAB=b/c। व्युत्क्रम संबंधों को सेकेंट और कोसेकेंट कहा जाता है। किसी दिए गए कोण का छेदक कर्ण को आसन्न पैर से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात secCAB=c/b। यह कोसाइन का व्युत्क्रम निकलता है, अर्थात इसे सूत्र secCAB=1/cosSAB का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। कोसेकेंट कर्ण को विपरीत पैर से विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है और ज्या का व्युत्क्रम होता है। इसकी गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है cosecCAB=1/sinCAB दोनों पैर स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट द्वारा जुड़े हुए हैं। में इस मामले मेंस्पर्शरेखा पक्ष a से भुजा b का अनुपात होगा, जो कि आसन्न पैर के विपरीत पैर है। इस अनुपात को सूत्र tgCAB=a/b द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। तदनुसार, प्रतिलोम अनुपात कोटैंजेंट होगा: ctgCAB=b/a. कर्ण के आकार और दोनों पैरों के बीच का अनुपात प्राचीन यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस द्वारा निर्धारित किया गया था। उनके नाम पर रखा गया प्रमेय आज भी लोगों द्वारा उपयोग किया जाता है। यह कहता है कि कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है, अर्थात c2 \u003d a2 + b2। तदनुसार, प्रत्येक पैर कर्ण और दूसरे पैर के वर्गों के बीच के अंतर के वर्गमूल के बराबर होगा। इस सूत्र को b =? (c2-a2) के रूप में लिखा जा सकता है। पैर की लंबाई को आप जो अनुपात जानते हैं, उसके माध्यम से भी व्यक्त किया जा सकता है। साइन और कोसाइन प्रमेय के अनुसार, पैर उत्पाद के बराबर हैइन कार्यों में से एक के लिए कर्ण। इसे स्पर्शरेखा या कोटैंजेंट के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। पैर a को सूत्र a = b * tan CAB द्वारा पाया जा सकता है। सच है, उसी तरह, दिए गए स्पर्शरेखा या कोटेंजेंट के आधार पर, दूसरा चरण भी निर्धारित किया जाता है। "पैर" शब्द का उपयोग वास्तुकला में भी किया जाता है। इसका उपयोग आयनिक पूंजी के संबंध में किया जाता है और इसकी पीठ के बीच में एक साहुल रेखा को दर्शाता है। अर्थात्, इस मामले में, यह पद किसी दी गई रेखा के लंबवत को दर्शाता है। वेल्डिंग कार्य की विशेष तकनीक में "एक पट्टिका वेल्ड के पैर" का प्रतिनिधित्व होता है। अन्य मामलों की तरह, यह सबसे छोटी दूरी है। यहां हम बात कर रहे हैंदूसरे भाग की सतह पर स्थित सीम की सीमा तक वेल्ड किए जाने वाले भागों में से एक के बीच के अंतराल के बारे में।
संबंधित वीडियो
ध्यान दें!
पाइथागोरस प्रमेय के साथ काम करते समय, यह न भूलें कि आप डिग्री के साथ काम कर रहे हैं। पैरों के वर्गों का योग ज्ञात करने के बाद, अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए, वर्गमूल लेना चाहिए।
अनुदेश
एक त्रिभुज को समकोण त्रिभुज कहा जाता है यदि उसका एक कोण 90 डिग्री का हो। इसमें दो पैर और एक कर्ण होता है। कर्ण इस त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है। यह एक समकोण के विरुद्ध स्थित है। पैर, क्रमशः, इसकी छोटी भुजाएँ कहलाती हैं। वे या तो एक दूसरे के बराबर हो सकते हैं या हो सकते हैं विभिन्न आकार. पैरों की समानता कि आप एक समकोण त्रिभुज के साथ काम कर रहे हैं। इसकी सुंदरता यह है कि यह दो आकृतियों को जोड़ती है: एक समकोण और एक समद्विबाहु त्रिभुज। यदि पैर समान नहीं हैं, तो त्रिभुज मनमाना है और मूल नियम के अनुसार: जितना बड़ा कोण, उतना ही इसके विपरीत झूठ बोलने वाला लुढ़कता है।
कर्ण को कोण और कोण से खोजने के कई तरीके हैं। लेकिन उनमें से किसी एक का उपयोग करने से पहले, आपको यह निर्धारित करना चाहिए कि कौन सा और कोण ज्ञात है। एक कोण और उसके आसन्न पैर को देखते हुए, कोण के कोसाइन द्वारा कर्ण को खोजना आसान है। एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण (cos a) की कोज्या, आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है। इसका तात्पर्य यह है कि कर्ण (सी) आसन्न पैर (बी) के कोण के कोसाइन (कोस ए) के अनुपात के बराबर होगा। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: cos a=b/c => c=b/cos a.
यदि एक कोण और एक विपरीत पैर दिया गया हो, तो काम करना चाहिए। एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण (sin a) की ज्या विपरीत पैर (a) और कर्ण (c) का अनुपात है। यहां सिद्धांत पिछले उदाहरण की तरह ही है, कोसाइन फ़ंक्शन के बजाय केवल साइन लिया जाता है। पाप a=a/c => c=a/sin a.
आप एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का भी उपयोग कर सकते हैं जैसे कि . लेकिन वांछित मूल्य खोजना थोड़ा अधिक जटिल है। एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण (tg a) की स्पर्शरेखा विपरीत पैर (a) से आसन्न एक (b) का अनुपात है। दोनों पैरों को खोजने के बाद, पाइथागोरस प्रमेय लागू करें (कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है) और बड़ा मिलेगा।
ध्यान दें
पाइथागोरस प्रमेय के साथ काम करते समय, यह न भूलें कि आप डिग्री के साथ काम कर रहे हैं। पैरों के वर्गों का योग ज्ञात करने के बाद, अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए, आपको वर्गमूल लेना चाहिए।
स्रोत:
कर्ण एक समकोण त्रिभुज की भुजा है जो 90 डिग्री के कोण के विपरीत है। इसकी लंबाई की गणना करने के लिए, एक पैर की लंबाई और त्रिभुज के तीव्र कोणों में से एक का मान जानना पर्याप्त है।
अनुदेश
एक ज्ञात और तीव्र समकोण के साथ, कर्ण का आकार इस कोण के पैर से / का अनुपात है, यदि दिया गया कोण इसके विपरीत / आसन्न है:
h = C1(या C2)/sinα;
एच = С1(या С2)/cosα.
उदाहरण: मान लीजिए ABC को कर्ण AB और C के साथ दिया गया है। मान लीजिए कोण B 60 डिग्री और कोण A 30 डिग्री है। पैर BC की लंबाई 8 सेमी है। आपको कर्ण AB की लंबाई चाहिए। ऐसा करने के लिए, आप ऊपर बताए गए किसी भी तरीके का उपयोग कर सकते हैं:
AB=BC/cos60=8 सेमी.
AB = BC/sin30 = 8 सेमी.
शब्द " टांग" ग्रीक शब्द "लंबवत" या "ऊर्ध्वाधर" से आया है - यह बताता है कि एक समकोण त्रिभुज के दोनों पक्षों, जो इसके नब्बे-डिग्री कोण को बनाते हैं, का नाम इस तरह क्यों रखा गया। किसी भी की लंबाई पाएं टांगओव मुश्किल नहीं है अगर इसके आस-पास के कोण का मान और किसी भी अन्य पैरामीटर ज्ञात हो, क्योंकि इस मामले में तीनों कोणों के मान वास्तव में ज्ञात हो जाएंगे।
अनुदेश
यदि, आसन्न कोण (β) के मान के अतिरिक्त, सेकंड . की लंबाई टांगए (बी), फिर लंबाई टांगऔर (ए) ज्ञात की लंबाई के भागफल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है टांगऔर एक ज्ञात कोण पर: a=b/tg(β)। यह इस त्रिकोणमितीय की परिभाषा से निम्नानुसार है। यदि आप प्रमेय का उपयोग करते हैं तो आप स्पर्शरेखा के बिना कर सकते हैं। इससे यह पता चलता है कि विपरीत कोण की ज्या से वांछित की लंबाई ज्ञात की लंबाई के अनुपात से टांगलेकिन एक ज्ञात कोण की ज्या के लिए। वांछित के विपरीत टांग y एक न्यून कोण को ज्ञात कोण के रूप में 180°-90°-β = 90°-β के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, क्योंकि किसी भी त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होना चाहिए, और इसका एक कोण 90 के बराबर होता है। °. तो वांछित लंबाई टांगऔर सूत्र a=sin(90°-β)∗b/sin(β) द्वारा परिकलित किया जा सकता है।
यदि आसन्न कोण (β) का परिमाण और कर्ण (c) की लंबाई ज्ञात हो, तो लंबाई टांगऔर (ए) की गणना कर्ण की लंबाई और ज्ञात कोण की कोज्या के गुणनफल के रूप में की जा सकती है: a=c∗cos(β)। यह एक त्रिकोणमितीय फलन के रूप में कोसाइन की परिभाषा का अनुसरण करता है। लेकिन आप पिछले चरण की तरह, साइन प्रमेय और फिर वांछित लंबाई का उपयोग कर सकते हैं टांग a 90° के बीच ज्या के गुणनफल के बराबर होगा और ज्ञात कोण गुणा कर्ण की लंबाई और समकोण की ज्या के अनुपात के बराबर होगा। और चूँकि 90° की ज्या एक के बराबर होती है, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: a=sin(90°-β)∗c.
व्यावहारिक गणनाएं की जा सकती हैं, उदाहरण के लिए, विंडोज ऑपरेटिंग सिस्टम में शामिल सॉफ्टवेयर कैलकुलेटर का उपयोग करना। इसे चलाने के लिए, आप "प्रारंभ" बटन पर मुख्य मेनू में "रन" आइटम का चयन कर सकते हैं, कैल्क कमांड टाइप करें और "ओके" बटन पर क्लिक करें। डिफ़ॉल्ट रूप से खुलने वाले इस प्रोग्राम के इंटरफ़ेस का सबसे सरल संस्करण त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन प्रदान नहीं करता है, इसलिए इसे लॉन्च करने के बाद, आपको मेनू में "व्यू" अनुभाग पर क्लिक करना होगा और "वैज्ञानिक" या "इंजीनियरिंग" लाइन (के आधार पर) का चयन करना होगा। आपके द्वारा उपयोग किए जा रहे ऑपरेटिंग सिस्टम का संस्करण)।
संबंधित वीडियो
शब्द "केट" ग्रीक से रूसी में आया था। सटीक अनुवाद में, इसका अर्थ है एक साहुल रेखा, यानी पृथ्वी की सतह के लंबवत। गणित में, टाँगों को वे भुजाएँ कहते हैं जो एक समकोण त्रिभुज का समकोण बनाती हैं। इस कोण के सम्मुख भुजा को कर्ण कहते हैं। शब्द "लेग" का उपयोग वास्तुकला और वेल्डिंग तकनीक में भी किया जाता है।
एक समकोण त्रिभुज ACB खींचिए। इसके पैरों को a और b लेबल करें, और इसके कर्ण को c लेबल करें। एक समकोण त्रिभुज की सभी भुजाएँ और कोण एक दूसरे से परिभाषित होते हैं। किसी एक न्यून कोण के विपरीत पैर के कर्ण से अनुपात को इस कोण की ज्या कहा जाता है। इस त्रिभुज में sinCAB=a/c. कोसाइन आसन्न पैर के कर्ण का अनुपात है, अर्थात cosCAB=b/c। व्युत्क्रम संबंधों को सेकेंट और कोसेकेंट कहा जाता है।
इस कोण का छेदक कर्ण को आसन्न पैर से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात secCAB=c/b। यह कोज्या का व्युत्क्रम निकालता है, अर्थात इसे सूत्र secCAB=1/cosSAB द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।
कोसेकेंट कर्ण को विपरीत पैर से विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है और ज्या का व्युत्क्रम होता है। इसकी गणना सूत्र cosecCAB=1/sinCAB . का उपयोग करके की जा सकती है
दोनों पैर आपस में जुड़े हुए हैं और स्पर्शरेखा हैं। इस मामले में, स्पर्शरेखा पक्ष ए से साइड बी का अनुपात होगा, यानी विपरीत पैर से आसन्न एक। इस अनुपात को सूत्र tgCAB=a/b द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। तदनुसार, प्रतिलोम अनुपात कोटैंजेंट होगा: ctgCAB=b/a.
कर्ण और दोनों पैरों के आकार के बीच का अनुपात द्वारा निर्धारित किया गया था प्राचीन यूनानी पाइथागोरस. प्रमेय, उसका नाम, लोग अभी भी उपयोग करते हैं। यह कहता है कि कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है, अर्थात c2 \u003d a2 + b2। तदनुसार, प्रत्येक पैर कर्ण और दूसरे पैर के वर्गों के बीच के अंतर के वर्गमूल के बराबर होगा। यह सूत्र b=√(c2-a2) के रूप में लिखा जा सकता है।
पैर की लंबाई को उन रिश्तों के माध्यम से भी व्यक्त किया जा सकता है जिन्हें आप जानते हैं। साइन और कोसाइन के प्रमेय के अनुसार, पैर कर्ण के उत्पाद के बराबर है और इनमें से एक कार्य है। आप इसे और या कोटैंजेंट व्यक्त कर सकते हैं। पैर a पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सूत्र a \u003d b * tan CAB द्वारा। ठीक उसी तरह, दी गई स्पर्शरेखा या के आधार पर, दूसरा चरण निर्धारित किया जाता है।
वास्तुकला में, "पैर" शब्द का भी प्रयोग किया जाता है। यह एक आयनिक पूंजी पर लगाया जाता है और इसकी पीठ के बीच से होकर जाता है। अर्थात्, इस स्थिति में, इस पद से, दी गई रेखा पर लम्ब।
वेल्डिंग तकनीक में, "एक पट्टिका वेल्ड का पैर" होता है। अन्य मामलों की तरह, यह सबसे छोटी दूरी है। यहां हम दूसरे भाग की सतह पर स्थित सीम की सीमा तक वेल्ड किए जाने वाले भागों में से एक के बीच की खाई के बारे में बात कर रहे हैं।
संबंधित वीडियो
स्रोत:
