त्रिकोणमिति गणित की एक शाखा है जो त्रिकोणमितीय कार्यों और ज्यामिति में उनके उपयोग का अध्ययन करती है। त्रिकोणमिति का विकास उस समय शुरू हुआ था प्राचीन ग्रीस. मध्य युग के दौरान, मध्य पूर्व और भारत के वैज्ञानिकों ने इस विज्ञान के विकास में महत्वपूर्ण योगदान दिया।
यह लेख त्रिकोणमिति की मूल अवधारणाओं और परिभाषाओं के लिए समर्पित है। यह मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं पर चर्चा करता है: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट। ज्यामिति के संदर्भ में उनका अर्थ समझाया और सचित्र किया गया है।
यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1
प्रारंभ में, त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाएं, जिसका तर्क एक कोण है, एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के माध्यम से व्यक्त किया गया था।
त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाएं
एक कोण की ज्या (sin α) इस कोण के विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है।
कोण की कोज्या (cos α) कर्ण से सटे पैर का अनुपात है।
कोण की स्पर्शरेखा (t g α) आसन्न पैर के विपरीत पैर का अनुपात है।
कोण का कोटैंजेंट (c t g α) आसन्न पैर का विपरीत भाग का अनुपात है।
ये परिभाषाएँ समकोण त्रिभुज के न्यून कोण के लिए दी गई हैं!
आइए एक दृष्टांत दें।
समकोण C वाले त्रिभुज ABC में, कोण A की ज्या भुजा BC और कर्ण AB के अनुपात के बराबर है।
साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट की परिभाषाएं त्रिभुज के किनारों की ज्ञात लंबाई से इन कार्यों के मूल्यों की गणना करना संभव बनाती हैं।
याद रखना महत्वपूर्ण है!
साइन और कोसाइन मानों की सीमा: -1 से 1 तक। दूसरे शब्दों में, साइन और कोसाइन -1 से 1 तक मान लेते हैं। स्पर्शरेखा और कोसाइन मानों की सीमा संपूर्ण संख्या रेखा है, अर्थात ये फ़ंक्शन कोई भी मूल्य ले सकते हैं।
ऊपर दी गई परिभाषाएँ न्यून कोणों को संदर्भित करती हैं। त्रिकोणमिति में, रोटेशन के कोण की अवधारणा पेश की जाती है, जिसका मूल्य, एक तीव्र कोण के विपरीत, 0 से 90 डिग्री तक फ्रेम द्वारा सीमित नहीं है। डिग्री या रेडियन में रोटेशन का कोण किसी भी वास्तविक संख्या द्वारा व्यक्त किया जाता है - से + .
इस संदर्भ में, कोई मनमाने परिमाण के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को परिभाषित कर सकता है। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति पर केंद्रित एक इकाई सर्कल की कल्पना करें।
निर्देशांक (1 , 0) के साथ प्रारंभिक बिंदु A इकाई वृत्त के केंद्र के चारों ओर कुछ कोण α से घूमता है और बिंदु A 1 पर जाता है। परिभाषा बिंदु ए 1 (एक्स, वाई) के निर्देशांक के माध्यम से दी गई है।
घूर्णन कोण की ज्या (पाप)
घूर्णन कोण α की ज्या बिंदु A 1 (x, y) की कोटि है। sinα = y
रोटेशन के कोण के कोसाइन (cos)
रोटेशन के कोण का कोज्या α बिंदु A 1 (x, y) का भुज है। cos α = x
घूर्णन कोण की स्पर्शरेखा (tg)
घूर्णन कोण α की स्पर्शरेखा बिंदु A 1 (x, y) की कोटि का इसके भुज से अनुपात है। टी जी α = वाई एक्स
रोटेशन कोण का कोटैंजेंट (सीटीजी)
घूर्णन कोण α का कोटैंजेंट बिंदु A 1 (x, y) के भुज और उसकी कोटि का अनुपात है। सी टी जी α = एक्स वाई
साइन और कोसाइन रोटेशन के किसी भी कोण के लिए परिभाषित हैं। यह तर्कसंगत है, क्योंकि घूर्णन के बाद बिंदु का भुज और कोटि किसी भी कोण पर निर्धारित किया जा सकता है। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के साथ स्थिति अलग है। स्पर्शरेखा तब परिभाषित नहीं होती जब घूर्णन के बाद का बिंदु शून्य भुज (0 , 1) और (0 , - 1) वाले बिंदु पर जाता है। ऐसे मामलों में, स्पर्शरेखा t g α = y x के लिए व्यंजक का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से भाग होता है। स्थिति स्पर्शरेखा के साथ समान है। अंतर यह है कि कोटैंजेंट को उन मामलों में परिभाषित नहीं किया जाता है जहां बिंदु की कोटि गायब हो जाती है।
याद रखना महत्वपूर्ण है!
साइन और कोसाइन किसी भी कोण α के लिए परिभाषित हैं।
α = 90° + 180° k, k Z (α = π 2 + k, k ∈ Z) को छोड़कर सभी कोणों के लिए स्पर्शरेखा परिभाषित की जाती है।
कोटैंजेंट α = 180° k, k Z (α = k, k Z) को छोड़कर सभी कोणों के लिए परिभाषित किया गया है।
निर्णय लेते समय व्यावहारिक उदाहरण"घूर्णन कोण की ज्या α" न कहें। शब्द "घूर्णन कोण" को केवल छोड़ दिया जाता है, जिसका अर्थ है कि संदर्भ से यह पहले से ही स्पष्ट है कि दांव पर क्या है।
किसी संख्या की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषा के बारे में क्या, न कि रोटेशन के कोण के बारे में क्या?
किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट
किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट टीएक संख्या कहलाती है, जो क्रमशः ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट के बराबर होती है टीरेडियन
उदाहरण के लिए, 10 . की ज्या साइन के बराबर 10 रेड का घूर्णन कोण।
किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषा के लिए एक और दृष्टिकोण है। आइए इसे और अधिक विस्तार से विचार करें।
कोई वास्तविक संख्या टीयूनिट सर्कल पर एक बिंदु आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल में केंद्र के साथ पत्राचार में रखा जाता है। इस बिंदु के निर्देशांक के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट परिभाषित किए गए हैं।
वृत्त पर प्रारंभिक बिंदु निर्देशांक (1 , 0) के साथ बिंदु A है।
सकारात्मक संख्या टी
ऋणात्मक संख्या टीयदि यह वृत्त के चारों ओर वामावर्त गति करता है और पथ t से गुजरता है तो प्रारंभिक बिंदु उस बिंदु से मेल खाता है जिस पर प्रारंभिक बिंदु गति करेगा।
अब जब वृत्त पर संख्या और बिंदु के बीच संबंध स्थापित हो गया है, तो हम साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषा पर आगे बढ़ते हैं।
संख्या t . की ज्या (पाप)
एक संख्या की ज्या टी- संख्या के अनुरूप इकाई वृत्त के बिंदु की कोटि टी। पाप टी = वाई
t . की कोज्या (cos)
एक संख्या की कोज्या टी- संख्या के अनुरूप इकाई वृत्त के बिंदु का भुज टी। कॉस टी = एक्स
t . की स्पर्शरेखा (tg)
एक संख्या की स्पर्शरेखा टी- संख्या के अनुरूप इकाई वृत्त के बिंदु के भुज के निर्देशांक का अनुपात टी। टी जी टी = वाई एक्स = पाप टी क्योंकि टी
बाद की परिभाषाएँ संगत हैं और इस खंड की शुरुआत में दी गई परिभाषा का खंडन नहीं करती हैं। किसी संख्या के संगत वृत्त पर बिंदु टी, उस बिंदु के साथ मेल खाता है जिस पर कोण से मुड़ने के बाद प्रारंभिक बिंदु गुजरता है टीरेडियन
कोण α का प्रत्येक मान इस कोण के साइन और कोसाइन के एक निश्चित मान से मेल खाता है। जैसे α = 90 ° + 180 ° · k के अलावा अन्य सभी कोण α, k Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) स्पर्शरेखा के एक निश्चित मान से मेल खाते हैं। कोटैंजेंट, जैसा कि ऊपर बताया गया है, α = 180 ° k, k Z (α = π k, k ∈ Z) को छोड़कर, सभी α के लिए परिभाषित किया गया है।
हम कह सकते हैं कि sin α , cos α , t g α , c t g α कोण अल्फा के कार्य हैं, या कोणीय तर्क के कार्य हैं।
इसी तरह, एक संख्यात्मक तर्क के कार्यों के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की बात कर सकते हैं। हर वास्तविक संख्या टीकिसी संख्या की ज्या या कोज्या के विशिष्ट मान से मेल खाती है टी. 2 + · k , k Z के अलावा अन्य सभी संख्याएँ स्पर्शरेखा के मान से मेल खाती हैं। कोटैंजेंट को π · k , k Z को छोड़कर सभी संख्याओं के लिए समान रूप से परिभाषित किया गया है।
त्रिकोणमिति के मूल कार्य
साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट मूल त्रिकोणमितीय कार्य हैं।
यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होता है कि हम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन (कोणीय तर्क या संख्यात्मक तर्क) के किस तर्क के साथ काम कर रहे हैं।
आइए परिभाषाओं और कोण अल्फा की शुरुआत में डेटा पर लौटें, जो 0 से 90 डिग्री की सीमा में है। साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की त्रिकोणमितीय परिभाषाएं एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात द्वारा दी गई ज्यामितीय परिभाषाओं से पूर्णतः सहमत हैं। आइए इसे दिखाते हैं।
एक आयताकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली पर केन्द्रित एक इकाई वृत्त लें। आइए प्रारंभिक बिंदु A (1, 0) को 90 डिग्री तक के कोण से घुमाएं और परिणामी बिंदु A 1 (x, y) से x-अक्ष पर लंबवत खींचें। परिणामी समकोण त्रिभुज में कोण A 1 O H घूर्णन कोण α के बराबर होता है, पैर O H की लंबाई बिंदु A 1 (x, y) के भुज के बराबर होती है। कोने के विपरीत पैर की लंबाई बिंदु A 1 (x, y) की कोटि के बराबर है, और कर्ण की लंबाई एक के बराबर है, क्योंकि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है।
ज्यामिति से परिभाषा के अनुसार, कोण α की ज्या विपरीत पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर होती है।
पाप α \u003d ए 1 एच ओ ए 1 \u003d y 1 \u003d y
इसका मतलब यह है कि पहलू अनुपात के माध्यम से एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की ज्या की परिभाषा α के रोटेशन के कोण की साइन की परिभाषा के बराबर है, जिसमें अल्फा 0 से 90 डिग्री की सीमा में है।
इसी तरह, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए परिभाषाओं का पत्राचार दिखाया जा सकता है।
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साइन (), कोसाइन (), स्पर्शरेखा (), कोटैंजेंट () की अवधारणाएं कोण की अवधारणा के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। इन्हें अच्छी तरह से समझने के लिए, पहली नज़र में, जटिल अवधारणाएँ (जो कई स्कूली बच्चों में डरावनी स्थिति का कारण बनती हैं), और यह सुनिश्चित करें कि "शैतान उतना डरावना नहीं है जितना कि उसे चित्रित किया गया है", आइए शुरुआत से ही शुरू करें और समझें कोण की अवधारणा।
आइए तस्वीर को देखें। वेक्टर एक निश्चित राशि से बिंदु के सापेक्ष "मुड़ गया"। तो प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष इस घूर्णन का माप होगा इंजेक्शन.
कोण की अवधारणा के बारे में आपको और क्या जानने की आवश्यकता है? खैर, कोण की इकाइयाँ, बिल्कुल!
कोण, ज्यामिति और त्रिकोणमिति दोनों में, डिग्री और रेडियन में मापा जा सकता है।
वृत्त के भाग के बराबर वृत्ताकार चाप पर आधारित वृत्त का केंद्रीय कोण (एक डिग्री) पर कोण होता है। इस प्रकार, पूरे वृत्त में वृत्ताकार चापों के "टुकड़े" होते हैं, या वृत्त द्वारा वर्णित कोण बराबर होता है।
यानी ऊपर दिया गया चित्र एक ऐसे कोण को दिखाता है जो बराबर है, यानी यह कोण परिधि के आकार के एक वृत्ताकार चाप पर आधारित है।
रेडियन में एक कोण एक वृत्त में एक केंद्रीय कोण होता है, जो एक वृत्ताकार चाप पर आधारित होता है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। अच्छा, समझे? अगर नहीं तो आइए देखते हैं तस्वीर।
तो, आंकड़ा एक रेडियन के बराबर कोण दिखाता है, यानी यह कोण एक गोलाकार चाप पर आधारित होता है, जिसकी लंबाई सर्कल के त्रिज्या के बराबर होती है (लंबाई लंबाई या त्रिज्या के बराबर होती है) लंबाई के बराबरआर्क्स)। इस प्रकार, चाप की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
रेडियन में केंद्रीय कोण कहां है।
अच्छा, यह जानकर, क्या आप उत्तर दे सकते हैं कि वृत्त द्वारा वर्णित कोणों में कितने रेडियन हैं? हां, इसके लिए आपको वृत्त की परिधि का सूत्र याद रखना होगा। ये रही वो:
खैर, अब इन दो सूत्रों को सहसंबंधित करते हैं और प्राप्त करते हैं कि वृत्त द्वारा वर्णित कोण बराबर है। अर्थात्, मान को डिग्री और रेडियन में सहसंबंधित करने पर, हमें वह मिलता है। क्रमश, । जैसा कि आप देख सकते हैं, "डिग्री" के विपरीत, "रेडियन" शब्द छोड़ा गया है, क्योंकि माप की इकाई आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होती है।
कितने रेडियन हैं? सही बात है!
समझ लिया? फिर आगे तेज करें:
कोई कठिनाई? फिर देखो जवाब:
तो, कोण की अवधारणा के साथ पता चला। लेकिन एक कोण की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट क्या है? आइए इसका पता लगाते हैं। इसके लिए एक समकोण त्रिभुज हमारी मदद करेगा।
एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ क्या कहलाती हैं? यह सही है, कर्ण और पैर: कर्ण वह पक्ष है जो विपरीत है समकोण(हमारे उदाहरण में, यह पक्ष है); पैर दो शेष भुजाएँ हैं और (वे जो समकोण से सटे हुए हैं), इसके अलावा, यदि हम पैरों को कोण के संबंध में मानते हैं, तो पैर आसन्न पैर है, और पैर विपरीत है। तो, अब इस प्रश्न का उत्तर देते हैं: किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट क्या हैं?
कोण की ज्याकर्ण के विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।
हमारे त्रिकोण में।
कोण की कोज्या- यह कर्ण से सटे (करीबी) पैर का अनुपात है।
हमारे त्रिकोण में।
कोण स्पर्शरेखा- यह विपरीत (दूर) पैर से आसन्न (करीब) का अनुपात है।
हमारे त्रिकोण में।
एक कोण का कोटैंजेंट- यह आसन्न (करीबी) पैर से विपरीत (दूर) का अनुपात है।
हमारे त्रिकोण में।
ये परिभाषाएँ आवश्यक हैं याद रखना! यह याद रखना आसान बनाने के लिए कि किस पैर को किससे विभाजित करना है, आपको यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि स्पर्शरेखाऔर कोटैंजेंटकेवल पैर बैठते हैं, और कर्ण केवल अंदर दिखाई देता है साइनसऔर कोज्या. और फिर आप संघों की एक श्रृंखला के साथ आ सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह एक:
कोसाइन → स्पर्श करें → स्पर्श करें → आसन्न;
Cotangent→स्पर्श करें→स्पर्श करें→आसन्न।
सबसे पहले, यह याद रखना आवश्यक है कि एक त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट इन पक्षों की लंबाई (एक कोण पर) पर निर्भर नहीं करते हैं। भरोसा मत करो? फिर तस्वीर को देखकर सुनिश्चित करें:
उदाहरण के लिए, एक कोण की कोज्या पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, एक त्रिभुज से: , लेकिन हम एक त्रिभुज से किसी कोण की कोज्या की गणना कर सकते हैं: . आप देखिए, भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है, लेकिन एक कोण की कोज्या का मान समान होता है। इस प्रकार, साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटेंजेंट के मान पूरी तरह से कोण के परिमाण पर निर्भर करते हैं।
यदि आप परिभाषाओं को समझते हैं, तो आगे बढ़ें और उन्हें ठीक करें!
नीचे दी गई आकृति में दिखाए गए त्रिभुज के लिए, हम पाते हैं।
अच्छा, क्या आपको मिल गया? फिर इसे स्वयं आज़माएं: कोने के लिए समान गणना करें।
डिग्री और रेडियन की अवधारणाओं को समझते हुए, हमने बराबर त्रिज्या वाले एक वृत्त पर विचार किया। ऐसे वृत्त को कहते हैं एक. यह त्रिकोणमिति के अध्ययन में बहुत उपयोगी है। इसलिए, हम इस पर थोड़ा और विस्तार से ध्यान केंद्रित करते हैं।
जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सर्कल कार्तीय समन्वय प्रणाली में बनाया गया है। वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर होती है, जबकि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर स्थित होता है, त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ तय होती है (हमारे उदाहरण में, यह त्रिज्या है)।
वृत्त का प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है: अक्ष के साथ समन्वय और अक्ष के साथ समन्वय। ये निर्देशांक संख्याएँ क्या हैं? और सामान्य तौर पर, उन्हें इस विषय से क्या लेना-देना है? ऐसा करने के लिए, समकोण त्रिभुज के बारे में याद रखें। ऊपर की आकृति में, आप दो पूर्ण समकोण त्रिभुज देख सकते हैं। एक त्रिभुज पर विचार करें। यह आयताकार है क्योंकि यह अक्ष के लंबवत है।
त्रिभुज से किसके बराबर होता है? सही बात है। इसके अलावा, हम जानते हैं कि इकाई वृत्त की त्रिज्या है, और इसलिए, . इस मान को हमारे कोसाइन सूत्र में बदलें। यहाँ क्या होता है:
और त्रिभुज से किसके बराबर होता है? ठीक है, बिल्कुल, ! इस सूत्र में त्रिज्या का मान रखें और प्राप्त करें:
तो, क्या आप मुझे बता सकते हैं कि वृत्त से संबंधित बिंदु के निर्देशांक क्या हैं? अच्छा, कोई रास्ता नहीं? और अगर आप इसे महसूस करते हैं और सिर्फ संख्याएं हैं? यह किस समन्वय से मेल खाता है? खैर, निश्चित रूप से, समन्वय! यह किस समन्वय से मेल खाता है? यह सही है, समन्वय! तो बिंदु।
और फिर क्या बराबर हैं और? यह सही है, आइए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की उपयुक्त परिभाषाओं का उपयोग करें और उसे प्राप्त करें, a.
क्या होगा अगर कोण बड़ा है? यहाँ, उदाहरण के लिए, जैसा कि इस चित्र में है:
इस उदाहरण में क्या बदल गया है? आइए इसका पता लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से एक समकोण त्रिभुज की ओर मुड़ते हैं। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें: एक कोण (एक कोण के निकट के रूप में)। किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्श रेखा और कोटंगेंट का मान क्या होता है? यह सही है, हम त्रिकोणमितीय फलनों की संगत परिभाषाओं का पालन करते हैं:
ठीक है, जैसा कि आप देख सकते हैं, कोण की ज्या का मान अभी भी निर्देशांक से मेल खाता है; कोण की कोज्या का मान - निर्देशांक; और संगत अनुपात के लिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान। इस प्रकार, ये संबंध त्रिज्या वेक्टर के किसी भी घुमाव पर लागू होते हैं।
यह पहले ही उल्लेख किया जा चुका है कि त्रिज्या सदिश की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की धनात्मक दिशा के अनुदिश होती है। अब तक हमने इस वेक्टर को वामावर्त घुमाया है, लेकिन अगर हम इसे दक्षिणावर्त घुमाते हैं तो क्या होगा? कुछ भी असाधारण नहीं, आपको एक निश्चित आकार का कोण भी मिलेगा, लेकिन केवल यह नकारात्मक होगा। इस प्रकार, त्रिज्या वेक्टर को वामावर्त घुमाते समय, हम प्राप्त करते हैं सकारात्मक कोण, और दक्षिणावर्त घुमाते समय - नकारात्मक।
तो, हम जानते हैं कि वृत्त के चारों ओर त्रिज्या सदिश का एक संपूर्ण परिक्रमण या है। क्या त्रिज्या सदिश को बारी-बारी से घुमाना संभव है? ठीक है, बेशक आप कर सकते हैं! इसलिए, पहले मामले में, त्रिज्या वेक्टर एक पूर्ण क्रांति करेगा और स्थिति या पर रुक जाएगा।
दूसरे मामले में, यानी त्रिज्या वेक्टर तीन पूर्ण चक्कर लगाएगा और स्थिति या पर रुक जाएगा।
इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरणों से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कोण जो भिन्न होते हैं या (जहां कोई पूर्णांक है) त्रिज्या वेक्टर की समान स्थिति के अनुरूप होते हैं।
नीचे दिया गया चित्र एक कोण दिखाता है। एक ही छवि कोने से मेल खाती है, और इसी तरह। इस सूची को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। इन सभी कोणों को सामान्य सूत्र से लिखा जा सकता है या (जहां कोई पूर्णांक है)
अब, बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानने और यूनिट सर्कल का उपयोग करके, यह उत्तर देने का प्रयास करें कि मान किसके बराबर हैं:
आपकी सहायता के लिए यहां एक इकाई मंडल है:
कोई कठिनाई? तो चलिए इसका पता लगाते हैं। तो हम जानते हैं कि:
यहां से, हम कोण के कुछ मापों के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। ठीक है, चलो क्रम में शुरू करते हैं: कोना निर्देशांक के साथ एक बिंदु से मेल खाता है, इसलिए:
अस्तित्व में नहीं है;
इसके अलावा, उसी तर्क का पालन करते हुए, हम पाते हैं कि कोने क्रमशः निर्देशांक वाले बिंदुओं के अनुरूप हैं। यह जानकर, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को संबंधित बिंदुओं पर निर्धारित करना आसान है। पहले इसे स्वयं आजमाएं, फिर उत्तरों की जांच करें।
उत्तर:
अस्तित्व में नहीं है
अस्तित्व में नहीं है
अस्तित्व में नहीं है
अस्तित्व में नहीं है
इस प्रकार, हम निम्नलिखित तालिका बना सकते हैं:
इन सभी मूल्यों को याद रखने की आवश्यकता नहीं है। यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के निर्देशांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों के बीच पत्राचार को याद रखना पर्याप्त है:
लेकिन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान और, नीचे दी गई तालिका में दिए गए हैं, याद किया जाना चाहिए:
डरो मत, अब हम एक उदाहरण दिखाएंगे बल्कि संबंधित मूल्यों की सरल याद:
इस पद्धति का उपयोग करने के लिए, कोण के सभी तीन मापों () के लिए साइन के मूल्यों के साथ-साथ कोण के स्पर्शरेखा के मूल्य को याद रखना महत्वपूर्ण है। इन मूल्यों को जानने के बाद, पूरी तालिका को पुनर्स्थापित करना काफी आसान है - कोसाइन मानों को तीरों के अनुसार स्थानांतरित किया जाता है, अर्थात्:
यह जानकर, आप के लिए मूल्यों को पुनर्स्थापित कर सकते हैं। अंश " " का मिलान होगा और हर " " का मिलान होगा। चित्र में दिखाए गए तीरों के अनुसार कोटैंजेंट मूल्यों को स्थानांतरित किया जाता है। यदि आप इसे समझते हैं और तीर के साथ आरेख को याद करते हैं, तो यह तालिका से संपूर्ण मान को याद रखने के लिए पर्याप्त होगा।
क्या एक वृत्त पर एक बिंदु (इसके निर्देशांक) खोजना संभव है, वृत्त के केंद्र के निर्देशांक, उसकी त्रिज्या और घूमने के कोण को जानना?
ठीक है, बेशक आप कर सकते हैं! आइए बाहर लाते हैं सामान्य सूत्रएक बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए.
यहाँ, उदाहरण के लिए, हमारे पास ऐसा एक वृत्त है:
हमें दिया गया है कि बिंदु वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है। बिंदु को डिग्री से घुमाकर प्राप्त किए गए बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।
जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, बिंदु का समन्वय खंड की लंबाई से मेल खाता है। खंड की लंबाई वृत्त के केंद्र के निर्देशांक से मेल खाती है, अर्थात यह बराबर है। एक खंड की लंबाई कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके व्यक्त की जा सकती है:
फिर हमारे पास उस बिंदु के लिए निर्देशांक है।
उसी तर्क से, हम बिंदु के लिए y निर्देशांक का मान ज्ञात करते हैं। इस प्रकार से,
तो में सामान्य रूप से देखेंबिंदु निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:
मंडल केंद्र निर्देशांक,
वृत्त त्रिज्या,
त्रिज्या वेक्टर के रोटेशन का कोण।
जैसा कि आप देख सकते हैं, हम जिस यूनिट सर्कल पर विचार कर रहे हैं, उसके लिए ये सूत्र काफी कम हो गए हैं, क्योंकि केंद्र के निर्देशांक शून्य हैं, और त्रिज्या एक के बराबर है:
1. एक बिंदु को चालू करने से प्राप्त इकाई वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
2. एक इकाई वृत्त पर एक बिंदु को घुमाकर प्राप्त किए गए बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
3. एक इकाई वृत्त पर एक बिंदु को चालू करने पर प्राप्त एक बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
4. बिंदु - वृत्त का केंद्र। वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है। प्रारंभिक त्रिज्या वेक्टर को घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक को खोजना आवश्यक है।
5. बिंदु - वृत्त का केंद्र। वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है। प्रारंभिक त्रिज्या वेक्टर को घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक को खोजना आवश्यक है।
इन पांच उदाहरणों को हल करें (या समाधान को अच्छी तरह से समझें) और आप सीखेंगे कि उन्हें कैसे खोजना है!
1.
यह देखा जा सकता है। और हम जानते हैं कि शुरुआती बिंदु के पूर्ण मोड़ से क्या मेल खाता है। इस प्रकार, वांछित बिंदु उसी स्थिति में होगा जब मुड़ते समय। यह जानने के बाद, हम बिंदु के वांछित निर्देशांक पाते हैं:
2. सर्कल एक बिंदु पर एक केंद्र के साथ इकाई है, जिसका अर्थ है कि हम सरलीकृत सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:
यह देखा जा सकता है। हम जानते हैं कि शुरुआती बिंदु के दो पूर्ण घुमावों से क्या मेल खाता है। इस प्रकार, वांछित बिंदु उसी स्थिति में होगा जब मुड़ते समय। यह जानने के बाद, हम बिंदु के वांछित निर्देशांक पाते हैं:
साइन और कोसाइन सारणीबद्ध मान हैं। हम उनके मूल्यों को याद करते हैं और प्राप्त करते हैं:
इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।
3. सर्कल एक बिंदु पर एक केंद्र के साथ इकाई है, जिसका अर्थ है कि हम सरलीकृत सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:
यह देखा जा सकता है। आइए चित्र में माना गया उदाहरण चित्रित करें:
त्रिज्या और के बराबर अक्ष के साथ कोण बनाती है। यह जानते हुए कि कोसाइन और साइन के सारणीबद्ध मूल्य समान हैं, और यह निर्धारित करने के बाद कि कोसाइन यहां एक नकारात्मक मान लेता है, और साइन सकारात्मक है, हमारे पास है:
विषय में त्रिकोणमितीय कार्यों को कम करने के सूत्रों का अध्ययन करते समय इसी तरह के उदाहरणों का अधिक विस्तार से विश्लेषण किया जाता है।
इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।
4.
त्रिज्या वेक्टर के रोटेशन का कोण (शर्त के अनुसार)
साइन और कोसाइन के संबंधित संकेतों को निर्धारित करने के लिए, हम एक इकाई सर्कल और एक कोण बनाते हैं:
जैसा कि आप देख सकते हैं, मान, यानी धनात्मक है, और मान, अर्थात् ऋणात्मक है। संबंधित त्रिकोणमितीय कार्यों के सारणीबद्ध मूल्यों को जानने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:
आइए प्राप्त मूल्यों को हमारे सूत्र में बदलें और निर्देशांक खोजें:
इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।
5. इस समस्या को हल करने के लिए, हम सामान्य रूप में सूत्रों का उपयोग करते हैं, जहाँ
वृत्त के केंद्र के निर्देशांक (हमारे उदाहरण में,
वृत्त त्रिज्या (शर्त के अनुसार)
त्रिज्या वेक्टर के रोटेशन का कोण (शर्त के अनुसार)।
सभी मानों को सूत्र में रखें और प्राप्त करें:
और - तालिका मान। हम उन्हें याद करते हैं और उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।
कोण की ज्या कर्ण के विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।
कोण की कोज्या कर्ण के निकटवर्ती (करीबी) पैर का अनुपात है।
एक कोण की स्पर्शरेखा विपरीत (दूर) पैर का आसन्न (करीब) से अनुपात है।
कोण का कोटैंजेंट आसन्न (करीबी) पैर का विपरीत (दूर) का अनुपात है।
अनुदेश
संबंधित वीडियो
ध्यान दें
एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की गणना करते समय, इसकी विशेषताओं का ज्ञान हो सकता है:
1) यदि एक समकोण का पैर 30 डिग्री के कोण के विपरीत स्थित है, तो यह आधाकर्ण;
2) कर्ण हमेशा किसी भी पैर से लंबा होता है;
3) यदि एक वृत्त एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध है, तो उसका केंद्र कर्ण के मध्य में होना चाहिए।
कर्ण एक समकोण त्रिभुज की भुजा है जो 90 डिग्री के कोण के विपरीत है। इसकी लंबाई की गणना करने के लिए, एक पैर की लंबाई और त्रिभुज के तीव्र कोणों में से एक का मान जानना पर्याप्त है।
अनुदेश
आइए जानते हैं इनमें से एक पैर और उससे लगे कोण को। निश्चितता के लिए, इसे टांग होने दें |AB| और कोण α। फिर हम त्रिकोणमितीय कोसाइन के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं - आसन्न पैर के कोसाइन अनुपात। वे। हमारे अंकन में cos α = |AB| / |एसी|. यहाँ से हम कर्ण की लंबाई प्राप्त करते हैं |AC| = |एबी| / cosα.
अगर हम पैर जानते हैं |BC| और कोण α, फिर हम कोण की ज्या की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं - कोण की ज्या विपरीत पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर होती है: sin α = |BC| / |एसी|. हम पाते हैं कि कर्ण की लंबाई के रूप में पाया जाता है |AC| = |बीसी| / cosα.
स्पष्टता के लिए, एक उदाहरण पर विचार करें। माना पैर की लंबाई |AB| = 15. और कोण α = 60°। हमें मिलता है |एसी| = 15 / क्योंकि 60° = 15 / 0.5 = 30।
विचार करें कि आप पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अपना परिणाम कैसे देख सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें दूसरे चरण की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है |BC|। कोण tg α = |BC| . के स्पर्शरेखा के लिए सूत्र का उपयोग करना / |एसी|, हम प्राप्त करते हैं |बीसी| = |एबी| * टीजी α = 15 * टीजी 60° = 15 * 3। इसके बाद, हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं, हमें 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900 मिलता है। सत्यापन किया जाता है।
कर्ण की गणना करने के बाद, जांचें कि क्या परिणामी मान पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।
स्रोत:
पैरएक समकोण त्रिभुज की दो छोटी भुजाओं के नाम बताइए जो इसका शीर्ष बनाती हैं, जिसका मान 90 ° है। ऐसे त्रिभुज की तीसरी भुजा कर्ण कहलाती है। त्रिभुज के ये सभी पक्ष और कोण कुछ रिश्तों से जुड़े हुए हैं जो आपको पैर की लंबाई की गणना करने की अनुमति देते हैं यदि कई अन्य पैरामीटर ज्ञात हैं।
अनुदेश
यदि आप समकोण त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं (B और C) की लंबाई जानते हैं, तो पैर (A) के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें। इस प्रमेय में कहा गया है कि वर्ग की टाँगों की लंबाई का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है। इससे यह पता चलता है कि प्रत्येक पैर की लंबाई बराबर है वर्गमूलकर्ण और दूसरे पैर की लंबाई से: A=√(C²-B²)।
एक न्यून कोण के लिए प्रत्यक्ष त्रिकोणमितीय फलन "साइन" की परिभाषा का उपयोग करें, यदि आप परिकलित पैर के विपरीत कोण (α) का मान और कर्ण (C) की लंबाई जानते हैं। यह बताता है कि इस ज्ञात की ज्या वांछित पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात है। यह है कि वांछित पैर की लंबाई कर्ण की लंबाई और ज्ञात कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर है: A=C∗sin(α)। समान ज्ञात मानों के लिए, आप कोसेकेंट का उपयोग कर सकते हैं और कर्ण की लंबाई को ज्ञात कोण A=C/cosec(α) के कोसेकेंट से विभाजित करके वांछित लंबाई की गणना कर सकते हैं।
प्रत्यक्ष त्रिकोणमितीय कोसाइन फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करें, यदि, कर्ण (सी) की लंबाई के अलावा, आवश्यक कोण के निकट तीव्र कोण (β) का मान भी जाना जाता है। इस कोण की कोज्या वांछित पैर और कर्ण की लंबाई का अनुपात है, और इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि पैर की लंबाई कर्ण की लंबाई और ज्ञात कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर है: A=C∗cos(β). आप छेदक फलन की परिभाषा का उपयोग कर सकते हैं और कर्ण की लंबाई को ज्ञात कोण A=C/sec(β) के छेदक से विभाजित करके वांछित मान की गणना कर सकते हैं।
त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन स्पर्शरेखा के व्युत्पन्न के लिए समान परिभाषा से आवश्यक सूत्र प्राप्त करें, यदि, वांछित पैर (ए) के विपरीत तीव्र कोण (α) के मूल्य के अतिरिक्त, दूसरे पैर (बी) की लंबाई है ज्ञात। वांछित पैर के विपरीत कोण की स्पर्शरेखा इस पैर की लंबाई और दूसरे पैर की लंबाई का अनुपात है। अत: वांछित मान लंबाई के गुणनफल के बराबर होगा प्रसिद्ध पैरज्ञात कोण के स्पर्शरेखा के लिए: A=B∗tg(α)। इन समान ज्ञात मात्राओं से, कोटैंजेंट फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करके एक और सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। इस मामले में, पैर की लंबाई की गणना करने के लिए, ज्ञात पैर की लंबाई और ज्ञात कोण के कोटेंजेंट के अनुपात को खोजना आवश्यक होगा: ए = बी/सीटीजी (α)।
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शब्द "केट" ग्रीक से रूसी में आया था। में सटीक अनुवादइसका अर्थ है साहुल, यानी पृथ्वी की सतह के लंबवत। गणित में, टाँगों को वे भुजाएँ कहते हैं जो एक समकोण त्रिभुज का समकोण बनाती हैं। इस कोण के सम्मुख भुजा को कर्ण कहते हैं। शब्द "लेग" का उपयोग वास्तुकला और वेल्डिंग तकनीक में भी किया जाता है।
दोनों पैर आपस में जुड़े हुए हैं और स्पर्शरेखा हैं। में इस मामले मेंस्पर्शरेखा पक्ष a से भुजा b का अनुपात होगा, जो कि आसन्न पैर के विपरीत पैर है। इस अनुपात को सूत्र tgCAB=a/b द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। तदनुसार, प्रतिलोम अनुपात कोटैंजेंट होगा: ctgCAB=b/a.
कर्ण और दोनों पैरों के आकार के बीच का अनुपात द्वारा निर्धारित किया गया था प्राचीन यूनानी पाइथागोरस. प्रमेय, उसका नाम, लोग अभी भी उपयोग करते हैं। यह कहता है कि कर्ण का वर्ग योग के बराबर हैपैरों के वर्ग, यानी c2=a2+b2। तदनुसार, प्रत्येक पैर कर्ण और दूसरे पैर के वर्गों के बीच के अंतर के वर्गमूल के बराबर होगा। यह सूत्र b=√(c2-a2) के रूप में लिखा जा सकता है।
पैर की लंबाई को उन रिश्तों के माध्यम से भी व्यक्त किया जा सकता है जिन्हें आप जानते हैं। साइन और कोसाइन के प्रमेय के अनुसार, पैर कर्ण के उत्पाद के बराबर है और इनमें से एक कार्य है। आप इसे और या कोटैंजेंट व्यक्त कर सकते हैं। पैर a पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सूत्र a \u003d b * tan CAB द्वारा। ठीक उसी तरह, दी गई स्पर्शरेखा या के आधार पर, दूसरा चरण निर्धारित किया जाता है।
वास्तुकला में, "पैर" शब्द का भी प्रयोग किया जाता है। यह एक आयनिक पूंजी पर लगाया जाता है और इसकी पीठ के बीच से होकर जाता है। अर्थात्, इस स्थिति में, इस पद से, दी गई रेखा पर लम्ब।
वेल्डिंग तकनीक में, "एक पट्टिका वेल्ड का पैर" होता है। अन्य मामलों की तरह, यह सबसे छोटी दूरी है। यहां हम बात कर रहे हैंदूसरे भाग की सतह पर स्थित सीम की सीमा तक वेल्ड किए जाने वाले भागों में से एक के बीच की खाई के बारे में।
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स्रोत:
गणित की एक शाखा जिसके साथ स्कूली बच्चे सबसे बड़ी कठिनाइयों का सामना करते हैं, वह है त्रिकोणमिति। कोई आश्चर्य नहीं: ज्ञान के इस क्षेत्र में स्वतंत्र रूप से महारत हासिल करने के लिए, आपको स्थानिक सोच की आवश्यकता है, सूत्रों का उपयोग करके साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटेंगेंट खोजने की क्षमता, अभिव्यक्तियों को सरल बनाना और गणना में संख्या pi का उपयोग करने में सक्षम होना चाहिए। इसके अलावा, आपको प्रमेयों को सिद्ध करते समय त्रिकोणमिति को लागू करने में सक्षम होना चाहिए, और इसके लिए या तो एक विकसित गणितीय स्मृति या जटिल तार्किक श्रृंखलाओं को निकालने की क्षमता की आवश्यकता होती है।
इस विज्ञान से परिचित होना कोण के साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा से शुरू होना चाहिए, लेकिन पहले आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि त्रिकोणमिति सामान्य रूप से क्या करती है।
ऐतिहासिक रूप से, गणितीय विज्ञान के इस खंड में समकोण त्रिभुज अध्ययन का मुख्य उद्देश्य रहा है। 90 डिग्री के कोण की उपस्थिति से विभिन्न ऑपरेशन करना संभव हो जाता है जो किसी को दो पक्षों और एक कोण या दो कोणों और एक तरफ का उपयोग करके विचाराधीन आकृति के सभी मापदंडों के मूल्यों को निर्धारित करने की अनुमति देता है। अतीत में, लोगों ने इस पैटर्न पर ध्यान दिया और इसे इमारतों, नेविगेशन, खगोल विज्ञान और यहां तक कि कला के निर्माण में सक्रिय रूप से उपयोग करना शुरू कर दिया।
प्रारंभ में, लोग विशेष रूप से समकोण त्रिभुजों के उदाहरण पर कोणों और भुजाओं के संबंध के बारे में बात करते थे। तब विशेष सूत्रों की खोज की गई जिससे उपयोग की सीमाओं का विस्तार करना संभव हो गया दिनचर्या या रोज़मर्रा की ज़िंदगीगणित की यह शाखा।
आज स्कूल में त्रिकोणमिति का अध्ययन समकोण त्रिभुज से शुरू होता है, जिसके बाद प्राप्त ज्ञान का उपयोग छात्र भौतिकी और अमूर्त समस्याओं को हल करने में करते हैं। त्रिकोणमितीय समीकरण, जिसके साथ काम हाई स्कूल में शुरू होता है।
बाद में, जब विज्ञान विकास के अगले स्तर पर पहुंच गया, तो गोलाकार ज्यामिति में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटेंजेंट वाले सूत्रों का उपयोग किया जाने लगा, जहां विभिन्न नियम लागू होते हैं, और त्रिभुज में कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री से अधिक होता है। इस खंड का अध्ययन स्कूल में नहीं किया जाता है, लेकिन इसके अस्तित्व के बारे में जानना आवश्यक है, कम से कम क्योंकि पृथ्वी की सतह और किसी अन्य ग्रह की सतह उत्तल है, जिसका अर्थ है कि किसी भी सतह का अंकन "चाप के आकार का" होगा। त्रि-आयामी अंतरिक्ष।
ग्लोब और धागा लें। धागे को ग्लोब पर किन्हीं दो बिंदुओं से इस प्रकार संलग्न करें कि वह तना हुआ हो। ध्यान दें - इसने एक चाप का आकार प्राप्त कर लिया है। यह इस तरह के रूपों के साथ है कि गोलाकार ज्यामिति, जिसका उपयोग भूगणित, खगोल विज्ञान और अन्य सैद्धांतिक और अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में किया जाता है, सौदों।
त्रिकोणमिति का उपयोग करने के तरीकों के बारे में थोड़ा जानने के बाद, आइए मूल त्रिकोणमिति पर लौटते हैं ताकि आगे यह समझ सकें कि साइन, कोसाइन, टेंगेंट क्या हैं, उनकी मदद से कौन सी गणना की जा सकती है और किन सूत्रों का उपयोग करना है।
पहला कदम एक समकोण त्रिभुज से संबंधित अवधारणाओं को समझना है। सबसे पहले, कर्ण 90 डिग्री के कोण के विपरीत पक्ष है। वह सबसे लंबी है। हमें याद है कि पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, इसका संख्यात्मक मान अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के मूल के बराबर होता है।
उदाहरण के लिए, यदि दो भुजाएँ क्रमशः 3 और 4 सेंटीमीटर हैं, तो कर्ण की लंबाई 5 सेंटीमीटर होगी। वैसे, प्राचीन मिस्रवासियों को इस बारे में लगभग साढ़े चार हजार साल पहले पता था।
शेष दो भुजाएँ जो एक समकोण बनाती हैं, टाँगें कहलाती हैं। इसके अलावा, हमें यह याद रखना चाहिए कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में त्रिभुज में कोणों का योग 180 डिग्री होता है।
अंत में, ज्यामितीय आधार की एक ठोस समझ के साथ, हम एक कोण के साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा की ओर मुड़ सकते हैं।
कोण की ज्या कर्ण के विपरीत पैर (यानी, वांछित कोण के विपरीत पक्ष) का अनुपात है। कोण की कोज्या कर्ण से आसन्न पैर का अनुपात है।
याद रखें कि न तो ज्या और न ही कोज्या एक से बड़ा हो सकता है! क्यों? क्योंकि कर्ण डिफ़ॉल्ट रूप से सबसे लंबा होता है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि पैर कितना लंबा है, यह कर्ण से छोटा होगा, जिसका अर्थ है कि उनका अनुपात हमेशा एक से कम होगा। इस प्रकार, यदि आपको समस्या के उत्तर में 1 से अधिक मान वाली साइन या कोसाइन मिलती है, तो गणना या तर्क में त्रुटि की तलाश करें। यह उत्तर स्पष्ट रूप से गलत है।
अंत में, किसी कोण की स्पर्शरेखा विपरीत भुजा का आसन्न भुजा से अनुपात है। वही परिणाम कोज्या द्वारा ज्या का विभाजन देगा। देखो: सूत्र के अनुसार, हम पक्ष की लंबाई को कर्ण से विभाजित करते हैं, जिसके बाद हम दूसरी भुजा की लंबाई से विभाजित करते हैं और कर्ण से गुणा करते हैं। इस प्रकार, हमें स्पर्शरेखा की परिभाषा के समान अनुपात मिलता है।
कोटैंजेंट, क्रमशः, कोने से सटी भुजा का विपरीत दिशा में अनुपात है। हम इकाई को स्पर्शरेखा से विभाजित करने पर समान परिणाम प्राप्त करते हैं।
इसलिए, हमने साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की परिभाषाओं पर विचार किया है, और हम सूत्रों से निपट सकते हैं।
त्रिकोणमिति में, कोई सूत्र के बिना नहीं कर सकता - उनके बिना साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट कैसे खोजें? और समस्याओं को हल करते समय ठीक यही आवश्यक है।
त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करते समय आपको जो पहला सूत्र जानने की जरूरत है, वह कहता है कि एक कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों का योग एक के बराबर होता है। यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है, लेकिन यह समय बचाता है यदि आप कोण का मान जानना चाहते हैं, भुजा का नहीं।
कई छात्रों को दूसरा फॉर्मूला याद नहीं रहता है, जो हल करने में भी काफी लोकप्रिय है स्कूल के कार्य: एक का योग और एक कोण के स्पर्शरेखा के वर्ग को कोण के कोसाइन के वर्ग द्वारा विभाजित एक के बराबर होता है। करीब से देखें: आखिरकार, यह वही कथन है जो पहले सूत्र में था, केवल पहचान के दोनों पक्षों को कोसाइन के वर्ग द्वारा विभाजित किया गया था। यह पता चला है कि एक साधारण गणितीय ऑपरेशन त्रिकोणमितीय सूत्र को पूरी तरह से पहचानने योग्य नहीं बनाता है। याद रखें: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट क्या हैं, रूपांतरण नियम और कुछ बुनियादी सूत्र जानने के बाद, आप किसी भी समय आवश्यक अधिक प्राप्त कर सकते हैं जटिल सूत्रकागज के एक टुकड़े पर।
दो और सूत्र जिन्हें आपको सीखने की आवश्यकता है, वे कोणों के योग और अंतर के लिए साइन और कोसाइन के मूल्यों से संबंधित हैं। उन्हें नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। कृपया ध्यान दें कि पहले मामले में, साइन और कोसाइन को दोनों बार गुणा किया जाता है, और दूसरे में, साइन और कोसाइन का जोड़ीदार उत्पाद जोड़ा जाता है।
दोहरे कोण तर्कों से जुड़े सूत्र भी हैं। वे पूरी तरह से पिछले वाले से व्युत्पन्न हैं - एक अभ्यास के रूप में, अल्फा के कोण को बीटा के कोण के बराबर लेते हुए, उन्हें स्वयं प्राप्त करने का प्रयास करें।
अंत में, ध्यान दें कि डबल कोण सूत्रों को साइन, कोसाइन, टेंगेंट अल्फा की डिग्री को कम करने के लिए परिवर्तित किया जा सकता है।
मूल त्रिकोणमिति में दो मुख्य प्रमेय हैं साइन प्रमेय और कोसाइन प्रमेय। इन प्रमेयों की सहायता से, आप आसानी से समझ सकते हैं कि साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा कैसे खोजें, और इसलिए आकृति का क्षेत्र, और प्रत्येक पक्ष का आकार, आदि।
साइन प्रमेय में कहा गया है कि त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई को विपरीत कोण के मान से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है वही नंबर. इसके अलावा, यह संख्या परिबद्ध वृत्त की दो त्रिज्याओं के बराबर होगी, अर्थात वह वृत्त जिसमें दिए गए त्रिभुज के सभी बिंदु हों।
कोसाइन प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय को सामान्य करता है, इसे किसी भी त्रिभुज पर प्रक्षेपित करता है। यह पता चला है कि दोनों पक्षों के वर्गों के योग से, उनके उत्पाद को उनके आसन्न कोण के डबल कोसाइन से गुणा करके घटाया जाता है - परिणामी मूल्य तीसरे पक्ष के वर्ग के बराबर होगा। इस प्रकार, पाइथागोरस प्रमेय कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला बन जाता है।
साइन, कोसाइन और टेंगेंट क्या हैं, यह जानते हुए भी, अनुपस्थिति या सरल गणनाओं में त्रुटि के कारण गलती करना आसान है। ऐसी गलतियों से बचने के लिए, आइए उनमें से सबसे लोकप्रिय से परिचित हों।
सबसे पहले, आपको अंतिम परिणाम प्राप्त होने तक साधारण अंशों को दशमलव में नहीं बदलना चाहिए - आप उत्तर को फॉर्म में छोड़ सकते हैं सामान्य अंशजब तक कि स्थिति अन्यथा न बताए। इस तरह के परिवर्तन को गलती नहीं कहा जा सकता है, लेकिन यह याद रखना चाहिए कि समस्या के प्रत्येक चरण में नई जड़ें दिखाई दे सकती हैं, जिसे लेखक के विचार के अनुसार कम किया जाना चाहिए। इस मामले में, आप अनावश्यक गणितीय कार्यों पर समय बर्बाद करेंगे। यह तीन या दो की जड़ जैसे मूल्यों के लिए विशेष रूप से सच है, क्योंकि वे हर कदम पर कार्यों में होते हैं। वही "बदसूरत" संख्याओं को गोल करने पर लागू होता है।
इसके अलावा, ध्यान दें कि कोसाइन प्रमेय किसी भी त्रिभुज पर लागू होता है, लेकिन पाइथागोरस प्रमेय पर नहीं! यदि आप गलती से उनके बीच के कोण के कोसाइन द्वारा गुणा किए गए पक्षों के उत्पाद को दो बार घटाना भूल जाते हैं, तो आपको न केवल पूरी तरह से गलत परिणाम मिलेगा, बल्कि विषय की पूरी गलतफहमी भी प्रदर्शित होगी। यह एक लापरवाह गलती से भी बदतर है।
तीसरा, साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोटैंजेंट के लिए 30 और 60 डिग्री के कोणों के मानों को भ्रमित न करें। इन मानों को याद रखें, क्योंकि 30 डिग्री की ज्या 60 की कोज्या के बराबर होती है, और इसके विपरीत। उन्हें मिलाना आसान है, जिसके परिणामस्वरूप आपको अनिवार्य रूप से एक गलत परिणाम मिलेगा।
कई छात्र त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करने की जल्दी में नहीं हैं, क्योंकि वे इसके लागू अर्थ को नहीं समझते हैं। एक इंजीनियर या खगोलशास्त्री के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा क्या है? ये अवधारणाएं हैं जिनके लिए आप दूर के सितारों की दूरी की गणना कर सकते हैं, उल्कापिंड के गिरने की भविष्यवाणी कर सकते हैं, दूसरे ग्रह पर एक शोध जांच भेज सकते हैं। उनके बिना, एक इमारत बनाना, एक कार डिजाइन करना, सतह पर भार या किसी वस्तु के प्रक्षेपवक्र की गणना करना असंभव है। और ये सिर्फ सबसे स्पष्ट उदाहरण हैं! आखिरकार, संगीत से लेकर चिकित्सा तक, किसी न किसी रूप में त्रिकोणमिति का उपयोग हर जगह किया जाता है।
तो आप ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा हैं। आप उनका उपयोग गणना में कर सकते हैं और स्कूल की समस्याओं को सफलतापूर्वक हल कर सकते हैं।
त्रिकोणमिति का पूरा सार इस तथ्य पर उबलता है कि अज्ञात मापदंडों की गणना त्रिभुज के ज्ञात मापदंडों से की जानी चाहिए। कुल छह पैरामीटर हैं: लंबाई तीन पक्षऔर तीन कोणों के आयाम। कार्यों में पूरा अंतर इस तथ्य में निहित है कि विभिन्न इनपुट डेटा दिए गए हैं।
पैरों की ज्ञात लंबाई या कर्ण के आधार पर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा कैसे खोजें, अब आप जानते हैं। चूँकि इन पदों का अर्थ एक अनुपात से अधिक कुछ नहीं है, और एक अनुपात एक भिन्न है, त्रिकोणमितीय समस्या का मुख्य लक्ष्य एक साधारण समीकरण या समीकरणों की एक प्रणाली की जड़ों को खोजना है। और यहां आपको साधारण स्कूली गणित से मदद मिलेगी।
औसत स्तर
समस्याओं में, एक समकोण बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है - निचला बाएँ वाला, इसलिए आपको यह सीखने की ज़रूरत है कि इस रूप में एक समकोण त्रिभुज को कैसे पहचाना जाए,
और ऐसे में
और ऐसे में 
एक समकोण त्रिभुज के बारे में क्या अच्छा है? खैर... सबसे पहले, विशेष हैं सुंदर नामउसके पक्षों के लिए।
ड्राइंग पर ध्यान दें!
याद रखें और भ्रमित न हों: पैर - दो, और कर्ण - केवल एक(एकमात्र, अद्वितीय और सबसे लंबा)!
खैर, हमने नामों पर चर्चा की, अब सबसे महत्वपूर्ण बात: पाइथागोरस प्रमेय।
यह प्रमेय एक समकोण त्रिभुज से संबंधित कई समस्याओं को हल करने की कुंजी है। पाइथागोरस ने इसे पूरी तरह साबित कर दिया अति प्राचीन काल, और तब से वह अपने जानने वालों के लिए कई लाभ लाई है। और उसकी सबसे अच्छी बात यह है कि वह सिंपल है।
इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय:
क्या आपको मजाक याद है: "पायथागॉरियन पैंट सभी तरफ बराबर हैं!"?
आइए इन पाइथागोरस पैंटों को ड्रा करें और इन्हें देखें। 
क्या यह वास्तव में शॉर्ट्स की तरह दिखता है? खैर, किस तरफ और कहां बराबर हैं? मजाक क्यों और कहां से आया? और यह मजाक पाइथागोरस प्रमेय के साथ सटीक रूप से जुड़ा हुआ है, अधिक सटीक रूप से जिस तरह से पाइथागोरस ने अपना प्रमेय तैयार किया था। और उन्होंने इसे इस तरह तैयार किया:
"सुमो चौकों का क्षेत्रफल, पैरों पर निर्मित, के बराबर है वर्ग क्षेत्रकर्ण पर निर्मित।
क्या यह थोड़ा अलग नहीं लगता, है ना? और इसलिए, जब पाइथागोरस ने अपने प्रमेय का बयान दिया, तो बस एक ऐसी तस्वीर निकली।
इस चित्र में छोटे वर्गों के क्षेत्रफलों का योग बड़े वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है। और इसलिए कि बच्चे बेहतर याद रखें कि पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर है, किसी ने पाइथागोरस पैंट के बारे में इस मजाक का आविष्कार किया।
अब हम पाइथागोरस प्रमेय क्यों बना रहे हैं?
क्या पाइथागोरस पीड़ित थे और उन्होंने वर्गों के बारे में बात की थी?
आप देखिए, प्राचीन काल में बीजगणित नहीं था! आदि कोई लक्षण नहीं थे। कोई शिलालेख नहीं थे। क्या आप सोच सकते हैं कि गरीब प्राचीन छात्रों के लिए सब कुछ शब्दों में याद रखना कितना भयानक था ??! और हमें खुशी हो सकती है कि हमारे पास पाइथागोरस प्रमेय का एक सरल सूत्रीकरण है। आइए इसे बेहतर ढंग से याद रखने के लिए इसे फिर से दोहराएं:
अब यह आसान होना चाहिए:
| कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। |
खैर, एक समकोण त्रिभुज के बारे में सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय पर चर्चा की गई। यदि आप रुचि रखते हैं कि यह कैसे साबित होता है, तो सिद्धांत के अगले स्तरों को पढ़ें, और अब चलते हैं ... अंधेरे जंगल में ... त्रिकोणमिति के! भयानक शब्दों के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट।
वास्तव में, सब कुछ इतना डरावना नहीं है। बेशक, लेख में साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट की "वास्तविक" परिभाषा को देखा जाना चाहिए। लेकिन तुम सच में नहीं चाहते, है ना? हम आनंदित हो सकते हैं: एक समकोण त्रिभुज के बारे में समस्याओं को हल करने के लिए, आप बस निम्नलिखित सरल चीजें भर सकते हैं:
यह सब कोने के बारे में क्यों है? कोना कहाँ है? इसे समझने के लिए आपको यह जानना होगा कि कथन 1 - 4 को शब्दों में कैसे लिखा जाता है। देखो, समझो और याद करो!
1.
यह वास्तव में ऐसा लगता है:
कोण के बारे में क्या? क्या कोई पैर है जो कोने के विपरीत है, यानी विपरीत पैर (कोने के लिए)? बेशक है! यह एक कैथेट है!
लेकिन कोण का क्या? नज़दीक से देखें। कौन सा पैर कोने से सटा हुआ है? बेशक, बिल्ली। तो, कोण के लिए, पैर आसन्न है, और
और अब, ध्यान! देखो हमें क्या मिला:
देखें कि यह कितना शानदार है:
अब चलिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट पर चलते हैं।
अब इसे शब्दों में कैसे कहें? कोने के संबंध में पैर क्या है? विपरीत, निश्चित रूप से - यह कोने के विपरीत "झूठ" है। और कैथेट? कोने के पास। तो हमें क्या मिला?
देखें कि अंश और हर को कैसे उलट दिया जाता है?
और अब फिर से कोनों और विनिमय किया:
आइए संक्षेप में लिखें कि हमने क्या सीखा है।
 |
पाइथागोरस प्रमेय: |
मुख्य समकोण त्रिभुज प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय है।
वैसे, क्या आपको अच्छी तरह याद है कि पैर और कर्ण क्या हैं? अगर नहीं तो तस्वीर देखिये - ताज़ा कीजिये अपना ज्ञान
यह बहुत संभव है कि आपने पाइथागोरस प्रमेय का कई बार प्रयोग किया हो, लेकिन क्या आपने कभी सोचा है कि ऐसा प्रमेय सत्य क्यों है। आप इसे कैसे साबित करेंगे? चलो प्राचीन यूनानियों की तरह करते हैं। आइए एक भुजा के साथ एक वर्ग बनाएं।
आप देखते हैं कि हमने कितनी चतुराई से इसके पक्षों को लंबाई के खंडों में विभाजित किया है और!
अब चिह्नित बिंदुओं को जोड़ते हैं
हालाँकि, यहाँ हमने कुछ और नोट किया है, लेकिन आप स्वयं चित्र को देखें और सोचें कि क्यों।
बड़े वर्ग का क्षेत्रफल कितना है? सही, । छोटे क्षेत्र के बारे में क्या? निश्चित रूप से, । चारों कोनों का कुल क्षेत्रफल रहता है। कल्पना कीजिए कि हमने उनमें से दो को लिया और कर्ण के साथ एक दूसरे के खिलाफ झुक गए। क्या हुआ? दो आयताकार। तो, "कटिंग" का क्षेत्रफल बराबर है।
आइए अब यह सब एक साथ करें।
आइए रूपांतरित करें:
इसलिए हमने पाइथागोरस का दौरा किया - हमने उनके प्रमेय को प्राचीन तरीके से सिद्ध किया।
एक समकोण त्रिभुज के लिए, निम्नलिखित संबंध धारण करते हैं:
एक न्यून कोण की ज्या विपरीत पैर के कर्ण से अनुपात के बराबर होती है
एक न्यून कोण की कोज्या आसन्न टांग और कर्ण के अनुपात के बराबर होती है।
एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत टांग और आसन्न टांग के अनुपात के बराबर होती है।
एक न्यून कोण का कोटेंजेंट आसन्न पैर के विपरीत पैर के अनुपात के बराबर होता है।
और एक बार फिर, यह सब एक प्लेट के रूप में:
यह बहुत सुविधाजनक है!
I. दो पैरों पर
द्वितीय. पैर और कर्ण से
III. कर्ण और न्यून कोण से
चतुर्थ। पैर और तीव्र कोण के साथ
ए) 
बी) 
ध्यान! यहां यह बहुत महत्वपूर्ण है कि पैर "संबंधित" हों। उदाहरण के लिए, यदि यह इस तरह जाता है:
तब त्रिभुज समान नहीं हैं, इस तथ्य के बावजूद कि उनके पास एक समान तीव्र कोण है।
करने की जरूरत है दोनों त्रिभुजों में पैर आसन्न था, या दोनों में - विपरीत.
क्या आपने देखा है कि समकोण त्रिभुजों की समानता के चिन्ह त्रिभुजों की समानता के सामान्य चिह्नों से कैसे भिन्न होते हैं? विषय को देखें "और इस तथ्य पर ध्यान दें कि" साधारण "त्रिकोण की समानता के लिए, आपको उनके तीन तत्वों की समानता की आवश्यकता है: दो पक्ष और उनके बीच का कोण, दो कोण और उनके बीच का एक पक्ष, या तीन भुजाएँ। लेकिन समकोण त्रिभुजों की समानता के लिए केवल दो संगत तत्व ही पर्याप्त हैं। यह बढ़िया है, है ना?
समकोण त्रिभुजों की समानता के संकेतों के साथ लगभग समान स्थिति।
I. एक्यूट कॉर्नर
द्वितीय. दो पैरों पर
III. पैर और कर्ण से
ऐसा क्यों है?
एक समकोण त्रिभुज के बजाय एक संपूर्ण आयत पर विचार करें।
आइए एक विकर्ण बनाएं और एक बिंदु पर विचार करें - विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु। आयत के विकर्णों के बारे में आप क्या जानते हैं?
और इससे क्या होता है?
तो हुआ यह कि
इस तथ्य को याद रखें! बहुत मदद करता है!
इससे भी ज्यादा हैरान करने वाली बात यह है कि इसका उल्टा भी सच है।
इस तथ्य से क्या लाभ हो सकता है कि कर्ण की ओर खींची गई माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर है? आइए देखते हैं तस्वीर
नज़दीक से देखें। हमारे पास है: , अर्थात्, बिंदु से त्रिभुज के तीनों शीर्षों तक की दूरी बराबर निकली। लेकिन एक त्रिभुज में केवल एक ही बिंदु होता है, जिसकी दूरियाँ त्रिभुज के लगभग तीनों शीर्षों के बराबर होती हैं, और यह वर्णित चक्र का केंद्र है। तो क्या हुआ?
तो चलिए इसे "इसके अलावा ..." से शुरू करते हैं।
आइए देखें आई.
लेकिन समरूप त्रिभुजों में सभी कोण बराबर होते हैं!
और . के बारे में भी यही कहा जा सकता है
अब इसे एक साथ ड्रा करें:
इस "ट्रिपल" समानता से क्या फायदा हो सकता है।
खैर, उदाहरण के लिए - एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई के लिए दो सूत्र।
हम संबंधित पक्षों के संबंध लिखते हैं:
ऊंचाई खोजने के लिए, हम अनुपात को हल करते हैं और प्राप्त करते हैं पहला सूत्र "एक समकोण त्रिभुज में ऊँचाई":
तो, आइए समानता लागू करें: .
अब क्या होगा?
फिर से हम अनुपात को हल करते हैं और दूसरा सूत्र प्राप्त करते हैं:
इन दोनों फ़ार्मुलों को बहुत अच्छी तरह से याद रखना चाहिए और जो लागू करने के लिए अधिक सुविधाजनक है। आइए उन्हें फिर से लिखें।
पाइथागोरस प्रमेय:
एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है:।
समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण:
समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण:
एक समकोण त्रिभुज में ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटांगेंट
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई: या।
एक समकोण त्रिभुज में, समकोण के शीर्ष से खींची गई माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर होती है: .
एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल:
