सीढ़ियाँ। प्रवेश समूह। सामग्री। दरवाजे। ताले। डिज़ाइन

एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श क्या है, यह समझने में मदद मिलेगी सही त्रिकोण.

समकोण त्रिभुज की भुजाएँ क्या कहलाती हैं? यह सही है, कर्ण और पैर: कर्ण वह भुजा है जो समकोण के विपरीत स्थित है (हमारे उदाहरण में, यह भुजा \ (AC \) है); पैर दो शेष भुजाएँ हैं \ (AB \) और \ (BC \) (जो समकोण के समीप हैं), इसके अलावा, यदि हम कोण \ (BC \) के संबंध में पैरों पर विचार करते हैं, तो पैर \ (AB \) आसन्न पैर है, और पैर \ (BC \) विपरीत है। तो, अब हम इस प्रश्न का उत्तर देते हैं: एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श क्या हैं?

एक कोण की ज्या- यह कर्ण के विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

एक कोण की कोसाइन- यह कर्ण के निकटवर्ती (करीब) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

कोण स्पर्शरेखा- यह विपरीत (दूर) पैर के आसन्न (करीब) का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

एक कोण की कोटिस्पर्शज्या- यह आसन्न (करीब) पैर के विपरीत (दूर) का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

ये परिभाषाएँ आवश्यक हैं याद करना! यह याद रखना आसान बनाने के लिए कि किस पैर को किससे विभाजित करना है, आपको इसे स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है स्पर्शरेखाऔर स्पर्शरेखाकेवल पैर बैठते हैं, और कर्ण केवल अंदर दिखाई देता है साइनसऔर कोज्या. और फिर आप संघों की एक श्रृंखला के साथ आ सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह एक:

कोसाइन → स्पर्श → स्पर्श → आसन्न;

स्पर्शरेखा → स्पर्श → स्पर्श → आसन्न।

सबसे पहले, यह याद रखना आवश्यक है कि त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श इन भुजाओं की लंबाई (एक कोण पर) पर निर्भर नहीं करते हैं। विश्वास नहीं करते? तो तस्वीर देखकर यकीन कर लीजिए:

उदाहरण के लिए, कोण \(\beta \) की कोसाइन पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, त्रिभुज \(ABC \) से : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), लेकिन हम त्रिभुज \(AHI \) से कोण \(\beta \) की कोसाइन की गणना कर सकते हैं: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). आप देखते हैं, भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है, लेकिन एक कोण की कोज्या का मान समान होता है। इस प्रकार, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के मान केवल कोण के परिमाण पर निर्भर करते हैं।

यदि आप परिभाषाओं को समझते हैं, तो आगे बढ़ें और उन्हें ठीक करें!

त्रिभुज \(ABC \) के लिए, नीचे चित्र में दिखाया गया है, हम पाते हैं \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(सरणी) \)

अच्छा, क्या आपको मिल गया? फिर इसे स्वयं आज़माएं: कोण \(\beta \) के लिए इसकी गणना करें।

उत्तर: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \\beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

इकाई (त्रिकोणमितीय) वृत्त

डिग्री और रेडियन की अवधारणाओं को समझते हुए, हमने \ (1 \) के बराबर त्रिज्या वाले एक वृत्त पर विचार किया। ऐसा घेरा कहलाता है अकेला. त्रिकोणमिति के अध्ययन में यह बहुत उपयोगी है। इसलिए, हम इस पर थोड़ा और विस्तार से ध्यान केन्द्रित करते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सर्कल कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में बनाया गया है। वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर है, जबकि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर स्थित है, त्रिज्या सदिश की प्रारंभिक स्थिति \(x \) अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ तय की गई है (हमारे उदाहरण में, यह है त्रिज्या \(AB \) ).

सर्कल पर प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है: अक्ष के साथ समन्वय (x \) और अक्ष के साथ समन्वय \ (y \) । ये निर्देशांक संख्याएँ क्या हैं? और सामान्य तौर पर, उन्हें विषय के साथ क्या करना है? ऐसा करने के लिए, माना समकोण त्रिभुज के बारे में याद रखें। ऊपर की आकृति में, आप दो पूर्ण समकोण त्रिभुज देख सकते हैं। त्रिभुज \(ACG \) पर विचार करें। यह आयताकार है क्योंकि \(CG \) \(x \) अक्ष के लंबवत है।

त्रिभुज \(ACG \) से \(\cos \ \alpha \) क्या है? यह सही है \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). इसके अलावा, हम जानते हैं कि \(AC \) इकाई वृत्त की त्रिज्या है, इसलिए \(AC=1 \) । इस मान को हमारे कोज्या सूत्र में प्रतिस्थापित करें। यहाँ क्या होता है:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

और त्रिभुज \(ACG \) से \(\sin \ \alpha \) क्या है? बेशक, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! इस सूत्र में त्रिज्या \ (AC \) का मान रखें और प्राप्त करें:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

तो, क्या आप मुझे बता सकते हैं कि वृत्त के अंतर्गत आने वाले बिंदु \(C \) के निर्देशांक क्या हैं? अच्छा, कोई रास्ता नहीं? लेकिन क्या होगा अगर आपको एहसास हो कि \(\cos \ \alpha \) और \(\sin \alpha \) सिर्फ संख्याएं हैं? \(\cos \alpha \) किस निर्देशांक से मेल खाता है? ठीक है, निश्चित रूप से, निर्देशांक \(x \)! और \(\sin \alpha \) किस समन्वय से मेल खाता है? यह सही है, \(y \) निर्देशांक! तो बिंदु \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

तब \(tg \alpha \) और \(ctg \alpha \) क्या हैं? यह सही है, चलो स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की उपयुक्त परिभाषाओं का उपयोग करें और इसे प्राप्त करें \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), ए \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

क्या होगा अगर कोण बड़ा है? यहाँ, उदाहरण के लिए, जैसा कि इस चित्र में है:

इस उदाहरण में क्या बदला है? आइए इसका पता लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से एक समकोण त्रिभुज की ओर मुड़ते हैं। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : एक कोण (कोण \(\beta \) के सन्निकट)। एक कोण के लिए ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श का मान क्या है \(((सी)_(1))((ए)_(1))जी=180()^\circ -\बीटा \\)? यह सही है, हम त्रिकोणमितीय कार्यों की संबंधित परिभाषाओं का पालन करते हैं:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (ए)_(1))((सी)_(1)))=\dfrac(((सी)_(1))जी)(1)=((सी)_(1))जी=वाई; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((सी)_(1))=\dfrac(((ए)_(1))जी)(1)=((ए)_(1))जी=x;\\tg\angle ((सी )_(1))((ए)_(1))जी=\dfrac(((सी)_(1))जी)(((ए)_(1))जी)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((सी)_(1))((ए)_(1))जी=\dfrac(((ए)_(1))जी)(((सी)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(सरणी) \)

ठीक है, जैसा कि आप देख सकते हैं, कोण की ज्या का मान अभी भी निर्देशांक \ (y \) के अनुरूप है; कोण के कोज्या का मान - निर्देशांक \ (x \); और इसी अनुपात के लिए स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के मान। इस प्रकार, ये संबंध त्रिज्या वेक्टर के किसी भी घुमाव पर लागू होते हैं।

यह पहले ही उल्लेख किया जा चुका है कि त्रिज्या सदिश की प्रारंभिक स्थिति \(x \) अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ है। अब तक हमने इस सदिश को वामावर्त घुमाया है, लेकिन यदि हम इसे दक्षिणावर्त घुमाएँ तो क्या होगा? कुछ भी असाधारण नहीं, आपको एक निश्चित आकार का कोण भी मिलेगा, लेकिन वह केवल ऋणात्मक होगा। इस प्रकार, त्रिज्या वेक्टर को वामावर्त घुमाने पर, हमें मिलता है सकारात्मक कोण, और दक्षिणावर्त घुमाने पर - नकारात्मक।

तो, हम जानते हैं कि सर्कल के चारों ओर त्रिज्या वेक्टर की पूरी क्रांति \(360()^\circ \) या \(2\pi \) है। क्या त्रिज्या वेक्टर को \(390()^\circ \) या \(-1140()^\circ \) द्वारा घुमाना संभव है? खैर, बिल्कुल आप कर सकते हैं! पहले मामले में, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), इसलिए रेडियस वेक्टर एक पूरा चक्कर लगाएगा और \(30()^\circ \) या \(\dfrac(\pi )(6) \) पर रुकेगा।

दूसरे मामले में, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), अर्थात, त्रिज्या सदिश तीन पूर्ण चक्कर लगाएगा और \(-60()^\circ \) या \(-\dfrac(\pi )(3) \) स्थिति पर रुकेगा।

इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरणों से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि जो कोण \(360()^\circ \cdot m \) या \(2\pi \cdot m \) से भिन्न होते हैं (जहाँ \(m \) कोई पूर्णांक है) त्रिज्या वेक्टर की समान स्थिति के अनुरूप।

नीचे दिया गया चित्र कोण \(\beta =-60()^\circ \) दिखाता है। वही छवि कोने से मेल खाती है \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)वगैरह। इस सूची को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। इन सभी कोणों को सामान्य सूत्र से लिखा जा सकता है \(\बीटा +360()^\circ \cdot m\)या \(\beta +2\pi \cdot m \) (जहाँ \(m \) कोई पूर्णांक है)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(सरणी) \)

अब, मूल त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानने और यूनिट सर्कल का उपयोग करने का उत्तर देने का प्रयास करें कि मान किसके बराबर हैं:

\(\शुरू(सरणी)(एल)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(सरणी) \)

आपकी सहायता के लिए यहां एक यूनिट सर्कल है:

कोई कठिनाई? तो चलिए इसका पता लगाते हैं। तो हम जानते हैं कि:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(सरणी) \)

यहाँ से, हम कोण के कुछ मापों के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। ठीक है, चलो क्रम में शुरू करते हैं: कोने में \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)निर्देशांक के साथ एक बिंदु से मेल खाती है \(\बाएं(0;1 \दाएं) \) , इसलिए:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \);

\(\cos 90()^\circ =x=0 \);

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- मौजूद नहीं होना;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

इसके अलावा, उसी तर्क का पालन करते हुए, हम पाते हैं कि कोने अंदर हैं \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )निर्देशांक वाले बिंदुओं के अनुरूप \(\बाएं(-1;0 \दाएं),\पाठ()\बाएं(0;-1 \दाएं),\पाठ()\बाएं(1;0 \दाएं),\पाठ() \बाएं(0 ;1 \दाहिना) \), क्रमश। यह जानकर, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को संबंधित बिंदुओं पर निर्धारित करना आसान है। पहले स्वयं प्रयास करें, फिर उत्तरों की जाँच करें।

उत्तर:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- मौजूद नहीं

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- मौजूद नहीं

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- मौजूद नहीं

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \बाएं(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- मौजूद नहीं

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

इस प्रकार, हम निम्न तालिका बना सकते हैं:

इन सभी मूल्यों को याद रखने की जरूरत नहीं है। यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के निर्देशांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों के बीच पत्राचार को याद रखना पर्याप्त है:

\(\लेफ्ट। dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(याद रखने या आउटपुट करने में सक्षम होने की आवश्यकता है !! \) !}

और यहाँ कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान हैं और \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \)नीचे दी गई तालिका में, आपको याद रखना चाहिए:

डरने की जरूरत नहीं है, अब हम संबंधित मूल्यों के काफी सरल संस्मरण के उदाहरणों में से एक दिखाएंगे:

इस पद्धति का उपयोग करने के लिए, तीनों कोण उपायों के लिए साइन मानों को याद रखना महत्वपूर्ण है ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), साथ ही \(30()^\circ \) में कोण के स्पर्शरेखा का मान। इन \(4\) मानों को जानने के बाद, संपूर्ण तालिका को पुनर्स्थापित करना काफी आसान है - कोज्या मानों को तीरों के अनुसार स्थानांतरित किया जाता है, अर्थात:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2) \ \ end (सरणी) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), यह जानकर, मूल्यों को पुनर्स्थापित करना संभव है \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). अंश "\(1 \)" \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) से मेल खाएगा, और भाजक "\(\sqrt(\text(3)) \)" \ से मेल खाएगा (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) । चित्र में दिखाए गए तीरों के अनुसार स्पर्शरेखा मूल्यों को स्थानांतरित किया जाता है। यदि आप इसे समझते हैं और तीर के साथ योजना को याद करते हैं, तो यह तालिका से केवल \(4\) मान याद रखने के लिए पर्याप्त होगा।

एक वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक

क्या सर्कल के केंद्र के निर्देशांक, इसकी त्रिज्या और रोटेशन के कोण को जानते हुए, एक सर्कल पर एक बिंदु (इसके निर्देशांक) खोजना संभव है? खैर, बिल्कुल आप कर सकते हैं! चलो बाहर ले आओ सामान्य सूत्रएक बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए। यहाँ, उदाहरण के लिए, हमारे पास ऐसा एक चक्र है:

हमें वह बिंदु दिया गया है \(के(((x)_(0));((y)_(0)))=के(3;2) \)वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या \(1,5 \) है। बिंदु \(O\) को \(\delta\) डिग्री घुमाकर प्राप्त बिंदु \(P\) के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, बिंदु \ (P \) का निर्देशांक \ (x \) खंड \ (TP=UQ=UK+KQ \) की लंबाई से मेल खाता है। खंड \ (यूके \) की लंबाई सर्कल के केंद्र के समन्वय \ (x \) से मेल खाती है, अर्थात यह \ (3 \) के बराबर है। कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके खंड \ (KQ \) की लंबाई व्यक्त की जा सकती है:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

फिर हमारे पास बिंदु \(P \) के लिए निर्देशांक है \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

उसी तर्क से, हम बिंदु \(P\) के लिए y निर्देशांक का मान ज्ञात करते हैं। इस प्रकार,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

तो में सामान्य रूप से देखेंबिंदु निर्देशांक सूत्र द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \ डेल्टा \ अंत (सरणी) \), कहाँ

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - वृत्त के केंद्र के निर्देशांक,

\(r\) - वृत्त की त्रिज्या,

\(\delta \) - सदिश त्रिज्या का घूर्णन कोण।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यूनिट सर्कल के लिए हम विचार कर रहे हैं, ये सूत्र काफी कम हो गए हैं, क्योंकि केंद्र के निर्देशांक शून्य हैं, और त्रिज्या एक के बराबर है:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(सरणी) \)

गणित की एक शाखा जिसके साथ स्कूली बच्चे सबसे बड़ी कठिनाइयों का सामना करते हैं, वह त्रिकोणमिति है। कोई आश्चर्य नहीं: ज्ञान के इस क्षेत्र में स्वतंत्र रूप से महारत हासिल करने के लिए, आपको स्थानिक सोच, सूत्रों का उपयोग करके ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंगेंट खोजने की क्षमता, अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और गणना में संख्या पाई का उपयोग करने में सक्षम होने की आवश्यकता है। इसके अलावा, आपको प्रमेयों को सिद्ध करते समय त्रिकोणमिति को लागू करने में सक्षम होने की आवश्यकता है, और इसके लिए या तो एक विकसित गणितीय स्मृति या जटिल तार्किक श्रृंखलाओं को निकालने की क्षमता की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमिति की उत्पत्ति

इस विज्ञान के साथ परिचित होना कोण की साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा के साथ शुरू होना चाहिए, लेकिन पहले आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि त्रिकोणमिति सामान्य रूप से क्या करती है।

ऐतिहासिक रूप से, गणितीय विज्ञान के इस खंड में समकोण त्रिभुज अध्ययन का मुख्य उद्देश्य रहा है। 90 डिग्री के कोण की उपस्थिति से विभिन्न कार्यों को करना संभव हो जाता है जो किसी व्यक्ति को दो पक्षों और एक कोण या दो कोणों और एक पक्ष का उपयोग करके विचाराधीन आकृति के सभी मापदंडों के मूल्यों को निर्धारित करने की अनुमति देता है। अतीत में, लोगों ने इस पैटर्न को देखा और इमारतों, नेविगेशन, खगोल विज्ञान और यहां तक ​​कि कला के निर्माण में इसका सक्रिय रूप से उपयोग करना शुरू कर दिया।

प्रथम चरण

प्रारंभ में, लोगों ने विशेष रूप से समकोण त्रिभुजों के उदाहरण पर कोणों और भुजाओं के संबंध के बारे में बात की। फिर विशेष सूत्रों की खोज की गई जिससे उपयोग की सीमाओं का विस्तार करना संभव हो गया रोजमर्रा की जिंदगीगणित की यह शाखा।

आज स्कूल में त्रिकोणमिति का अध्ययन समकोण त्रिभुजों से शुरू होता है, जिसके बाद प्राप्त ज्ञान का उपयोग छात्रों द्वारा भौतिकी और अमूर्त समस्याओं को हल करने में किया जाता है। त्रिकोणमितीय समीकरण, काम जिसके साथ हाई स्कूल में शुरू होता है।

गोलाकार त्रिकोणमिति

बाद में, जब विज्ञान विकास के अगले स्तर पर पहुंच गया, तो ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श वाले सूत्रों का उपयोग गोलाकार ज्यामिति में किया जाने लगा, जहां अन्य नियम लागू होते हैं, और त्रिकोण में कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री से अधिक होता है। इस खंड का अध्ययन स्कूल में नहीं किया जाता है, लेकिन इसके अस्तित्व के बारे में जानना आवश्यक है, कम से कम क्योंकि पृथ्वी की सतह, और किसी अन्य ग्रह की सतह उत्तल है, जिसका अर्थ है कि किसी भी सतह का अंकन "चाप के आकार का" होगा त्रि-आयामी स्थान।

ग्लोब और धागा लें। धागे को ग्लोब पर किसी भी दो बिंदुओं से जोड़ दें ताकि यह तना हुआ हो। ध्यान दें - इसने एक चाप का आकार ले लिया है। यह इस तरह के रूपों के साथ है कि गोलाकार ज्यामिति, जिसका उपयोग भूगणित, खगोल विज्ञान और अन्य सैद्धांतिक और अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में किया जाता है, संबंधित है।

सही त्रिकोण

त्रिकोणमिति का उपयोग करने के तरीकों के बारे में थोड़ा जानने के बाद, आइए मूल त्रिकोणमिति पर लौटें ताकि यह समझ सकें कि साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा क्या हैं, उनकी मदद से क्या गणना की जा सकती है और किन सूत्रों का उपयोग करना है।

पहला कदम एक समकोण त्रिभुज से संबंधित अवधारणाओं को समझना है। सबसे पहले, कर्ण 90 डिग्री के कोण के विपरीत भुजा है। वह सबसे लंबी है। हमें याद है कि पायथागॉरियन प्रमेय के अनुसार, इसका संख्यात्मक मान अन्य दो पक्षों के वर्गों के योग के मूल के बराबर है।

उदाहरण के लिए, यदि दो भुजाएँ क्रमशः 3 और 4 सेंटीमीटर हैं, तो कर्ण की लंबाई 5 सेंटीमीटर होगी। वैसे तो प्राचीन मिस्रवासियों को इस बारे में करीब साढ़े चार हजार साल पहले पता चल गया था।

शेष दो भुजाएँ जो एक समकोण बनाती हैं, पाद कहलाती हैं। इसके अलावा, हमें यह याद रखना चाहिए कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

परिभाषा

अंत में, ज्यामितीय आधार की ठोस समझ के साथ, हम कोण की साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा की ओर मुड़ सकते हैं।

एक कोण की साइन कर्ण के विपरीत पैर (यानी, वांछित कोण के विपरीत पक्ष) का अनुपात है। कोण का कोसाइन अनुपात है बगल का पैरकर्ण को।

याद रखें कि न तो साइन और न ही कोसाइन एक से अधिक हो सकते हैं! क्यों? क्योंकि कर्ण डिफ़ॉल्ट रूप से सबसे लंबा होता है, पैर कितना भी लंबा क्यों न हो, वह कर्ण से छोटा होगा, जिसका अर्थ है कि उनका अनुपात हमेशा एक से कम होगा। इस प्रकार, यदि आपको समस्या के उत्तर में 1 से अधिक मान वाली साइन या कोसाइन मिलती है, तो गणना या तर्क में त्रुटि की तलाश करें। यह उत्तर स्पष्ट रूप से गलत है।

अंत में, एक कोण की स्पर्शरेखा, विपरीत भुजा का सन्निकट भुजा से अनुपात है। वही परिणाम कोसाइन द्वारा साइन का विभाजन देगा। देखिए: सूत्र के अनुसार, हम भुजा की लंबाई को कर्ण से विभाजित करते हैं, जिसके बाद हम दूसरी भुजा की लंबाई से विभाजित करते हैं और कर्ण से गुणा करते हैं। इस प्रकार, हम स्पर्शरेखा की परिभाषा के समान अनुपात प्राप्त करते हैं।

कॉटैंजेंट, क्रमशः, कोने से सटे पक्ष का अनुपात विपरीत दिशा में है। इकाई को स्पर्शरेखा से विभाजित करने पर हमें वही परिणाम मिलता है।

इसलिए, हमने साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाओं पर विचार किया है, और हम सूत्रों से निपट सकते हैं।

सबसे सरल सूत्र

त्रिकोणमिति में, सूत्रों के बिना कोई नहीं कर सकता है - उनके बिना साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कॉटैंगेंट कैसे खोजें? और समस्याओं को हल करते समय ठीक यही आवश्यक है।

त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करते समय आपको जो पहला सूत्र जानने की आवश्यकता है, वह कहता है कि कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों का योग एक के बराबर है। यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है, लेकिन यदि आप कोण का मान जानना चाहते हैं, न कि भुजा का, तो इससे समय की बचत होती है।

कई छात्रों को दूसरा फॉर्मूला याद नहीं रहता, जो हल करने में भी काफी लोकप्रिय है स्कूल के कार्य: एक और एक कोण के स्पर्शरेखा के वर्ग का योग कोण के कोज्या के वर्ग से विभाजित एक के बराबर होता है। करीब से देखें: आखिरकार, यह वही कथन है जो पहले सूत्र में था, केवल पहचान के दोनों पक्षों को कोसाइन के वर्ग द्वारा विभाजित किया गया था। यह पता चला है कि एक साधारण गणितीय ऑपरेशन त्रिकोणमितीय सूत्र को पूरी तरह से पहचानने योग्य नहीं बनाता है। याद रखें: एक साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श क्या है, रूपांतरण नियम और कुछ बुनियादी सूत्र जानने के बाद, आप किसी भी समय आवश्यक अधिक प्राप्त कर सकते हैं जटिल सूत्रकागज के एक टुकड़े पर।

दोहरे कोण सूत्र और तर्कों का जोड़

दो और सूत्र जिन्हें आपको सीखने की आवश्यकता है, वे कोणों के योग और अंतर के लिए साइन और कोसाइन के मूल्यों से संबंधित हैं। उन्हें नीचे चित्र में दिखाया गया है। कृपया ध्यान दें कि पहले मामले में, साइन और कोसाइन दोनों बार गुणा किए जाते हैं, और दूसरे में, साइन और कोसाइन का जोड़ीदार उत्पाद जोड़ा जाता है।

दोहरे कोण वाले तर्कों से जुड़े सूत्र भी हैं। वे पिछले वाले से पूरी तरह से व्युत्पन्न हैं - एक अभ्यास के रूप में, अल्फा कोण लेकर उन्हें स्वयं प्राप्त करने का प्रयास करें कोण के बराबरबीटा।

अंत में, ध्यान दें कि दोहरे कोण के सूत्रों को साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा अल्फा की निम्न डिग्री में परिवर्तित किया जा सकता है।

प्रमेयों

बुनियादी त्रिकोणमिति में दो मुख्य प्रमेय साइन प्रमेय और कोसाइन प्रमेय हैं। इन प्रमेयों की मदद से, आप आसानी से समझ सकते हैं कि साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा कैसे खोजें, और इसलिए आकृति का क्षेत्रफल, और प्रत्येक पक्ष का आकार, आदि।

साइन प्रमेय बताता है कि त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई को विपरीत कोण के मान से विभाजित करने के परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं वही संख्या. इसके अलावा, यह संख्या परिबद्ध वृत्त की दो त्रिज्याओं के बराबर होगी, अर्थात, दिए गए त्रिभुज के सभी बिंदुओं को समाहित करने वाला वृत्त।

कोसाइन प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय का सामान्यीकरण करता है, इसे किसी भी त्रिभुज पर प्रक्षेपित करता है। यह पता चला है कि दोनों पक्षों के वर्गों के योग से, उनके उत्पाद को उनके समीप के कोण के दोहरे कोसाइन से गुणा करके घटाया जाता है - परिणामी मूल्य तीसरे पक्ष के वर्ग के बराबर होगा। इस प्रकार, पाइथागोरस प्रमेय कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला निकला।

असावधानी के कारण गलतियाँ

यह जानते हुए भी कि साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा क्या हैं, अनुपस्थित-मन या सरलतम गणनाओं में त्रुटि के कारण गलती करना आसान है। ऐसी गलतियों से बचने के लिए, आइए उनमें से सबसे लोकप्रिय से परिचित हों।

सबसे पहले, आपको अंतिम परिणाम प्राप्त होने तक साधारण अंशों को दशमलव में नहीं बदलना चाहिए - आप उत्तर को फॉर्म में छोड़ सकते हैं सामान्य अंशजब तक कि स्थिति अन्यथा न बताए। इस तरह के परिवर्तन को गलती नहीं कहा जा सकता है, लेकिन यह याद रखना चाहिए कि समस्या के प्रत्येक चरण में नई जड़ें दिखाई दे सकती हैं, जिन्हें लेखक के अनुसार कम किया जाना चाहिए। इस मामले में, आप अनावश्यक गणितीय परिचालनों पर समय बर्बाद करेंगे। यह तीन या दो की जड़ जैसे मूल्यों के लिए विशेष रूप से सच है, क्योंकि वे प्रत्येक चरण में कार्यों में होते हैं। "बदसूरत" संख्याओं को गोल करने पर भी यही बात लागू होती है।

इसके अलावा, ध्यान दें कि कोज्या प्रमेय किसी भी त्रिभुज पर लागू होता है, लेकिन पाइथागोरस प्रमेय पर नहीं! यदि आप गलती से उनके बीच के कोण के कोसाइन से गुणा किए गए पक्षों के उत्पाद को दो बार घटाना भूल जाते हैं, तो आपको न केवल पूरी तरह से गलत परिणाम मिलेगा, बल्कि विषय की पूरी गलतफहमी भी प्रदर्शित होगी। यह एक लापरवाह गलती से भी बदतर है।

तीसरा, ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श के लिए 30 और 60 डिग्री के कोणों के मानों को भ्रमित न करें। इन मूल्यों को याद रखें, क्योंकि 30 डिग्री की ज्या 60 की कोज्या के बराबर है, और इसके विपरीत। उन्हें मिलाना आसान है, जिसके परिणामस्वरूप आपको अनिवार्य रूप से एक गलत परिणाम मिलेगा।

आवेदन

बहुत से छात्र त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करने की जल्दी में नहीं हैं, क्योंकि वे इसके लागू अर्थ को नहीं समझते हैं। इंजीनियर या खगोलविद के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा क्या है? ये ऐसी अवधारणाएँ हैं जिनकी बदौलत आप दूर के तारों की दूरी की गणना कर सकते हैं, उल्कापिंड के गिरने की भविष्यवाणी कर सकते हैं, दूसरे ग्रह पर शोध जाँच भेज सकते हैं। उनके बिना, एक इमारत का निर्माण करना, एक कार को डिजाइन करना, सतह पर भार या किसी वस्तु के प्रक्षेपवक्र की गणना करना असंभव है। और ये केवल सबसे स्पष्ट उदाहरण हैं! आखिरकार, संगीत से लेकर चिकित्सा तक, हर जगह त्रिकोणमिति का एक या दूसरे रूप में उपयोग किया जाता है।

आखिरकार

तो आप साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा हैं। आप उन्हें गणना में उपयोग कर सकते हैं और स्कूल की समस्याओं को सफलतापूर्वक हल कर सकते हैं।

त्रिकोणमिति का पूरा सार इस तथ्य पर निर्भर करता है कि अज्ञात मापदंडों की गणना त्रिभुज के ज्ञात मापदंडों से की जानी चाहिए। कुल छह पैरामीटर हैं: लंबाई तीन पक्षऔर तीन कोणों के आयाम। कार्यों में संपूर्ण अंतर इस तथ्य में निहित है कि विभिन्न इनपुट डेटा दिए गए हैं।

पैरों या कर्ण की ज्ञात लंबाई के आधार पर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा कैसे ज्ञात करें, अब आप जानते हैं। चूँकि इन शब्दों का मतलब एक अनुपात से ज्यादा कुछ नहीं है, और एक अनुपात एक अंश है, त्रिकोणमितीय समस्या का मुख्य लक्ष्य एक साधारण समीकरण या समीकरणों की प्रणाली की जड़ों को खोजना है। और यहाँ आपको सामान्य स्कूली गणित से मदद मिलेगी।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटैंगेंट की अवधारणाएं त्रिकोणमिति की मुख्य श्रेणियां हैं - गणित की एक शाखा, और एक कोण की परिभाषा के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। इस गणितीय विज्ञान के कब्जे के लिए याद रखने और सूत्रों और प्रमेयों की समझ के साथ-साथ विकसित स्थानिक सोच की आवश्यकता होती है। इसीलिए त्रिकोणमितीय गणना अक्सर स्कूली बच्चों और छात्रों के लिए मुश्किलें पैदा करती हैं। उन्हें दूर करने के लिए, आपको त्रिकोणमितीय कार्यों और सूत्रों से अधिक परिचित होना चाहिए।

त्रिकोणमिति में अवधारणाएँ

त्रिकोणमिति की बुनियादी अवधारणाओं को समझने के लिए, आपको सबसे पहले यह तय करना होगा कि एक वृत्त में एक समकोण त्रिभुज और कोण क्या हैं, और सभी बुनियादी त्रिकोणमितीय गणनाएँ उनके साथ क्यों जुड़ी हुई हैं। एक त्रिभुज जिसका एक कोण 90 अंश का हो, समकोण त्रिभुज कहलाता है। ऐतिहासिक रूप से, यह आंकड़ा अक्सर लोगों द्वारा वास्तुकला, नेविगेशन, कला, खगोल विज्ञान में उपयोग किया जाता था। तदनुसार, इस आंकड़े के गुणों का अध्ययन और विश्लेषण करते हुए, लोग इसके मापदंडों के संगत अनुपात की गणना करने आए।

समकोण त्रिभुजों से जुड़ी मुख्य श्रेणियां कर्ण और पैर हैं। कर्ण त्रिभुज की वह भुजा है जो समकोण के विपरीत होती है। पैर, क्रमशः, अन्य दो भुजाएँ हैं। किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है।

गोलाकार त्रिकोणमिति त्रिकोणमिति की एक शाखा है जिसका अध्ययन स्कूल में नहीं किया जाता है, लेकिन में अनुप्रयुक्त विज्ञानजैसे कि खगोल विज्ञान और भूगणित, वैज्ञानिक इसका उपयोग करते हैं। गोलाकार त्रिकोणमिति में त्रिभुज की एक विशेषता यह है कि इसमें हमेशा 180 डिग्री से अधिक कोणों का योग होता है।

त्रिभुज के कोण

एक समकोण त्रिभुज में, एक कोण की ज्या त्रिभुज के कर्ण के वांछित कोण के विपरीत पैर का अनुपात है। तदनुसार, कोसाइन आसन्न पैर और कर्ण का अनुपात है। इन दोनों मानों का मान हमेशा एक से कम होता है, क्योंकि कर्ण हमेशा पैर से अधिक लंबा होता है।

एक कोण का स्पर्शरेखा वांछित कोण के आसन्न पैर के विपरीत पैर के अनुपात के बराबर मान है, या साइन से कोसाइन है। कॉटैंजेंट, बदले में, विपरीत कैक्टेट के वांछित कोण के आसन्न पैर का अनुपात है। इकाई को स्पर्शरेखा के मान से भाग देकर कोण की कोटिस्पर्श रेखा भी प्राप्त की जा सकती है।

यूनिट सर्कल

ज्यामिति में एक इकाई वृत्त एक ऐसा वृत्त होता है जिसकी त्रिज्या एक के बराबर होती है। इस तरह के एक सर्कल कार्तीय समन्वय प्रणाली में बनाया गया है, सर्कल के केंद्र के मूल बिंदु के साथ मेल खाता है, और त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति एक्स अक्ष (एब्सिस्सा अक्ष) की सकारात्मक दिशा से निर्धारित होती है। वृत्त के प्रत्येक बिंदु के दो निर्देशांक होते हैं: XX और YY, यानी भुज और कोटि के निर्देशांक। एक्सएक्स विमान में सर्कल पर किसी भी बिंदु का चयन करना, और इससे लंब को एब्सिस्सा अक्ष पर छोड़ना, हमें त्रिज्या द्वारा चयनित बिंदु पर एक सही त्रिकोण मिलता है (चलो इसे अक्षर सी द्वारा निरूपित करते हैं), एक लंब खींचा गया एक्स अक्ष (प्रतिच्छेदन बिंदु को अक्षर जी द्वारा निरूपित किया जाता है), और मूल (बिंदु को अक्षर ए द्वारा दर्शाया गया है) और चौराहे बिंदु जी के बीच भुज अक्ष का एक खंड। एक वृत्त, जहाँ AG कर्ण है, और AC और GC पैर हैं। पदनाम AG के साथ वृत्त AC की त्रिज्या और भुज अक्ष के खंड के बीच का कोण, हम α (अल्फा) के रूप में परिभाषित करते हैं। अतः, cos α = AG/AC। यह देखते हुए कि AC इकाई वृत्त की त्रिज्या है, और यह एक के बराबर है, यह पता चला है कि cos α=AG. इसी प्रकार, sin α=CG.

इसके अलावा, इन आंकड़ों को जानने के बाद, वृत्त पर बिंदु C के निर्देशांक को निर्धारित करना संभव है, क्योंकि cos α=AG, और sin α=CG, जिसका अर्थ है कि बिंदु C में दिए गए निर्देशांक हैं (cos α; sin α)। यह जानते हुए कि स्पर्शरेखा साइन से कोसाइन के अनुपात के बराबर है, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि tg α \u003d y / x, और ctg α \u003d x / y। एक नकारात्मक समन्वय प्रणाली में कोणों को ध्यान में रखते हुए, यह गणना की जा सकती है कि कुछ कोणों के साइन और कोसाइन मान नकारात्मक हो सकते हैं।

गणना और बुनियादी सूत्र

त्रिकोणमितीय कार्यों का मान

यूनिट सर्कल के माध्यम से त्रिकोणमितीय कार्यों के सार पर विचार करने के बाद, हम इन कार्यों के मूल्यों को कुछ कोणों के लिए प्राप्त कर सकते हैं। मान नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं।

सबसे सरल त्रिकोणमितीय पहचान

जिन समीकरणों में त्रिकोणमितीय फलन के चिन्ह के नीचे कोई अज्ञात मान होता है उन्हें त्रिकोणमितीय कहते हैं। मान sin x = α के साथ सर्वसमिका, k कोई पूर्णांक है:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk।
3. पाप x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk।
4. पाप एक्स = ए, |ए| > 1, कोई समाधान नहीं।
5. पाप एक्स = ए, |ए| ≦ 1, x = (-1)^k * आर्क्सिन α + πk।

मान cos x = a के साथ सर्वसमिका, जहाँ k कोई पूर्णांक है:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk।
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk।
4. cos x = a, |a| > 1, कोई समाधान नहीं।
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk।

tg x = a के मान वाली सर्वसमिकाएँ, जहाँ k कोई पूर्णांक है:

1. टीजी एक्स = 0, एक्स = π/2 + πk।
2. टीजी एक्स \u003d ए, एक्स \u003d आर्कटग α + πk।

मान ctg x = a के साथ सर्वसमिका, जहाँ k कोई पूर्णांक है:

1. सीटीजी एक्स = 0, एक्स = π/2 + πk।
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk।

कास्ट सूत्र

स्थिर सूत्रों की यह श्रेणी उन विधियों को दर्शाती है जिनके द्वारा आप प्रपत्र के त्रिकोणमितीय कार्यों से तर्क के कार्यों तक जा सकते हैं, अर्थात, किसी भी मान के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श को कोण के संबंधित संकेतकों में परिवर्तित कर सकते हैं। गणना की अधिक सुविधा के लिए 0 से 90 डिग्री का अंतराल।

कोण की ज्या के लिए कार्यों को कम करने के सूत्र इस तरह दिखते हैं:

• पाप (900 - α) = α;
• पाप (900 + α) = cos α;
• पाप (1800 - α) = पाप α;
• पाप (1800 + α) = -पाप α;
• पाप (2700 - α) = -cos α;
• पाप (2700 + α) = -cos α;
• पाप (3600 - α) = -पाप α;
• पाप (3600 + α) = पाप α।

कोण के कोसाइन के लिए:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• कॉस (3600 - α) = कॉस α;
• कॉस (3600 + α) = कॉस α।

उपरोक्त सूत्रों का उपयोग दो नियमों के अधीन संभव है। सबसे पहले, यदि कोण को मान (π/2 ± a) या (3π/2 ± a) के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो फ़ंक्शन का मान बदल जाता है:

• पाप से कोस तक;
• क्योंकि पाप से;
• टीजी से सीटीजी तक;
• सीटीजी से टीजी तक।

यदि कोण को (π ± a) या (2π ± a) के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो फलन का मान अपरिवर्तित रहता है।

दूसरे, घटे हुए कार्य का संकेत नहीं बदलता है: यदि यह शुरू में सकारात्मक था, तो ऐसा ही रहता है। नकारात्मक कार्यों के लिए भी यही सच है।

अतिरिक्त सूत्र

ये सूत्र उनके द्वारा घूर्णन के दो कोणों के योग और अंतर के ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के मूल्यों को व्यक्त करते हैं त्रिकोणमितीय कार्य. कोणों को आमतौर पर α और β के रूप में दर्शाया जाता है।

सूत्र इस तरह दिखते हैं:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β)।
4. सीटीजी (α ± β) = (-1 ± सीटीजी α * सीटीजी β) / (सीटीजी α ± सीटीजी β)।

ये सूत्र किसी भी कोण α और β के लिए मान्य हैं।

डबल और ट्रिपल कोण सूत्र

एक दोहरे और तिहरे कोण के त्रिकोणमितीय सूत्र वे सूत्र हैं जो कोण α के त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए क्रमशः कोण 2α और 3α के कार्यों से संबंधित हैं। अतिरिक्त सूत्रों से व्युत्पन्न:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α।
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α)।
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α।
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα।
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α)।

योग से उत्पाद में संक्रमण

यह मानते हुए कि 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), इस सूत्र को सरल बनाने पर, हम पहचान sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α - β)/2 प्राप्त करते हैं। इसी तरह, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α - β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

उत्पाद से योग में संक्रमण

ये सूत्र उत्पाद के योग के संक्रमण के लिए पहचान से अनुसरण करते हैं:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

कमी के सूत्र

इन सर्वसमिकाओं में, साइन और कोसाइन की वर्ग और घन शक्ति को बहु कोण की पहली शक्ति के साइन और कोसाइन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

सार्वभौमिक प्रतिस्थापन

सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन सूत्र त्रिकोणमितीय कार्यों को आधे कोण के स्पर्शरेखा के संदर्भ में व्यक्त करते हैं।

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), जबकि x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), जहाँ x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), जहाँ x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), जबकि x \u003d π + 2πn।

विशेष स्थितियां

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों के विशेष मामले नीचे दिए गए हैं (k कोई पूर्णांक है)।

साइन के लिए निजी:

कोसाइन भागफल:

स्पर्शरेखा के लिए निजी:

स्पर्शरेखा गुणांक:

प्रमेयों

ज्या प्रमेय

प्रमेय के दो संस्करण हैं - सरल और विस्तारित। सरल ज्या प्रमेय: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. इस स्थिति में, a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और α, β, γ क्रमशः विपरीत कोण हैं।

एक स्वेच्छ त्रिभुज के लिए विस्तारित ज्या प्रमेय: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R। इस पहचान में, R उस वृत्त की त्रिज्या को दर्शाता है जिसमें दिए गए त्रिभुज को अंकित किया गया है।

कोसाइन प्रमेय

पहचान इस प्रकार प्रदर्शित होती है: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α। सूत्र में, a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और α विपरीत भुजा a का कोण है।

स्पर्शरेखा प्रमेय

सूत्र दो कोणों की स्पर्श रेखाओं और उनके विपरीत भुजाओं की लंबाई के बीच के संबंध को व्यक्त करता है। पक्षों को ए, बी, सी, और संबंधित विपरीत कोण α, β, γ लेबल किया गया है। स्पर्शरेखा प्रमेय का सूत्र: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

स्पर्शरेखा प्रमेय

एक त्रिभुज में खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या को उसकी भुजाओं की लंबाई से संबद्ध करता है। यदि a, b, c एक त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और A, B, C, क्रमशः उनके विपरीत कोण हैं, तो r खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या है, और p त्रिभुज की अर्ध-परिधि है, निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ पकड़:

• सीटीजी ए/2 = (पी-ए)/आर;
• सीटीजी बी/2 = (पी-बी)/आर;
• सीटीजी सी/2 = (पी-सी)/आर।

अनुप्रयोग

त्रिकोणमिति केवल गणितीय सूत्रों से जुड़ा सैद्धांतिक विज्ञान नहीं है। इसके गुणों, प्रमेयों और नियमों का उपयोग विभिन्न उद्योगों द्वारा व्यवहार में किया जाता है मानवीय गतिविधि- खगोल विज्ञान, वायु और समुद्री नेविगेशन, संगीत सिद्धांत, भूगणित, रसायन विज्ञान, ध्वनिकी, प्रकाशिकी, इलेक्ट्रॉनिक्स, वास्तुकला, अर्थशास्त्र, मैकेनिकल इंजीनियरिंग, मापने का कार्य, कंप्यूटर ग्राफिक्स, नक्शानवीसी, समुद्र विज्ञान, और कई अन्य।

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट त्रिकोणमिति की मूल अवधारणाएं हैं, जिनके साथ आप त्रिकोण में कोणों और भुजाओं की लंबाई के बीच के संबंध को गणितीय रूप से व्यक्त कर सकते हैं, और सर्वसमिकाओं, प्रमेयों और नियमों के माध्यम से वांछित मात्राएं पा सकते हैं।

इस लेख में, हम एक व्यापक नज़र डालेंगे। मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं समानताएं हैं जो साइन, कोज्या, स्पर्शरेखा और एक कोण की कोटिस्पर्श रेखा के बीच संबंध स्थापित करती हैं, और आपको ज्ञात अन्य के माध्यम से इनमें से किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को खोजने की अनुमति देती हैं।

हम मुख्य त्रिकोणमितीय पहचानों को तुरंत सूचीबद्ध करते हैं, जिनका हम इस लेख में विश्लेषण करेंगे। हम उन्हें एक तालिका में लिखते हैं, और नीचे हम इन सूत्रों की व्युत्पत्ति देते हैं और आवश्यक स्पष्टीकरण देते हैं।

पेज नेविगेशन।

एक कोण के ज्या और कोसाइन के बीच संबंध

कभी-कभी वे उपरोक्त तालिका में सूचीबद्ध मुख्य त्रिकोणमितीय पहचानों के बारे में नहीं, बल्कि एक एकल के बारे में बात करते हैं बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचानदयालु . इस तथ्य के लिए स्पष्टीकरण काफी सरल है: मूल त्रिकोणमितीय पहचान से इसके दोनों भागों को क्रमशः और समानता से विभाजित करने के बाद समानताएं प्राप्त की जाती हैं। और ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, और cotangent की परिभाषाओं से पालन करें। हम निम्नलिखित पैराग्राफ में इस पर अधिक विस्तार से चर्चा करेंगे।

अर्थात्, यह वह समानता है जो विशेष रुचि की है, जिसे मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान का नाम दिया गया था।

मूल त्रिकोणमितीय पहचान को सिद्ध करने से पहले, हम इसका सूत्रीकरण देते हैं: एक कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों का योग समान रूप से एक के बराबर होता है। अब इसे साबित करते हैं।

बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान बहुत बार उपयोग की जाती है त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों का परिवर्तन. यह एक कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों के योग को एक से बदलने की अनुमति देता है। बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान का कम अक्सर उपयोग नहीं किया जाता है उल्टे क्रम: इकाई को किसी कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों के योग से बदल दिया जाता है।

साइन और कोसाइन के माध्यम से स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श

रूप के एक कोण के साइन और कोसाइन के साथ स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श को जोड़ने वाली पहचान और तुरंत ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाओं का पालन करें। वास्तव में, परिभाषा के अनुसार, ज्या y की कोटि है, कोसाइन x का भुज है, स्पर्शरेखा भुज के लिए कोटि का अनुपात है, अर्थात, , और cotangent कोटि के भुज का अनुपात है, अर्थात, .

पहचान की इस स्पष्टता के कारण और अक्सर स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श की परिभाषाएँ भुज और कोटि के अनुपात के माध्यम से नहीं, बल्कि साइन और कोसाइन के अनुपात के माध्यम से दी जाती हैं। तो एक कोण की स्पर्शरेखा इस कोण के साइन से कोसाइन का अनुपात है, और कॉटेंजेंट कोसाइन से साइन का अनुपात है।

इस खंड को समाप्त करने के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पहचान और ऐसे सभी कोणों के लिए होल्ड करें जिनके लिए उनमें त्रिकोणमितीय फलन अर्थपूर्ण हों। तो सूत्र किसी भी अन्य के लिए मान्य है (अन्यथा भाजक शून्य होगा, और हमने विभाजन को शून्य से परिभाषित नहीं किया है), और सूत्र - सभी के लिए, से भिन्न, जहाँ z कोई है।

स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के बीच संबंध

पिछले दो की तुलना में एक और भी अधिक स्पष्ट त्रिकोणमितीय पहचान, एक कोण के स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श को जोड़ने वाली पहचान है . यह स्पष्ट है कि यह के अलावा किसी भी कोण के लिए होता है, अन्यथा या तो स्पर्शरेखा या कोटिस्पर्श परिभाषित नहीं होता है।

सूत्र का प्रमाण बहुत सरल। परिभाषा के अनुसार और कहाँ से . सबूत को थोड़े अलग तरीके से अंजाम दिया जा सकता था। चूंकि और , वह .

तो, एक कोण की स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श रेखा, जिस पर वे समझ में आते हैं, है।

भाषण: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, मनमाना कोण का कोटिस्पर्श

साइन, एक मनमाना कोण का कोसाइन

यह समझने के लिए कि त्रिकोणमितीय कार्य क्या हैं, आइए एक इकाई त्रिज्या वाले वृत्त की ओर मुड़ें। यह वृत्त समन्वय तल पर मूल बिंदु पर केंद्रित है। निर्धारण के लिए कार्य निर्धारित करेंहम त्रिज्या वेक्टर का उपयोग करेंगे या, जो वृत्त के केंद्र और बिंदु से शुरू होता है आरवृत्त पर एक बिंदु है। यह त्रिज्या वेक्टर अक्ष के साथ एक कोण अल्फा बनाता है ओह. चूँकि वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर है, तब या = आर = 1.

अगर बिंदु से आरअक्ष पर लम्बवत् गिराओ ओह, तब हमें कर्ण के साथ एक समकोण त्रिभुज मिलता है।

यदि त्रिज्या वेक्टर दक्षिणावर्त चलता है, तब यह दिशाबुलाया नकारात्मक, लेकिन अगर यह वामावर्त चलती है - सकारात्मक.

एक कोण की ज्या या, बिंदु की कोटि है आरएक सर्कल पर वैक्टर।

अर्थात्, किसी दिए गए कोण अल्फा के साइन का मान प्राप्त करने के लिए, निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है परसतह पर।

यह मान कैसे प्राप्त हुआ? चूँकि हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में एक मनमाना कोण की ज्या कर्ण के विपरीत पैर का अनुपात है, हम पाते हैं कि

और तबसे आर = 1, वह पाप (α) = वाई 0 .

यूनिट सर्कल में, ऑर्डिनेट मान -1 से कम और 1 से अधिक नहीं हो सकता है, जिसका अर्थ है

यूनिट सर्कल की पहली और दूसरी तिमाही में ज्या सकारात्मक है, और तीसरी और चौथी तिमाही में नकारात्मक है।

एक कोण की कोसाइनदिया गया सर्कल त्रिज्या वेक्टर द्वारा गठित या, बिंदु का भुज है आरएक सर्कल पर वैक्टर।

अर्थात्, किसी दिए गए कोण अल्फा के कोसाइन का मान प्राप्त करने के लिए, निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है एक्ससतह पर।

एक समकोण त्रिभुज में एक मनमाना कोण का कोसाइन कर्ण के निकटवर्ती पैर का अनुपात है, हमें वह मिलता है

और तबसे आर = 1, वह कॉस (α) = एक्स 0 .

यूनिट सर्कल में, भुज का मान -1 से कम और 1 से अधिक नहीं हो सकता है, जिसका अर्थ है कि

यूनिट सर्कल के पहले और चौथे चतुर्भुज में कोसाइन सकारात्मक है, और दूसरे और तीसरे में नकारात्मक है।

स्पर्शरेखामनमाना कोणसाइन से कोसाइन के अनुपात की गणना की जाती है।

यदि हम एक समकोण त्रिभुज पर विचार करते हैं, तो यह विपरीत पैर के आसन्न पैर का अनुपात है। अगर हम बात कर रहे हैंयूनिट सर्कल के बारे में, तो यह भुज के लिए समन्वय का अनुपात है।

इन संबंधों को देखते हुए, यह समझा जा सकता है कि स्पर्शरेखा का अस्तित्व नहीं हो सकता है यदि भुज का मान शून्य है, अर्थात 90 डिग्री के कोण पर। स्पर्शरेखा अन्य सभी मान ले सकती है।

स्पर्शरेखा यूनिट सर्कल की पहली और तीसरी तिमाही में सकारात्मक है, और दूसरी और चौथी तिमाही में नकारात्मक है।