कक्षा 8 में द्विघात समीकरणों का अध्ययन किया जाता है, इसलिए यहाँ कुछ भी जटिल नहीं है। उन्हें हल करने की क्षमता जरूरी है।

द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण है, जहां गुणांक a , b और c मनमानी संख्याएं हैं, और a 0।

विशिष्ट समाधान विधियों का अध्ययन करने से पहले, हम ध्यान दें कि सभी द्विघात समीकरणों को तीन वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:

1. कोई जड़ नहीं है;
2. उनकी ठीक एक जड़ है;
3. उनकी दो अलग-अलग जड़ें हैं।

यह द्विघात और रैखिक समीकरणों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है, जहां मूल हमेशा मौजूद होता है और अद्वितीय होता है। कैसे निर्धारित करें कि एक समीकरण की कितनी जड़ें हैं? इसमें एक अद्भुत बात है - विभेदक.

विभेदक

मान लीजिए कि द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 दिया गया है, तो विवेचक केवल संख्या D = b 2 − 4ac है।

इस सूत्र को दिल से जानना चाहिए। यह कहां से आता है यह अब महत्वपूर्ण नहीं है। एक और बात महत्वपूर्ण है: विवेचक के चिह्न से, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि द्विघात समीकरण की कितनी जड़ें हैं। अर्थात्:

1. अगर डी< 0, корней нет;
2. यदि D = 0 है, तो ठीक एक मूल है;
3. यदि D > 0, तो दो मूल होंगे।

कृपया ध्यान दें: विवेचक जड़ों की संख्या को इंगित करता है, और उनके सभी संकेतों को नहीं, जैसा कि किसी कारण से बहुत से लोग सोचते हैं। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और आप खुद ही सब कुछ समझ जाएंगे:

एक कार्य। द्विघात समीकरणों की कितनी जड़ें होती हैं:

1. एक्स 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. एक्स 2 - 6x + 9 = 0।

हम पहले समीकरण के लिए गुणांक लिखते हैं और विवेचक पाते हैं:
ए = 1, बी = -8, सी = 12;
डी = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

तो, विवेचक सकारात्मक है, इसलिए समीकरण की दो अलग-अलग जड़ें हैं। हम दूसरे समीकरण का उसी तरह विश्लेषण करते हैं:
ए = 5; बी = 3; सी = 7;
डी \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131।

विभेदक नकारात्मक है, कोई जड़ नहीं है। अंतिम समीकरण रहता है:
ए = 1; बी = -6; सी = 9;
डी = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0।

विवेचक शून्य के बराबर है - मूल एक होगा।

ध्यान दें कि प्रत्येक समीकरण के लिए गुणांक लिखे गए हैं। हां, यह लंबा है, हां, यह थकाऊ है - लेकिन आप बाधाओं को नहीं मिलाएंगे और मूर्खतापूर्ण गलतियां नहीं करेंगे। अपने लिए चुनें: गति या गुणवत्ता।

वैसे, यदि आप "अपना हाथ भरते हैं", तो थोड़ी देर बाद आपको सभी गुणांक लिखने की आवश्यकता नहीं होगी। आप अपने सिर में ऐसे ऑपरेशन करेंगे। ज्यादातर लोग 50-70 हल समीकरणों के बाद कहीं ऐसा करना शुरू करते हैं - सामान्य तौर पर, इतना नहीं।

द्विघात समीकरण की जड़ें

अब चलिए समाधान की ओर बढ़ते हैं। यदि विभेदक D > 0 है, तो सूत्रों का उपयोग करके जड़ों को पाया जा सकता है:

जड़ों का मूल सूत्र द्विघात समीकरण

जब डी = 0, आप इनमें से किसी भी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं - आपको वही संख्या मिलती है, जिसका उत्तर होगा। अंत में, यदि डी< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. एक्स 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

पहला समीकरण:
एक्स 2 - 2x - 3 = 0 ए = 1; बी = -2; सी = -3;
डी = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16।

D > 0 समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें ढूंढते हैं:

दूसरा समीकरण:
15 − 2x - x 2 = 0 a = −1; बी = -2; सी = 15;
डी = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64।

D > 0 समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें ढूंढते हैं

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अंत में, तीसरा समीकरण:
एक्स 2 + 12x + 36 = 0 ए = 1; बी = 12; सी = 36;
डी = 12 2 - 4 1 36 = 0।

D = 0 समीकरण का एक मूल है। किसी भी सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पहला वाला:

जैसा कि आप उदाहरणों से देख सकते हैं, सब कुछ बहुत सरल है। यदि आप सूत्र जानते हैं और गिनने में सक्षम हैं, तो कोई समस्या नहीं होगी। अक्सर, त्रुटियाँ तब होती हैं जब सूत्र में ऋणात्मक गुणांकों को प्रतिस्थापित किया जाता है। यहां, फिर से, ऊपर वर्णित तकनीक मदद करेगी: सूत्र को शाब्दिक रूप से देखें, प्रत्येक चरण को पेंट करें - और बहुत जल्द गलतियों से छुटकारा पाएं।

अपूर्ण द्विघात समीकरण

ऐसा होता है कि द्विघात समीकरण परिभाषा में दी गई चीज़ों से कुछ अलग है। उदाहरण के लिए:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 - 16 = 0.

यह देखना आसान है कि इन समीकरणों में से एक पद गायब है। इस तरह के द्विघात समीकरणों को मानक समीकरणों की तुलना में हल करना और भी आसान है: उन्हें विवेचक की गणना करने की भी आवश्यकता नहीं है। तो चलिए एक नई अवधारणा पेश करते हैं:

समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0 को अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है यदि बी = 0 या सी = 0, अर्थात। चर x या मुक्त तत्व का गुणांक शून्य के बराबर है।

बेशक, एक बहुत ही कठिन मामला संभव है जब ये दोनों गुणांक शून्य के बराबर हों: b \u003d c \u003d 0. इस मामले में, समीकरण कुल्हाड़ी 2 \u003d 0 का रूप लेता है। जाहिर है, इस तरह के समीकरण में एक एकल होता है जड़: x \u003d 0.

आइए अन्य मामलों पर विचार करें। चलो बी \u003d 0, फिर हमें फॉर्म कुल्हाड़ी 2 + सी \u003d 0 का अधूरा द्विघात समीकरण मिलता है। आइए इसे थोड़ा रूपांतरित करें:

क्योंकि अंकगणित वर्गमूलकेवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या से मौजूद है, अंतिम समानता केवल (−c /a ) 0 के लिए समझ में आता है। निष्कर्ष:

1. यदि ax 2 + c = 0 के रूप का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण असमानता (−c / a ) 0 को संतुष्ट करता है, तो दो मूल होंगे। सूत्र ऊपर दिया गया है;
2. अगर (-सी / ए)< 0, корней нет.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विवेचक की आवश्यकता नहीं थी - अपूर्ण द्विघात समीकरणों में कोई जटिल गणना नहीं है। वास्तव में, असमानता (−c / a ) 0 को याद रखना भी आवश्यक नहीं है। यह x 2 के मान को व्यक्त करने और समान चिह्न के दूसरी तरफ देखने के लिए पर्याप्त है। यदि कोई धनात्मक संख्या है, तो दो मूल होंगे। यदि ऋणात्मक है, तो जड़ें बिल्कुल नहीं होंगी।

अब आइए फार्म ax 2 + bx = 0 के समीकरणों पर विचार करें, जिसमें मुक्त तत्व शून्य के बराबर है। यहां सब कुछ सरल है: हमेशा दो जड़ें होंगी। यह बहुपद का गुणनखंड करने के लिए पर्याप्त है:

उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना

उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है। यहीं से जड़ें निकलती हैं। अंत में, हम इनमें से कई समीकरणों का विश्लेषण करेंगे:

एक कार्य। द्विघात समीकरणों को हल करें:

1. x2 - 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 x 1 = 0; x2 = -(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6। कोई जड़ें नहीं हैं, क्योंकि वर्ग एक ऋणात्मक संख्या के बराबर नहीं हो सकता।

4x 2 - 9 = 0 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; एक्स 2 \u003d -1.5।

द्विघातीय समीकरण। भेदभाव करने वाला। समाधान, उदाहरण।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

द्विघात समीकरणों के प्रकार

द्विघात समीकरण क्या है? यह कैसा दिखता है? अवधि में द्विघात समीकरणकीवर्ड है "वर्ग"।इसका मतलब है कि समीकरण में आवश्यक रूप सेएक x वर्ग होना चाहिए। इसके अलावा, समीकरण में (या नहीं भी हो सकता है!) बस x (पहली डिग्री तक) और सिर्फ एक संख्या (स्वतंत्र सदस्य)।और दो से अधिक डिग्री में x नहीं होना चाहिए।

गणितीय शब्दों में, द्विघात समीकरण रूप का एक समीकरण है:

यहां ए, बी और सी- कुछ नंबर। बी और सी- बिल्कुल कोई, लेकिन एक- शून्य के अलावा कुछ भी। उदाहरण के लिए:

यहां एक =1; बी = 3; सी = -4

यहां एक =2; बी = -0,5; सी = 2,2

यहां एक =-3; बी = 6; सी = -18

खैर, आप विचार समझ गए...

इन द्विघात समीकरणों में, बाईं ओर है पूरा स्थिरसदस्य। गुणांक के साथ x चुकता एक,गुणांक के साथ पहली शक्ति के लिए x बीतथा मुक्त सदस्य

ऐसे द्विघात समीकरण कहलाते हैं पूरा।

क्या हो अगर बी= 0, हमें क्या मिलेगा? हमारे पास है एक्स पहली डिग्री में गायब हो जाएगा।यह शून्य से गुणा करने पर होता है।) यह पता चलता है, उदाहरण के लिए:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-एक्स 2 +4x=0

आदि। और यदि दोनों गुणांक बीतथा सीशून्य के बराबर हैं, तो यह और भी आसान है:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

ऐसे समीकरण, जिनमें कुछ छूट जाता है, कहलाते हैं अपूर्ण द्विघात समीकरण।जो काफी तार्किक है।) कृपया ध्यान दें कि x वर्ग सभी समीकरणों में मौजूद है।

वैसे क्यों एकशून्य नहीं हो सकता? और आप इसके बजाय स्थानापन्न करें एकशून्य।) वर्ग में X गायब हो जाएगा! समीकरण रैखिक हो जाएगा। और यह अलग तरह से किया जाता है ...

यह सभी मुख्य प्रकार के द्विघात समीकरण हैं। पूर्ण और अपूर्ण।

द्विघात समीकरणों का हल।

पूर्ण द्विघात समीकरणों का हल।

द्विघात समीकरणों को हल करना आसान है। सूत्रों और स्पष्ट सरल नियमों के अनुसार। पहला कदम दिए गए समीकरण को पर लाना है मानक प्रपत्र, अर्थात। देखने के लिए:

यदि इस रूप में आपको पहले से ही समीकरण दिया गया है, तो आपको पहले चरण को करने की आवश्यकता नहीं है।) मुख्य बात यह है कि सभी गुणांक को सही ढंग से निर्धारित करना है, एक, बीतथा सी.

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:

मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक को कहते हैं विभेदक. लेकिन उसके बारे में नीचे। जैसा कि आप देख सकते हैं, x ज्ञात करने के लिए हम उपयोग करते हैं केवल ए, बी और सी. वे। द्विघात समीकरण से गुणांक। बस मूल्यों को ध्यान से बदलें ए, बी और सीइस सूत्र और गिनती में। स्थानापन्न अपने संकेतों के साथ! उदाहरण के लिए, समीकरण में:

एक =1; बी = 3; सी= -4। यहाँ हम लिखते हैं:

उदाहरण लगभग हल हो गया:

यही उत्तर है।

सब कुछ बहुत सरल है। और आपको क्या लगता है, आप गलत नहीं हो सकते? अच्छा, हाँ, कैसे...

सबसे आम गलतियाँ मूल्यों के संकेतों के साथ भ्रम हैं ए, बी और सी. या बल्कि, उनके संकेतों के साथ नहीं (भ्रमित होने के लिए कहां है?), लेकिन जड़ों की गणना के लिए सूत्र में नकारात्मक मूल्यों के प्रतिस्थापन के साथ। यहां, विशिष्ट संख्याओं के साथ सूत्र का विस्तृत रिकॉर्ड सहेजा जाता है। यदि गणना में कोई समस्या है, तो इसे करो!

मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित उदाहरण को हल करने की आवश्यकता है:

यहां एक = -6; बी = -5; सी = -1

मान लीजिए कि आप जानते हैं कि आपको शायद ही पहली बार उत्तर मिलते हैं।

खैर, आलसी मत बनो। एक अतिरिक्त लाइन लिखने में 30 सेकंड का समय लगेगा और त्रुटियों की संख्या तेजी से गिरेगा. इसलिए हम सभी कोष्ठकों और चिह्नों के साथ विस्तार से लिखते हैं:

इतनी सावधानी से पेंट करना अविश्वसनीय रूप से कठिन लगता है। लेकिन लगता ही है। इसे अजमाएं। अच्छा, या चुनें। कौन सा बेहतर है, तेज, या सही? इसके अलावा, मैं तुम्हें खुश कर दूंगा। थोड़ी देर बाद, सब कुछ इतनी सावधानी से पेंट करने की आवश्यकता नहीं होगी। यह ठीक काम करेगा। खासकर यदि आप व्यावहारिक तकनीकों को लागू करते हैं, जिनका वर्णन नीचे किया गया है। Minuses के एक समूह के साथ यह बुरा उदाहरण आसानी से और त्रुटियों के बिना हल किया जाएगा!

लेकिन, अक्सर, द्विघात समीकरण थोड़े अलग दिखते हैं। उदाहरण के लिए, इस तरह:

क्या आप जानते हैं?) हाँ! यह अपूर्ण द्विघात समीकरण.

अपूर्ण द्विघात समीकरणों का हल।

उन्हें सामान्य सूत्र द्वारा भी हल किया जा सकता है। आपको बस सही ढंग से यह पता लगाने की जरूरत है कि यहां क्या बराबर है ए, बी और सी.

समझना? पहले उदाहरण में ए = 1; बी = -4;एक सी? यह बिल्कुल मौजूद नहीं है! अच्छा, हाँ, यह सही है। गणित में, इसका अर्थ है कि सी = 0 ! बस इतना ही। सूत्र में के स्थान पर शून्य रखिए सी,और सब कुछ हमारे लिए काम करेगा। इसी तरह दूसरे उदाहरण के साथ। केवल शून्य हमारे यहाँ नहीं है साथ, एक बी !

लेकिन अधूरे द्विघात समीकरणों को बहुत आसानी से हल किया जा सकता है। बिना किसी सूत्र के। पहले अपूर्ण समीकरण पर विचार करें। बाईं ओर क्या किया जा सकता है? आप X को कोष्ठक से बाहर निकाल सकते हैं! आइए इसे बाहर निकालें।

और इसका क्या? और तथ्य यह है कि उत्पाद शून्य के बराबर है, और केवल अगर कोई भी कारक शून्य के बराबर है! विश्वास मत करो? खैर, फिर दो गैर-शून्य संख्याएँ लेकर आएँ, जिन्हें गुणा करने पर शून्य मिलेगा!
काम नहीं करता है? कुछ...
इसलिए, हम विश्वास के साथ लिख सकते हैं: एक्स 1 = 0, एक्स 2 = 4.

हर चीज़। ये हमारे समीकरण की जड़ें होंगी। दोनों फिट। उनमें से किसी को भी मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें सही पहचान 0 = 0 प्राप्त होती है। जैसा कि आप देख सकते हैं, समाधान सामान्य सूत्र की तुलना में बहुत सरल है। मैं ध्यान देता हूं, वैसे, कौन सा एक्स पहला होगा, और कौन सा दूसरा - यह बिल्कुल उदासीन है। क्रम में लिखना आसान एक्स 1- जो भी कम हो एक्स 2- वह जो अधिक हो।

दूसरा समीकरण भी आसानी से हल किया जा सकता है। हम 9 को दाईं ओर ले जाते हैं। हम पाते हैं:

यह 9 से जड़ निकालने के लिए बनी हुई है, और बस। प्राप्त:

भी दो जड़ें . एक्स 1 = -3, एक्स 2 = 3.

इस प्रकार सभी अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल किया जाता है। या तो एक्स को कोष्ठक से निकालकर, या बस संख्या को दाईं ओर स्थानांतरित करके, उसके बाद रूट निकालकर।
इन तरीकों को भ्रमित करना बेहद मुश्किल है। सिर्फ इसलिए कि पहले मामले में आपको एक्स से रूट निकालना होगा, जो किसी भी तरह समझ से बाहर है, और दूसरे मामले में ब्रैकेट से बाहर निकलने के लिए कुछ भी नहीं है ...

भेदभाव करने वाला। विभेदक सूत्र।

जादुई शब्द विभेदक ! हाई स्कूल के एक दुर्लभ छात्र ने यह शब्द नहीं सुना है! वाक्यांश "विवेककर्ता के माध्यम से निर्णय लें" आश्वस्त और आश्वस्त करने वाला है। क्योंकि विवेचक से तरकीबों का इंतजार करने की जरूरत नहीं है! यह उपयोग करने के लिए सरल और परेशानी मुक्त है।) मैं आपको हल करने के लिए सबसे सामान्य सूत्र की याद दिलाता हूं कोईद्विघातीय समीकरण:

मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक को विवेचक कहा जाता है। विवेचक को आमतौर पर पत्र द्वारा दर्शाया जाता है डी. विभेदक सूत्र:

डी = बी 2 - 4ac

और इस अभिव्यक्ति में ऐसा क्या खास है? यह एक विशेष नाम के लायक क्यों है? क्या विभेदक का अर्थ?आख़िरकार -बी,या 2एइस सूत्र में वे विशेष रूप से नाम नहीं ... अक्षर और अक्षर।

बात यह है। इस सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करते समय, यह संभव है केवल तीन मामले।

1. विवेचक सकारात्मक है।इसका मतलब है कि आप इससे जड़ निकाल सकते हैं। जड़ को अच्छी तरह से निकाला गया है या बुरी तरह से यह एक और सवाल है। यह महत्वपूर्ण है कि सिद्धांत रूप में क्या निकाला जाता है। तब आपके द्विघात समीकरण के दो मूल हैं। दो अलग समाधान।

2. विवेचक शून्य है।तो आपके पास एक ही उपाय है। चूँकि अंश में शून्य जोड़ने या घटाने से कुछ भी नहीं बदलता है। कड़ाई से बोलते हुए, यह एक जड़ नहीं है, बल्कि दो समान. लेकिन, एक सरलीकृत संस्करण में, इसके बारे में बात करने की प्रथा है एक हल।

3. विवेचक ऋणात्मक है।एक ऋणात्मक संख्या वर्गमूल नहीं लेती है। अच्छी तरह से ठीक है। इसका मतलब है कि कोई समाधान नहीं हैं।

सच कहूं तो सरल उपायद्विघात समीकरण, विभेदक की अवधारणा की विशेष रूप से आवश्यकता नहीं है। हम सूत्र में गुणांकों के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं, और हम विचार करते हैं। वहाँ सब कुछ अपने आप निकल जाता है, और दो जड़ें, और एक, और एक भी नहीं। हालाँकि, अधिक हल करते समय कठिन कार्य, ज्ञान के बिना अर्थ और विभेदक सूत्रपर्याप्त नहीं। विशेष रूप से - मापदंडों के साथ समीकरणों में। इस तरह के समीकरण जीआईए और एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए एरोबेटिक्स हैं!)

इसलिए, द्विघात समीकरणों को कैसे हल करेंआपके द्वारा याद किए गए विवेचक के माध्यम से। या सीखा है, जो बुरा भी नहीं है।) आप सही ढंग से पहचानना जानते हैं ए, बी और सी. आपको पता है कैसे सावधानी सेउन्हें मूल सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सावधानी सेपरिणाम गिनें। क्या आप समझ गए कि यहाँ मुख्य शब्द है - सावधानी से?

अब उन व्यावहारिक तकनीकों पर ध्यान दें जो त्रुटियों की संख्या को नाटकीय रूप से कम करती हैं। वही जो असावधानी के कारण होते हैं... जिसके लिए यह तब कष्टदायक और अपमानजनक होता है...

पहला स्वागत . द्विघात समीकरण को मानक रूप में लाने के लिए हल करने से पहले आलसी मत बनो। इसका क्या मतलब है?
मान लीजिए, किसी भी परिवर्तन के बाद, आपको निम्नलिखित समीकरण मिलता है:

जड़ों का सूत्र लिखने में जल्दबाजी न करें! आप लगभग निश्चित रूप से बाधाओं को मिलाएंगे ए, बी और सी।उदाहरण सही ढंग से बनाएँ। पहले, x चुकता, फिर बिना वर्ग के, फिर एक मुक्त सदस्य। ऐशे ही:

और फिर, जल्दी मत करो! x चुकता से पहले का माइनस आपको बहुत परेशान कर सकता है। इसे भूलना आसान है... माइनस से छुटकारा पाएं। कैसे? हाँ, जैसा कि पिछले विषय में पढ़ाया गया था! हमें पूरे समीकरण को -1 से गुणा करना होगा। हम पाते हैं:

और अब आप जड़ों के लिए सूत्र को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं, विवेचक की गणना कर सकते हैं और उदाहरण को पूरा कर सकते हैं। आप ही निर्णय लें। आपको जड़ों 2 और -1 के साथ समाप्त होना चाहिए।

दूसरा स्वागत। अपनी जड़ों की जाँच करें! Vieta के प्रमेय के अनुसार। चिंता मत करो, मैं सब कुछ समझा दूंगा! चेकिंग आखिरी बातसमीकरण। वे। जिसके द्वारा हमने मूलों का सूत्र लिख दिया। यदि (इस उदाहरण में) गुणांक ए = 1, जड़ों को आसानी से जांचें। उन्हें गुणा करने के लिए पर्याप्त है। आपको एक फ्री टर्म मिलना चाहिए, यानी। हमारे मामले -2 में। ध्यान दें, 2 नहीं, बल्कि -2! स्वतंत्र सदस्य आपके संकेत के साथ . अगर यह काम नहीं करता है, तो इसका मतलब है कि वे पहले ही कहीं गड़बड़ कर चुके हैं। एक त्रुटि की तलाश करें।

यदि यह काम करता है, तो आपको जड़ों को मोड़ना होगा। अंतिम और अंतिम जांच। अनुपात होना चाहिए बीसाथ विलोम संकेत। हमारे मामले में -1+2 = +1। एक गुणांक बी, जो x से पहले है, -1 के बराबर है। तो, सब ठीक है!
यह अफ़सोस की बात है कि यह केवल उन उदाहरणों के लिए इतना सरल है जहाँ x वर्ग शुद्ध है, एक गुणांक के साथ ए = 1.लेकिन कम से कम ऐसे समीकरणों की जाँच करें! कम गलतियाँ होंगी।

रिसेप्शन तीसरा . यदि आपके समीकरण में भिन्नात्मक गुणांक हैं, तो भिन्नों से छुटकारा पाएं! "समीकरणों को कैसे हल करें? पहचान परिवर्तन" पाठ में वर्णित सामान्य हर से समीकरण को गुणा करें। अंशों, त्रुटियों के साथ काम करते समय, किसी कारण से चढ़ना ...

वैसे, मैंने एक बुरे उदाहरण का वादा किया था जिसमें मिनिस के एक समूह को सरल बनाया गया था। कृप्या! वह यहाँ है।

Minuses में भ्रमित न होने के लिए, हम समीकरण को -1 से गुणा करते हैं। हम पाते हैं:

बस इतना ही! निर्णय लेना मजेदार है!

तो चलिए विषय को फिर से समझते हैं।

व्यावहारिक सुझाव:

1. हल करने से पहले, हम द्विघात समीकरण को मानक रूप में लाते हैं, इसे बनाते हैं सही.

2. यदि वर्ग में x के सामने ऋणात्मक गुणांक है, तो हम पूरे समीकरण को -1 से गुणा करके इसे समाप्त कर देते हैं।

3. यदि गुणांक भिन्नात्मक हैं, तो हम संपूर्ण समीकरण को संगत कारक से गुणा करके भिन्नों को हटा देते हैं।

4. यदि x वर्ग शुद्ध है, तो इसके लिए गुणांक एक के बराबर है, विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समाधान को आसानी से जांचा जा सकता है। इसे करें!

अब आप तय कर सकते हैं।)

समीकरण हल करें:

8x 2 - 6x + 1 = 0

एक्स 2 + 3x + 8 = 0

एक्स 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

उत्तर (अव्यवस्था में):

एक्स 1 = 0
एक्स 2 = 5

एक्स 1.2 =2

एक्स 1 = 2
एक्स 2 \u003d -0.5

एक्स - कोई भी संख्या

एक्स 1 = -3
एक्स 2 = 3

कोई समाधान नहीं

एक्स 1 = 0.25
एक्स 2 \u003d 0.5

क्या सब कुछ ठीक है? उत्कृष्ट! द्विघात समीकरण आपके नहीं हैं सरदर्द. पहले तीन निकले, लेकिन बाकी नहीं निकले? तब समस्या द्विघात समीकरणों में नहीं है। समस्या समीकरणों के समान परिवर्तनों में है। लिंक पर एक नज़र डालें, यह मददगार है।

काफी काम नहीं करता? या यह बिल्कुल काम नहीं करता है? तब धारा 555 आपकी सहायता करेगी।वहां, इन सभी उदाहरणों को हड्डियों द्वारा क्रमबद्ध किया जाता है। दिखा मुख्यसमाधान में त्रुटियां। बेशक, यह उपयोग के बारे में भी बात करता है समान परिवर्तनविभिन्न समीकरणों को हल करने में। बहुत मदद करता है!

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कोपयेवस्काया ग्रामीण माध्यमिक विद्यालय

द्विघात समीकरणों को हल करने के 10 तरीके

सिर: पेट्रीकीवा गैलिना अनातोल्येवना,

गणित शिक्षक

एस.कोपयेवो, 2007

1. द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास

1.1 प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण

1.2 डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों को कैसे संकलित और हल किया

1.3 भारत में द्विघात समीकरण

1.4 अल-ख्वारिज्मी में द्विघात समीकरण

1.5 यूरोप में द्विघात समीकरण XIII - XVII सदियों

1.6 विएटा के प्रमेय के बारे में

2. द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ

निष्कर्ष

साहित्य

1. द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास

1.1 प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण

प्राचीन काल में न केवल पहली, बल्कि दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने की आवश्यकता एक सैन्य प्रकृति के भूमि और भूकंप के क्षेत्रों को खोजने के साथ-साथ खगोल विज्ञान के विकास से संबंधित समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के कारण थी। गणित ही। द्विघात समीकरण लगभग 2000 ईसा पूर्व हल करने में सक्षम थे। इ। बेबीलोनियाई।

आधुनिक बीजगणितीय संकेतन को लागू करते हुए, हम कह सकते हैं कि उनके क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में अधूरे लोगों के अलावा, उदाहरण के लिए, पूर्ण द्विघात समीकरण हैं:

एक्स 2 + एक्स = ¾; एक्स 2 - एक्स = 14,5

बेबीलोन के ग्रंथों में वर्णित इन समीकरणों को हल करने का नियम अनिवार्य रूप से आधुनिक के साथ मेल खाता है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि बेबीलोन के लोग इस नियम पर कैसे आए। अब तक पाए गए लगभग सभी क्यूनिफॉर्म ग्रंथ व्यंजनों के रूप में बताए गए समाधानों के साथ केवल समस्याएं देते हैं, इस बात का कोई संकेत नहीं है कि वे कैसे पाए गए।

बावजूद उच्च स्तरबेबीलोन में बीजगणित का विकास, क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में ऋणात्मक संख्या की कोई अवधारणा नहीं है और सामान्य तरीकेद्विघात समीकरणों के समाधान।

1.2 डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों को कैसे संकलित और हल किया।

डायोफैंटस के अंकगणित में बीजगणित का एक व्यवस्थित विवरण नहीं होता है, लेकिन इसमें समस्याओं की एक व्यवस्थित श्रृंखला होती है, स्पष्टीकरण के साथ और विभिन्न डिग्री के समीकरणों को तैयार करके हल किया जाता है।

समीकरणों को संकलित करते समय, डायोफैंटस समाधान को सरल बनाने के लिए कुशलता से अज्ञात को चुनता है।

यहाँ, उदाहरण के लिए, उनके कार्यों में से एक है।

टास्क 11."दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, यह जानते हुए कि उनका योग 20 है और उनका गुणनफल 96 है"

डायोफैंटस का तर्क इस प्रकार है: यह समस्या की स्थिति से निम्नानुसार है कि वांछित संख्याएं समान नहीं हैं, क्योंकि यदि वे समान थीं, तो उनका उत्पाद 96 नहीं, बल्कि 100 के बराबर होगा। इस प्रकार, उनमें से एक से अधिक होगा उनकी राशि का आधा, यानी। 10+x, दूसरा छोटा है, अर्थात्। 10's. उनके बीच का अंतर 2x .

इसलिए समीकरण:

(10 + एक्स)(10 - एक्स) = 96

100 - x 2 = 96

एक्स 2 - 4 = 0 (1)

यहाँ से एक्स = 2. वांछित संख्याओं में से एक है 12 , अन्य 8 . समाधान एक्स = -2डायोफैंटस के लिए मौजूद नहीं है, क्योंकि ग्रीक गणित केवल सकारात्मक संख्या जानता था।

यदि हम अज्ञात के रूप में वांछित संख्याओं में से किसी एक को चुनकर इस समस्या को हल करते हैं, तो हम समीकरण के समाधान पर आ जाएंगे

y(20 - y) = 96,

वाई 2 - 20y + 96 = 0. (2)

यह स्पष्ट है कि, वांछित संख्याओं के आधे-अंतर को अज्ञात के रूप में चुनकर, डायोफैंटस समाधान को सरल करता है; वह एक अपूर्ण द्विघात समीकरण (1) को हल करने के लिए समस्या को कम करने का प्रबंधन करता है।

1.3 भारत में द्विघात समीकरण

भारतीय गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आर्यभट्ट द्वारा 499 में संकलित खगोलीय पथ "आर्यभट्टम" में द्विघात समीकरणों की समस्याएं पहले से ही पाई जाती हैं। एक अन्य भारतीय विद्वान, ब्रह्मगुप्त (7वीं शताब्दी), ने व्याख्या की सामान्य नियमद्विघात समीकरणों के समाधान एकल विहित रूप में कम हो गए:

आह 2+ बी एक्स = सी, ए > 0. (1)

समीकरण (1) में, गुणांक, को छोड़कर एक, नकारात्मक भी हो सकता है। ब्रह्मगुप्त का शासन अनिवार्य रूप से हमारे साथ मेल खाता है।

पर प्राचीन भारतकठिन समस्याओं को हल करने में सार्वजनिक प्रतियोगिताएं आम थीं। पुरानी भारतीय किताबों में से एक में ऐसी प्रतियोगिताओं के बारे में कहा गया है: “जैसे सूरज अपनी चमक से सितारों को चमका देता है, वैसे ही वैज्ञानिक आदमीजनसभाओं में दूसरे की महिमा ग्रहण करना, बीजगणितीय समस्याओं का प्रस्ताव और समाधान करना। कार्यों को अक्सर काव्यात्मक रूप में तैयार किया जाता था।

यहाँ बारहवीं शताब्दी के प्रसिद्ध भारतीय गणितज्ञ की समस्याओं में से एक है। भास्कर।

टास्क 13.

"बंदरों का एक डरावना झुंड और लताओं में बारह ...

बिजली खाकर मजा आ गया। वे कूदने लगे, लटक गए ...

उनमें से आठ भाग एक वर्ग में कितने बंदर थे,

घास के मैदान में मस्ती करते हुए। तुम बताओ, इस झुंड में?

भास्कर का हल इंगित करता है कि वह द्विघात समीकरणों के मूलों की दो-मूल्यवानता के बारे में जानता था (चित्र 3)।

समस्या 13 के संगत समीकरण है:

( एक्स /8) 2 + 12 = एक्स

भास्कर की आड़ में लिखते हैं:

x 2 - 64x = -768

और, इस समीकरण के बाएँ पक्ष को एक वर्ग में पूरा करने के लिए, वह दोनों पक्षों को जोड़ता है 32 2 , तब प्राप्त करना:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(एक्स - 32) 2 = 256,

एक्स - 32 = ± 16,

एक्स 1 = 16, एक्स 2 = 48।

1.4 अल-खोरेज़मी . में द्विघात समीकरण

अल-खोरेज़मी का बीजगणितीय ग्रंथ रैखिक और द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण देता है। लेखक 6 प्रकार के समीकरणों को सूचीबद्ध करता है, उन्हें इस प्रकार व्यक्त करता है:

1) "वर्ग जड़ों के बराबर होते हैं", अर्थात। कुल्हाड़ी 2 + सी = बी एक्स।

2) "वर्ग संख्या के बराबर हैं", अर्थात। कुल्हाड़ी 2 = एस।

3) "मूल संख्या के बराबर हैं", अर्थात। आह = एस।

4) "वर्ग और संख्याएँ मूल के बराबर हैं", अर्थात्। कुल्हाड़ी 2 + सी = बी एक्स।

5) "वर्ग और मूल संख्या के बराबर हैं", अर्थात। आह 2+ बीएक्स = एस.

6) "मूल और संख्याएँ वर्गों के बराबर हैं", अर्थात। बीएक्स + ग \u003d कुल्हाड़ी 2।

अल-ख्वारिज्मी के लिए, जो ऋणात्मक संख्याओं के प्रयोग से बचते थे, इनमें से प्रत्येक समीकरण की शर्तें जोड़ हैं, घटाव नहीं। इस मामले में, जिन समीकरणों का सकारात्मक समाधान नहीं होता है, उन्हें स्पष्ट रूप से ध्यान में नहीं रखा जाता है। लेखक अल-जबर और अल-मुकाबाला के तरीकों का उपयोग करके इन समीकरणों को हल करने के तरीकों को निर्धारित करता है। उनके निर्णय, निश्चित रूप से, हमारे साथ पूरी तरह मेल नहीं खाते हैं। इस तथ्य का उल्लेख नहीं करने के लिए कि यह विशुद्ध रूप से अलंकारिक है, यह ध्यान दिया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, पहले प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करते समय

अल-खोरेज़मी, 17वीं शताब्दी से पहले के सभी गणितज्ञों की तरह, शून्य समाधान को ध्यान में नहीं रखते हैं, शायद इसलिए कि यह विशिष्ट व्यावहारिक समस्याओं में कोई फर्क नहीं पड़ता। आंशिक पर अल - खोरेज़मी के पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करते समय संख्यात्मक उदाहरणनिर्णय नियम, और फिर ज्यामितीय प्रमाण निर्धारित करता है।

कार्य 14."वर्ग और संख्या 21 10 जड़ों के बराबर हैं। जड़ खोजें" (समीकरण x 2 + 21 = 10x का मूल मानते हुए)।

लेखक का समाधान कुछ इस प्रकार है: जड़ों की संख्या को आधा में विभाजित करें, आपको 5 मिलता है, 5 को अपने आप से गुणा करें, उत्पाद से 21 घटाएं, 4 अवशेष। 4 की जड़ लें, आपको 2 मिलता है। 5 से 2 घटाएं, आप 3 प्राप्त करें, यह वांछित जड़ होगी। या 2 से 5 जोड़ें, जो 7 देगा, यह भी एक जड़ है।

ट्रीटीज़ अल-खोरेज़मी पहली पुस्तक है जो हमारे पास आई है, जिसमें द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण व्यवस्थित रूप से बताया गया है और उनके समाधान के सूत्र दिए गए हैं।

1.5 यूरोप में द्विघात समीकरण तेरहवें - XVII सदियों

यूरोप में अल-खोरेज़मी के मॉडल पर द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्र सबसे पहले "अबेकस की पुस्तक" में निर्धारित किए गए थे, जिसे 1202 में इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फिबोनाची द्वारा लिखा गया था। यह विशाल कार्य, जो गणित के प्रभाव को दर्शाता है, इस्लाम और दोनों देशों प्राचीन ग्रीस, प्रस्तुति की पूर्णता और स्पष्टता दोनों में भिन्न है। लेखक ने स्वतंत्र रूप से समस्या समाधान के कुछ नए बीजीय उदाहरण विकसित किए और यूरोप में ऋणात्मक संख्याओं की शुरूआत करने वाले पहले व्यक्ति थे। उनकी पुस्तक ने न केवल इटली में, बल्कि जर्मनी, फ्रांस और अन्य यूरोपीय देशों में भी बीजीय ज्ञान के प्रसार में योगदान दिया। "अबेकस की पुस्तक" के कई कार्य 16 वीं - 17 वीं शताब्दी की लगभग सभी यूरोपीय पाठ्यपुस्तकों में पारित हो गए। और आंशिक रूप से XVIII।

द्विघात समीकरणों को हल करने का सामान्य नियम एकल विहित रूप में घटाया गया:

एक्स 2+ बीएक्स = साथ,

गुणांक के संकेतों के सभी संभावित संयोजनों के लिए बी , साथयूरोप में केवल 1544 में एम. स्टीफेल द्वारा तैयार किया गया था।

द्विघात समीकरण को हल करने के सूत्र की व्युत्पत्ति सामान्य दृष्टि सेवियतनाम के पास है, लेकिन वियतनाम ने केवल सकारात्मक जड़ों को मान्यता दी है। इतालवी गणितज्ञ टार्टाग्लिया, कार्डानो, बॉम्बेली 16वीं शताब्दी में सबसे पहले थे। सकारात्मक और नकारात्मक जड़ों के अलावा, खाते में लें। केवल XVII सदी में। गिरार्ड, डेसकार्टेस, न्यूटन और अन्य वैज्ञानिकों के काम के लिए धन्यवाद, द्विघात समीकरणों को हल करने का तरीका आधुनिक रूप लेता है।

1.6 विएटा के प्रमेय के बारे में

एक द्विघात समीकरण के गुणांकों और इसकी जड़ों के बीच संबंध को व्यक्त करने वाली प्रमेय, जिसका नाम विएटा है, उनके द्वारा पहली बार 1591 में इस प्रकार तैयार किया गया था: "यदि बी + डीसे गुणा ए - ए 2 , बराबर बीडी, फिर एबराबरी परऔर बराबर डी ».

विएटा को समझने के लिए यह याद रखना चाहिए कि लेकिन, किसी भी स्वर की तरह, उसके लिए अज्ञात (हमारी .) एक्स), स्वरों पर, डी- अज्ञात के लिए गुणांक। आधुनिक बीजगणित की भाषा में, विएटा के उपरोक्त सूत्रीकरण का अर्थ है: if

(ए + बी ) एक्स - एक्स 2 = अब ,

एक्स 2 - (ए + बी )एक्स + ए बी = 0,

एक्स 1 = ए, एक्स 2 = बी .

समीकरणों के मूलों और गुणांकों के बीच संबंध को व्यक्त करना सामान्य सूत्र, प्रतीकों का उपयोग करके लिखा गया, वियतनाम ने समीकरणों को हल करने के तरीकों में एकरूपता स्थापित की। हालाँकि, विएटा का प्रतीकवाद अभी भी दूर है आधुनिक रूप. उन्होंने ऋणात्मक संख्याओं को नहीं पहचाना, और इसलिए, समीकरणों को हल करते समय, उन्होंने केवल उन मामलों पर विचार किया जहां सभी जड़ें सकारात्मक हैं।

2. द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ

द्विघात समीकरण वह आधार है जिस पर राजसी इमारतबीजगणित। द्विघात समीकरण पाते हैं विस्तृत आवेदनत्रिकोणमितीय, घातीय, लघुगणक, अपरिमेय और अनुवांशिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय। हम सभी जानते हैं कि स्कूल (ग्रेड 8) से ग्रेजुएशन तक द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है।

इस गणित कार्यक्रम के साथ आप कर सकते हैं द्विघात समीकरण हल करें.

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि समाधान प्रक्रिया को दो तरीकों से प्रदर्शित करता है:
- विवेचक का उपयोग करना
- Vieta प्रमेय (यदि संभव हो) का उपयोग करना।

इसके अलावा, उत्तर सटीक प्रदर्शित होता है, अनुमानित नहीं।
उदाहरण के लिए, समीकरण \(81x^2-16x-1=0\) के लिए, उत्तर इस रूप में प्रदर्शित होता है:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) इसके बजाय $$: \(x_1 = 0.247; \ क्वाड x_2 = -0.05 \)

यह कार्यक्रम हाई स्कूल के छात्रों के लिए उपयोगी हो सकता है सामान्य शिक्षा स्कूलकी तैयारी में नियंत्रण कार्यऔर परीक्षा, परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण करते समय, माता-पिता गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करते हैं। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर किराए पर लेना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या आप इसे जल्द से जल्द पूरा करना चाहते हैं? गृहकार्यगणित या बीजगणित? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस तरह आप अपने छोटे भाइयों या बहनों के प्रशिक्षण और/या प्रशिक्षण का संचालन स्वयं कर सकते हैं, जबकि हल किए जाने वाले कार्यों के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ जाता है।

यदि आप वर्ग बहुपद में प्रवेश करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप उनसे परिचित हों।

वर्ग बहुपद में प्रवेश करने के नियम

कोई भी लैटिन अक्षर एक चर के रूप में कार्य कर सकता है।
उदाहरण के लिए: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) आदि।

संख्याओं को पूर्णांक या भिन्न के रूप में दर्ज किया जा सकता है।
इसके अलावा, भिन्नात्मक संख्याओं को न केवल दशमलव के रूप में, बल्कि एक साधारण भिन्न के रूप में भी दर्ज किया जा सकता है।

दशमलव अंशों को दर्ज करने के नियम।
दशमलव भिन्नों में, पूर्णांक से भिन्नात्मक भाग को बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आप दर्ज कर सकते हैं दशमलवतो: 2.5x - 3.5x ^ 2

साधारण भिन्नों को दर्ज करने के नियम।
केवल एक पूर्ण संख्या भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।

भाजक ऋणात्मक नहीं हो सकता।

एक संख्यात्मक अंश में प्रवेश करते समय, अंश को भाजक से हर से अलग किया जाता है: /
पूर्णांक भाग को एम्परसेंड द्वारा भिन्न से अलग किया जाता है: &
इनपुट: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
परिणाम: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

व्यंजक दर्ज करते समय आप कोष्ठक का उपयोग कर सकते हैं. इस मामले में, द्विघात समीकरण को हल करते समय, प्रस्तुत अभिव्यक्ति को पहले सरल बनाया जाता है।
उदाहरण के लिए: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

तय करना

यह पाया गया कि इस कार्य को हल करने के लिए आवश्यक कुछ लिपियों को लोड नहीं किया गया था, और हो सकता है कि प्रोग्राम काम न करे।
आपके पास एडब्लॉक सक्षम हो सकता है।
इस मामले में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

आपके ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट अक्षम है।
समाधान के प्रकट होने के लिए जावास्क्रिप्ट सक्षम होना चाहिए।
अपने ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट को कैसे सक्षम करें, इस पर निर्देश यहां दिए गए हैं।

इसलिये बहुत सारे लोग हैं जो समस्या का समाधान करना चाहते हैं, आपका अनुरोध कतार में है।
कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड...

अगर तुम समाधान में त्रुटि देखी गई, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
मत भूलो इंगित करें कि कौन सा कार्यआप क्या तय करें खेतों में प्रवेश करें.

हमारे खेल, पहेलियाँ, अनुकरणकर्ता:

थोड़ा सिद्धांत।

द्विघात समीकरण और इसकी जड़ें। अपूर्ण द्विघात समीकरण

प्रत्येक समीकरण
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
रूप है
\(ax^2+bx+c=0, \)
जहाँ x एक चर है, a, b और c संख्याएँ हैं।
पहले समीकरण में a = -1, b = 6 और c = 1.4, दूसरे में a = 8, b = -7 और c = 0, तीसरे में a = 1, b = 0 और c = 4/9। ऐसे समीकरण कहलाते हैं द्विघातीय समीकरण.

परिभाषा।
द्विघात समीकरण ax 2 +bx+c=0 रूप का एक समीकरण कहलाता है, जहाँ x एक चर है, a, b और c कुछ संख्याएँ हैं, और \(a \neq 0 \)।

संख्याएँ a, b और c द्विघात समीकरण के गुणांक हैं। संख्या a को पहला गुणांक कहा जाता है, संख्या b दूसरा गुणांक है और संख्या c अवरोधन है।

फार्म के प्रत्येक समीकरण में ax 2 +bx+c=0, जहां \(a \neq 0 \), चर x की सबसे बड़ी घात एक वर्ग है। इसलिए नाम: द्विघात समीकरण।

ध्यान दें कि द्विघात समीकरण को दूसरी डिग्री का समीकरण भी कहा जाता है, क्योंकि इसका बायां भाग दूसरी डिग्री का बहुपद है।

एक द्विघात समीकरण जिसमें x 2 पर गुणांक 1 होता है, कहलाता है घटा हुआ द्विघात समीकरण. उदाहरण के लिए, दिए गए द्विघात समीकरण समीकरण हैं
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

यदि द्विघात समीकरण में ax 2 +bx+c=0 गुणांकों में से कम से कम एक b या c शून्य के बराबर है, तो ऐसे समीकरण को कहा जाता है अधूरा द्विघात समीकरण. अतः, समीकरण -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 अपूर्ण द्विघात समीकरण हैं। उनमें से पहले में b=0, दूसरे में c=0, तीसरे में b=0 और c=0.

अपूर्ण द्विघात समीकरण तीन प्रकार के होते हैं:
1) कुल्हाड़ी 2 +c=0, जहां \(c \neq 0 \);
2) कुल्हाड़ी 2 +bx=0, जहां \(b \neq 0 \);
3) कुल्हाड़ी = 0।

इनमें से प्रत्येक प्रकार के समीकरणों के हल पर विचार करें।

\(c \neq 0 \) के रूप ax 2 +c=0 के एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, इसके मुक्त पद को दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है और समीकरण के दोनों भागों को a से विभाजित किया जाता है:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

चूंकि \(c \neq 0 \), तब \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

यदि \(-\frac(c)(a)>0 \), तो समीकरण के दो मूल हैं।

यदि \(-\frac(c)(a) फॉर्म के एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \) के लिए इसके बाईं ओर का गुणनखंड करें और समीकरण प्राप्त करें
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \ left\( \ start (सरणी)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

अत: \(b \neq 0 \) के लिए ax 2 +bx=0 के रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरण के हमेशा दो मूल होते हैं।

कुल्हाड़ी 2 \u003d 0 के रूप का अधूरा द्विघात समीकरण समीकरण x 2 \u003d 0 के बराबर है और इसलिए इसका एक ही मूल 0 है।

द्विघात समीकरण के मूल का सूत्र

आइए अब विचार करें कि द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है जिसमें अज्ञात के गुणांक और मुक्त पद दोनों गैर-शून्य होते हैं।

हम द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में हल करते हैं और परिणामस्वरूप हमें मूलों का सूत्र प्राप्त होता है। फिर इस सूत्र को किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए लागू किया जा सकता है।

द्विघात समीकरण को हल करें ax 2 +bx+c=0

इसके दोनों भागों को a से विभाजित करने पर, हम समतुल्य घटा हुआ द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

हम द्विपद के वर्ग को हाइलाइट करके इस समीकरण को बदलते हैं:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

मूल व्यंजक कहलाता है द्विघात समीकरण का विभेदक ax 2 +bx+c=0 (लैटिन में "विभेदक" - विभेदक)। इसे अक्षर D से निरूपित किया जाता है, अर्थात।
\(डी = बी^2-4ac\)

अब, विवेचक के संकेतन का उपयोग करते हुए, हम द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र को फिर से लिखते हैं:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), जहां \(D= b^2-4ac \)

यह स्पष्ट है कि:
1) यदि D>0, तो द्विघात समीकरण के दो मूल हैं।
2) यदि D=0, तो द्विघात समीकरण का एक मूल \(x=-\frac(b)(2a)\) है।
3) यदि D इस प्रकार, विवेचक के मान के आधार पर, द्विघात समीकरण के दो मूल हो सकते हैं (D > 0 के लिए), एक मूल (D = 0 के लिए) या कोई मूल नहीं (D के लिए इस सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करते समय) , निम्नलिखित तरीके से करना उचित है:
1) विवेचक की गणना करें और इसकी तुलना शून्य से करें;
2) यदि विवेचक धनात्मक है या शून्य के बराबर है, तो मूल सूत्र का प्रयोग करें, यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो लिख लें कि कोई मूल नहीं है।

विएटा का प्रमेय

दिए गए द्विघात समीकरण ax 2 -7x+10=0 के मूल 2 और 5 हैं। मूलों का योग 7 है और गुणनफल 10 है। हम देखते हैं कि मूलों का योग दूसरे गुणांक के बराबर है, जिसे निम्न के साथ लिया जाता है। विपरीत चिन्ह है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है। कोई भी घटा हुआ द्विघात समीकरण जिसमें जड़ें होती हैं, में यह गुण होता है।

दिए गए द्विघात समीकरण के मूलों का योग विपरीत चिह्न से लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर होता है और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है।

वे। विएटा के प्रमेय में कहा गया है कि कम द्विघात समीकरण x 2 +px+q=0 की जड़ें x 1 और x 2 में संपत्ति है:
\(\बाएं\( \शुरू(सरणी)(एल) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(सरणी) \दाएं। \)

वीडियो पाठ 2: द्विघात समीकरणों को हल करना

भाषण: द्विघातीय समीकरण

समीकरण

समीकरण- यह एक प्रकार की समानता है, जिसके भावों में चर होता है।

प्रश्न हल करें- का अर्थ है एक चर के बजाय ऐसी संख्या खोजना जो इसे सही समानता की ओर ले जाए।

एक समीकरण का एक हल हो सकता है, अनेक, या बिल्कुल भी नहीं।

किसी भी समीकरण को हल करने के लिए, इसे यथासंभव सरल बनाना चाहिए:

रैखिक: ए * एक्स = बी;

वर्ग: ए * एक्स 2 + बी * एक्स + सी = 0।

यानी किसी भी समीकरण को हल करने से पहले उसे मानक रूप में बदलना होगा।

किसी भी समीकरण को दो तरह से हल किया जा सकता है: विश्लेषणात्मक और ग्राफिकल।

ग्राफ़ पर, समीकरण का हल वह बिंदु माना जाता है, जिस पर ग्राफ़ x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।

द्विघातीय समीकरण

एक समीकरण को द्विघात कहा जा सकता है, यदि सरलीकृत होने पर, यह रूप लेता है:

ए * एक्स 2 + बी * एक्स + सी = 0।

जिसमें ए, बी, सीसमीकरण के गुणांक हैं जो शून्य से भिन्न होते हैं। लेकिन "एक्स"- समीकरण की जड़। ऐसा माना जाता है कि द्विघात समीकरण के दो मूल होते हैं या इसका कोई हल नहीं भी हो सकता है। परिणामी जड़ें समान हो सकती हैं।

"एक"- गुणांक जो वर्ग में मूल के सामने खड़ा होता है।

"बी"- पहली डिग्री में अज्ञात के सामने खड़ा होता है।

"साथ"- समीकरण की मुक्त अवधि।

यदि, उदाहरण के लिए, हमारे पास फॉर्म का समीकरण है:

2x 2 -5x+3=0

इसमें, "2" समीकरण के उच्चतम पद पर गुणांक है, "-5" दूसरा गुणांक है, और "3" मुक्त पद है।

द्विघात समीकरण को हल करना

द्विघात समीकरण को हल करने के कई तरीके हैं। हालांकि, स्कूल गणित पाठ्यक्रम में, विएटा प्रमेय का उपयोग करके और साथ ही विवेचक का उपयोग करके समाधान का अध्ययन किया जाता है।

विभेदक समाधान:

इस पद्धति का उपयोग करके हल करते समय, सूत्र का उपयोग करके विवेचक की गणना करना आवश्यक है:

यदि गणना के दौरान आप पाते हैं कि विवेचक शून्य से कम, जिसका अर्थ है कि इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

यदि विवेचक शून्य है, तो समीकरण में दो हैं समान समाधान. इस मामले में, बहुपद को संक्षिप्त गुणन सूत्र के अनुसार योग या अंतर के वर्ग में संक्षिप्त किया जा सकता है। फिर इसे इस तरह हल करें रेखीय समीकरण. या सूत्र का प्रयोग करें:

यदि विवेचक शून्य से अधिक है, तो निम्न विधि का उपयोग किया जाना चाहिए:

विएटा का प्रमेय

यदि समीकरण को घटाया जाता है, अर्थात उच्चतम पद पर गुणांक एक के बराबर है, तो आप उपयोग कर सकते हैं विएटा का प्रमेय.

तो मान लीजिए कि समीकरण है:

समीकरण की जड़ें निम्नानुसार पाई जाती हैं:

अधूरा द्विघात समीकरण

अपूर्ण द्विघात समीकरण प्राप्त करने के लिए कई विकल्प हैं, जिसका रूप गुणांक की उपस्थिति पर निर्भर करता है।

1. यदि दूसरे और तीसरे गुणांक शून्य के बराबर हैं (बी = 0, सी = 0), तो द्विघात समीकरण इस तरह दिखेगा:

इस समीकरण का एक अनूठा हल होगा। समानता तभी सही होगी जब समीकरण का हल शून्य हो।