Równania kwadratowe uczymy się w ósmej klasie, więc nie ma tu nic skomplikowanego. Umiejętność ich rozwiązywania jest absolutnie konieczna.
Równanie kwadratowe to równanie w postaci ax 2 + bx + c = 0, gdzie współczynniki a, b i c są liczbami dowolnymi, a a ≠ 0.
Przed przestudiowaniem konkretnych metod rozwiązywania należy pamiętać, że wszystkie równania kwadratowe można podzielić na trzy klasy:
Jest to istotna różnica między równaniami kwadratowymi a równaniami liniowymi, w których pierwiastek zawsze istnieje i jest unikalny. Jak ustalić, ile pierwiastków ma równanie? Jest w tym coś cudownego - dyskryminujący.
Niech zostanie podane równanie kwadratowe ax 2 + bx + c = 0. Wtedy wyróżnikiem będzie po prostu liczba D = b 2 - 4ac.
Tę formułę musisz znać na pamięć. Skąd pochodzi, nie jest teraz istotne. Ważna jest jeszcze jedna rzecz: po znaku dyskryminatora można określić, ile pierwiastków ma równanie kwadratowe. Mianowicie:
Uwaga: dyskryminator wskazuje liczbę korzeni, a nie ich znaki, jak z jakiegoś powodu wielu ludzi uważa. Spójrz na przykłady, a sam wszystko zrozumiesz:
Zadanie. Ile pierwiastków mają równania kwadratowe:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 - 6x + 9 = 0.
Wypiszmy współczynniki pierwszego równania i znajdźmy dyskryminator:
a = 1, b = -8, c = 12;
re = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16
Zatem dyskryminator jest dodatni, więc równanie ma dwa różne pierwiastki. Drugie równanie analizujemy w podobny sposób:
a = 5; b = 3; c = 7;
re = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.
Dyskryminator jest ujemny, nie ma pierwiastków. Ostatnie równanie jakie pozostało to:
a = 1; b = -6; c = 9;
re = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.
Dyskryminator wynosi zero - pierwiastek będzie wynosić jeden.
Należy pamiętać, że dla każdego równania zapisano współczynniki. Tak, jest długi, tak, jest nudny, ale nie pomylisz szans i nie popełnisz głupich błędów. Wybierz dla siebie: szybkość lub jakość.
Nawiasem mówiąc, jeśli opanujesz tę czynność, po pewnym czasie nie będziesz musiał zapisywać wszystkich współczynników. Takie operacje będziesz wykonywać w swojej głowie. Większość ludzi zaczyna to robić gdzieś po 50-70 rozwiązanych równaniach - ogólnie rzecz biorąc, nie tak dużo.
Przejdźmy teraz do samego rozwiązania. Jeżeli dyskryminator D > 0, pierwiastki można znaleźć korzystając ze wzorów:
Podstawowa formuła korzenia równanie kwadratowe
Gdy D = 0, możesz użyć dowolnego z tych wzorów - otrzymasz tę samą liczbę, która będzie odpowiedzią. Wreszcie, jeśli D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x 2 = 0;
- x 2 + 12 x + 36 = 0.
Pierwsze równanie:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ za = 1; b = -2; c = -3;
re = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.
D > 0 ⇒ równanie ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je:
Drugie równanie:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ za = −1; b = -2; c = 15;
re = (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ równanie ponownie ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]
Wreszcie trzecie równanie:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
re = 12 2 - 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ równanie ma jeden pierwiastek. Można zastosować dowolną formułę. Na przykład pierwszy:
Jak widać na przykładach, wszystko jest bardzo proste. Jeśli znasz wzory i potrafisz liczyć, nie będzie żadnych problemów. Najczęściej błędy pojawiają się przy podstawieniu do wzoru współczynników ujemnych. Tutaj znowu pomoże opisana powyżej technika: spójrz na formułę dosłownie, zapisz każdy krok - a już wkrótce pozbędziesz się błędów.
Zdarza się, że równanie kwadratowe różni się nieco od tego, co podano w definicji. Na przykład:
Łatwo zauważyć, że w równaniach tych brakuje jednego z członów. Takie równania kwadratowe są jeszcze łatwiejsze do rozwiązania niż standardowe: nie wymagają nawet obliczania dyskryminatora. Wprowadźmy więc nową koncepcję:
Równanie ax 2 + bx + c = 0 nazywa się niepełnym równaniem kwadratowym, jeśli b = 0 lub c = 0, tj. współczynnik zmiennej x lub elementu wolnego jest równy zero.
Oczywiście bardzo trudny przypadek jest możliwy, gdy oba te współczynniki są równe zero: b = c = 0. W tym przypadku równanie przyjmuje postać ax 2 = 0. Oczywiście takie równanie ma jeden pierwiastek: x = 0.
Rozważmy pozostałe przypadki. Niech b = 0, wówczas otrzymamy niepełne równanie kwadratowe o postaci ax 2 + c = 0. Przekształćmy to trochę:
Od arytmetyki pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczby nieujemnej, ostatnia równość ma sens tylko dla (−c /a) ≥ 0. Wniosek:
Jak widać, dyskryminator nie był wymagany — w niekompletnych równaniach kwadratowych nie ma żadnych skomplikowanych obliczeń. Właściwie nie trzeba nawet pamiętać nierówności (−c /a) ≥ 0. Wystarczy wyrazić wartość x 2 i zobaczyć, co jest po drugiej stronie znaku równości. Jeśli jest liczba dodatnia, będą dwa pierwiastki. Jeśli będzie ujemny, w ogóle nie będzie korzeni.
Przyjrzyjmy się teraz równaniom postaci ax 2 + bx = 0, w których element wolny jest równy zero. Tutaj wszystko jest proste: zawsze będą dwa korzenie. Wystarczy rozłożyć wielomian na czynniki:
Wyjmując wspólny czynnik z nawiasówIloczyn wynosi zero, gdy co najmniej jeden z czynników wynosi zero. To stąd pochodzą korzenie. Podsumowując, spójrzmy na kilka z tych równań:
Zadanie. Rozwiązuj równania kwadratowe:
- x 2 - 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 - 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nie ma korzeni, bo kwadrat nie może być równy liczbie ujemnej.
4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.
Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)
Co to jest równanie kwadratowe? Jak to wygląda? W terminie równanie kwadratowe słowo kluczowe to "kwadrat". Oznacza to, że w równaniu Koniecznie musi być x kwadrat. Oprócz tego równanie może (ale nie musi!) zawierać tylko X (do pierwszej potęgi) i tylko liczbę (członek wolny). I nie powinno być żadnych X-ów do stopnia dwa.
Z matematycznego punktu widzenia równanie kwadratowe jest równaniem w postaci:
Tutaj a, b i c- kilka liczb. b i c- absolutnie dowolne, ale A– cokolwiek innego niż zero. Na przykład:
Tutaj A =1; B = 3; C = -4
Tutaj A =2; B = -0,5; C = 2,2
Tutaj A =-3; B = 6; C = -18
Cóż, rozumiesz...
W tych równaniach kwadratowych po lewej stronie jest kompletny zestaw członkowie. X do kwadratu ze współczynnikiem A, x do pierwszej potęgi ze współczynnikiem B I wolny członek s.
Takie równania kwadratowe nazywane są pełny.
A co jeśli B= 0, co otrzymamy? Mamy X zostanie utracone do pierwszej potęgi. Dzieje się tak po pomnożeniu przez zero.) Okazuje się na przykład:
5x 2 -25 = 0,
2x 2 -6x=0,
-x2 +4x=0
Itp. A jeśli oba współczynniki B I C są równe zeru, to jest jeszcze prościej:
2x 2 = 0,
-0,3x2 =0
Takie równania, w których czegoś brakuje, nazywane są niekompletne równania kwadratowe. Co jest całkiem logiczne.) Proszę zauważyć, że x kwadrat występuje we wszystkich równaniach.
Swoją drogą, dlaczego A nie może być równe zeru? I zamiast tego zastępujesz A zero.) Nasz kwadrat X zniknie! Równanie stanie się liniowe. A rozwiązanie jest zupełnie inne...
To wszystkie główne typy równań kwadratowych. Kompletne i niekompletne.
Równania kwadratowe są łatwe do rozwiązania. Według formuł i jasnych, prostych zasad. W pierwszym etapie należy sprowadzić dane równanie do widok standardowy, tj. do formularza:
Jeśli równanie zostało już podane w tej formie, nie musisz wykonywać pierwszego etapu.) Najważniejsze jest prawidłowe określenie wszystkich współczynników, A, B I C.
Wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego wygląda następująco:
Wyrażenie pod znakiem głównym nazywa się dyskryminujący. Ale więcej o nim poniżej. Jak widać, aby znaleźć X, używamy tylko a, b i c. Te. współczynniki z równania kwadratowego. Po prostu ostrożnie zamień wartości a, b i c Obliczamy według tego wzoru. Zastąpmy z własnymi znakami! Na przykład w równaniu:
A =1; B = 3; C= -4. Tutaj to zapisujemy:
Przykład jest prawie rozwiązany:
To jest odpowiedź.
To bardzo proste. I co, myślisz, że nie da się popełnić błędu? No właśnie, jak...
Najczęstszymi błędami są pomyłki z wartościami znaków a, b i c. A raczej nie z ich znakami (gdzie się pomylić?), Ale z podstawieniem wartości ujemnych do wzoru na obliczenie pierwiastków. Pomocne jest tutaj szczegółowe zapisanie wzoru z konkretnymi liczbami. W przypadku problemów z obliczeniami, zrób to!
Załóżmy, że musimy rozwiązać następujący przykład:
Tutaj A = -6; B = -5; C = -1
Załóżmy, że wiesz, że rzadko otrzymujesz odpowiedzi za pierwszym razem.
Cóż, nie bądź leniwy. Napisanie dodatkowej linii zajmie około 30 sekund i liczbę błędów gwałtownie spadnie. Piszemy więc szczegółowo, ze wszystkimi nawiasami i znakami:
Wydaje się, że pisanie z taką starannością jest niezwykle trudne. Ale tylko tak się wydaje. Spróbuj. Cóż, albo wybierz. Co jest lepsze, szybko czy dobrze?
Poza tym sprawię, że będziesz szczęśliwy. Po pewnym czasie nie będzie już potrzeby tak dokładnego zapisywania wszystkiego. To się okaże samoistnie. Zwłaszcza jeśli zastosujesz praktyczne techniki opisane poniżej. Ten zły przykład z mnóstwem minusów można rozwiązać łatwo i bez błędów!
Często jednak równania kwadratowe wyglądają nieco inaczej. Na przykład tak: Czy rozpoznałeś?) Tak! Ten.
Można je również rozwiązać za pomocą ogólnego wzoru. Musisz tylko poprawnie zrozumieć, czym są tutaj równe. a, b i c.
Czy już to wymyśliłeś? W pierwszym przykładzie a = 1; b = -4; A C? W ogóle go tam nie ma! Cóż, tak, to prawda. W matematyce oznacza to, że c = 0 ! To wszystko. Zamiast tego wstaw zero do wzoru C, i odniesiemy sukces. To samo z drugim przykładem. Tylko, że u nas nie ma zera Z, A B !
Ale niekompletne równania kwadratowe można rozwiązać znacznie prościej. Bez żadnych formuł. Rozważmy pierwsze niekompletne równanie. Co możesz zrobić po lewej stronie? Możesz wyjąć X z nawiasów! Wyjmijmy to.
I co z tego? Oraz fakt, że iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy którykolwiek z czynników jest równy zero! Nie wierzysz mi? OK, w takim razie wymyśl dwie liczby niezerowe, które po pomnożeniu dadzą zero!
Nie działa? To wszystko...
Dlatego śmiało możemy napisać: x 1 = 0, x2 = 4.
Wszystko. Będą to pierwiastki naszego równania. Oba są odpowiednie. Podstawiając którekolwiek z nich do pierwotnego równania, otrzymujemy poprawną tożsamość 0 = 0. Jak widać rozwiązanie jest znacznie prostsze niż użycie wzoru ogólnego. Przy okazji zauważę, który X będzie pierwszy, a który drugi – jest to absolutnie obojętne. Wygodnie jest pisać w kolejności, x 1- co jest mniejsze i x 2– to, co jest większe.
Drugie równanie można również rozwiązać w prosty sposób. Przesuń 9 w prawą stronę. Otrzymujemy:
Pozostaje tylko wyodrębnić korzeń z 9 i to wszystko. Okaże się:
Oraz dwa korzenie . x 1 = -3, x2 = 3.
W ten sposób rozwiązuje się wszystkie niepełne równania kwadratowe. Albo umieszczając X poza nawiasami, albo po prostu przesuwając liczbę w prawo, a następnie wyodrębniając pierwiastek.
Niezwykle trudno jest pomylić te techniki. Po prostu dlatego, że w pierwszym przypadku będziesz musiał wyodrębnić pierwiastek X, co jest w jakiś sposób niezrozumiałe, a w drugim przypadku nie ma nic do wyjmowania z nawiasów...
Magiczne słowo dyskryminujący ! Rzadko się zdarza, żeby licealista nie słyszał tego słowa! Wyrażenie „rozwiązujemy poprzez dyskryminację” budzi pewność i pewność. Ponieważ od dyskryminatora nie trzeba oczekiwać sztuczek! Jest prosty i bezproblemowy w obsłudze.) Przypominam najbardziej ogólny wzór na rozwiązanie każdy równania kwadratowe:
Wyrażenie pod znakiem głównym nazywa się dyskryminatorem. Zazwyczaj wyróżnik jest oznaczony literą D. Wzór dyskryminacyjny:
D = b 2 - 4ac
A co jest takiego niezwykłego w tym wyrażeniu? Dlaczego zasłużył na specjalną nazwę? Co znaczenie wyróżnika? Mimo wszystko -B, Lub 2a w tej formule nie nazywają tego specjalnie... Litery i litery.
Oto rzecz. Jest to możliwe przy rozwiązywaniu równania kwadratowego za pomocą tego wzoru tylko trzy przypadki.
1. Wyróżnik jest dodatni. Oznacza to, że można z niego wydobyć korzeń. Inną kwestią jest to, czy korzeń został wycięty dobrze czy źle. Ważne jest to, co w zasadzie zostało wydobyte. Zatem twoje równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Dwa różne rozwiązania.
2. Dyskryminator wynosi zero. Wtedy będziesz miał jedno rozwiązanie. Ponieważ dodanie lub odejmowanie zera w liczniku niczego nie zmienia. Ściśle mówiąc, nie jest to jeden korzeń, ale dwa identyczne. Ale w uproszczonej wersji zwykle się o tym mówi jedno rozwiązanie.
3. Wyróżnik jest ujemny. Nie można obliczyć pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej. No cóż. Oznacza to, że nie ma rozwiązań.
Szczerze mówiąc, kiedy proste rozwiązanie równania kwadratowe, koncepcja dyskryminatora nie jest szczególnie wymagana. Podstawiamy wartości współczynników do wzoru i liczymy. Wszystko dzieje się tam samo z siebie, dwa korzenie, jeden i żaden. Jednak przy rozwiązywaniu więcej trudne zadania, bez wiedzy znaczenie i formuła wyróżnika nie mogę się dostać. Zwłaszcza w równaniach z parametrami. Takie równania to akrobacje dla Egzaminu Państwowego i Ujednoliconego Egzaminu Państwowego!)
Więc, jak rozwiązywać równania kwadratowe poprzez rozróżnianie, które zapamiętałeś. Albo się nauczyłeś, co też nie jest złe.) Wiesz, jak poprawnie określić a, b i c. Czy wiesz jak? uważnie podstaw je do wzoru głównego i uważnie policz wynik. Rozumiesz, że słowo klucz jest tutaj uważnie?
Teraz zwróć uwagę na praktyczne techniki, które radykalnie zmniejszają liczbę błędów. Te same, które wynikają z nieuwagi... Dla których później staje się to bolesne i obraźliwe...
Pierwsze spotkanie
. Nie bądź leniwy przed rozwiązaniem równania kwadratowego i doprowadź je do standardowej postaci. Co to oznacza?
Załóżmy, że po wszystkich przekształceniach otrzymasz równanie:
Nie spiesz się z zapisaniem formuły głównej! Prawie na pewno pomylisz szanse a, b i c. Zbuduj poprawnie przykład. Najpierw X do kwadratu, potem bez kwadratu, a następnie wyraz wolny. Tak:
I jeszcze raz: nie spiesz się! Minus przed kwadratem X może naprawdę Cię zdenerwować. Łatwo zapomnieć... Pozbądź się minusa. Jak? Tak, jak nauczano w poprzednim temacie! Musimy pomnożyć całe równanie przez -1. Otrzymujemy:
Ale teraz możesz bezpiecznie zapisać wzór na pierwiastki, obliczyć dyskryminator i zakończyć rozwiązywanie przykładu. Zdecyduj sam.
Powinieneś teraz mieć pierwiastki 2 i -1. Recepcja druga. Sprawdź korzenie! Zgodnie z twierdzeniem Viety. Nie bój się, wszystko wyjaśnię! Kontrola ostatni równanie. Te. ten, którego użyliśmy do zapisania wzoru na pierwiastek. Jeśli (jak w tym przykładzie) współczynnik, sprawdzenie korzeni jest łatwe. Wystarczy je pomnożyć. Rezultatem powinien być wolny członek, tj. w naszym przypadku -2. Uwaga, nie 2, ale -2! Bezpłatny członek ze swoim znakiem . Jeśli to nie zadziała, oznacza to, że już gdzieś schrzanili. Poszukaj błędu.
Jeśli to zadziała, musisz dodać korzenie. Ostatnia i ostateczna kontrola. Współczynnik powinien być B Z naprzeciwko
znajomy. W naszym przypadku -1+2 = +1. Współczynnik B, który jest przed X, jest równy -1. Zatem wszystko się zgadza!
Szkoda, że jest to takie proste tylko dla przykładów, gdzie x kwadrat jest czyste, ze współczynnikiem a = 1. Ale przynajmniej sprawdź takie równania! Błędów będzie coraz mniej.
Recepcja trzecia . Jeśli Twoje równanie ma współczynniki ułamkowe, pozbądź się ułamków! Pomnóż równanie przez wspólny mianownik, jak opisano w lekcji „Jak rozwiązywać równania? Przekształcenia tożsamości”. Podczas pracy z ułamkami z jakiegoś powodu wkradają się błędy...
Swoją drogą obiecałem uprościć zły przykład garścią minusów. Proszę! Oto on.
Aby nie pomylić minusów, mnożymy równanie przez -1. Otrzymujemy:
To wszystko! Rozwiązywanie to przyjemność!
Podsumujmy więc temat.
1. Przed rozwiązaniem doprowadzamy równanie kwadratowe do postaci standardowej i budujemy je Prawidłowy.
2. Jeśli przed kwadratem X znajduje się współczynnik ujemny, eliminujemy go, mnożąc całe równanie przez -1.
3. Jeśli współczynniki są ułamkowe, eliminujemy ułamki, mnożąc całe równanie przez odpowiedni współczynnik.
4. Jeśli x kwadrat jest czyste, a jego współczynnik wynosi jeden, rozwiązanie można łatwo zweryfikować, korzystając z twierdzenia Viety. Zrób to!
Teraz możemy podjąć decyzję.)
Rozwiąż równania:
8x 2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3 x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)
Odpowiedzi (w nieładzie):
x 1 = 0
x2 = 5
x 1,2 =2
x 1 = 2
x 2 = -0,5
x - dowolna liczba
x 1 = -3
x2 = 3
żadnych rozwiązań
x 1 = 0,25
x2 = 0,5
Czy wszystko pasuje? Świetnie! Równania kwadratowe to nie twoja bajka ból głowy. Pierwsze trzy zadziałały, ale reszta nie? Zatem problem nie dotyczy równań kwadratowych. Problem polega na identycznych przekształceniach równań. Zerknij na link, jest pomocny.
Nie do końca się sprawdza? A może w ogóle to nie wychodzi? W takim razie sekcja 555 będzie dla Ciebie pomocna. Wszystkie te przykłady są tam omówione. Pokazano główny błędy w rozwiązaniu. Oczywiście mowa tu także o użytkowaniu przemiany tożsamości w rozwiązywaniu różnych równań. Bardzo pomaga!
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
Wiejska szkoła średnia Kopyevskaya
10 sposobów rozwiązywania równań kwadratowych
Kierownik: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
nauczyciel matematyki
wieś Kopewo, 2007
1. Historia rozwoju równań kwadratowych
1.1 Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie
1.2 Jak Diofant układał i rozwiązywał równania kwadratowe
1.3 Równania kwadratowe w Indiach
1.4 Równania kwadratowe al-Khorezmiego
1.5 Równania kwadratowe w Europie XIII - XVII wiek
1.6 O twierdzeniu Viety
2. Metody rozwiązywania równań kwadratowych
Wniosek
Literatura
1. Historia rozwoju równań kwadratowych
1.1 Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie
Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego, ale i drugiego stopnia już w czasach starożytnych spowodowana była koniecznością rozwiązywania problemów związanych ze znalezieniem powierzchni działek i roboty ziemne o charakterze militarnym, a także z rozwojem samej astronomii i matematyki. Równania kwadratowe można było rozwiązać około 2000 roku p.n.e. mi. Babilończycy.
Korzystając ze współczesnej notacji algebraicznej, możemy powiedzieć, że w ich tekstach klinowych oprócz niekompletnych znajdują się na przykład pełne równania kwadratowe:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Zasada rozwiązywania tych równań, podana w tekstach babilońskich, zasadniczo pokrywa się ze współczesną, nie wiadomo jednak, w jaki sposób Babilończycy doszli do tej reguły. Prawie wszystkie odnalezione dotychczas teksty klinowe podają jedynie problemy z rozwiązaniami zawartymi w formie przepisów, bez wskazania, w jaki sposób je odnaleziono.
Pomimo wysoki poziom rozwoju algebry w Babilonie, w tekstach klinowych brakuje pojęcia liczby ujemnej metody ogólne rozwiązywanie równań kwadratowych.
1.2 Jak Diofantos układał i rozwiązywał równania kwadratowe.
Arytmetyka Diofantosa nie zawiera systematycznego przedstawienia algebry, ale zawiera systematyczny szereg problemów, którym towarzyszą wyjaśnienia i które są rozwiązywane poprzez konstruowanie równań różnego stopnia.
Układając równania, Diofant umiejętnie wybiera niewiadome, aby uprościć rozwiązanie.
Oto na przykład jedno z jego zadań.
Problem 11.„Znajdź dwie liczby, wiedząc, że ich suma wynosi 20, a ich iloczyn wynosi 96”
Diofantus rozumuje w następujący sposób: z warunków problemu wynika, że wymagane liczby nie są równe, ponieważ gdyby były równe, ich iloczyn nie byłby równy 96, ale 100. Zatem jedna z nich będzie większa niż połowę swojej sumy, tj. 10 + x, drugi jest mniejszy, tj. 10-te. Różnica między nimi 2x .
Stąd równanie:
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
Stąd x = 2. Jedna z wymaganych liczb jest równa 12 , Inny 8 . Rozwiązanie x = -2 gdyż Diofantos nie istnieje, gdyż grecka matematyka znała tylko liczby dodatnie.
Jeśli rozwiążemy ten problem, wybierając jedną z wymaganych liczb jako niewiadomą, wówczas dojdziemy do rozwiązania równania
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20 lat + 96 = 0. (2)
Oczywiste jest, że wybierając połowę różnicy wymaganych liczb jako niewiadomą, Diofant upraszcza rozwiązanie; udaje mu się sprowadzić problem do rozwiązania niepełnego równania kwadratowego (1).
1.3 Równania kwadratowe w Indiach
Zagadnienia dotyczące równań kwadratowych można znaleźć już w traktacie astronomicznym „Aryabhattiam”, opracowanym w 499 r. przez indyjskiego matematyka i astronoma Aryabhattę. Opisał to inny indyjski naukowiec, Brahmagupta (VII w.). ogólna zasada rozwiązania równań kwadratowych zredukowane do jednej postaci kanonicznej:
aha 2 + B x = c, a > 0. (1)
W równaniu (1) współczynniki, z wyjątkiem A, może być również ujemna. Reguła Brahmagupty jest zasadniczo taka sama jak nasza.
W Starożytne Indie Powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. Jedna ze starych indyjskich ksiąg tak mówi o takich konkursach: „Jak słońce swym blaskiem przyćmiewa gwiazdy, tak samo uczony człowiek przyćmić chwałę innych na zgromadzeniach ludowych, proponując i rozwiązując problemy algebraiczne”. Problemy często przedstawiano w formie poetyckiej.
Jest to jeden z problemów słynnego indyjskiego matematyka z XII wieku. Bhaskars.
Problem 13.
„Stado rozbrykanych małp i dwanaście wzdłuż winorośli...
Władze po zjedzeniu dobrze się bawiły. Zaczęli skakać, wieszać się...
Są ich na placu, część ósma. Ile było małp?
Bawiłem się na polanie. Powiedz mi, w tej paczce?
Rozwiązanie Bhaskary wskazuje, że wiedział on, że pierwiastki równań kwadratowych są dwuwartościowe (ryc. 3).
Równanie odpowiadające problemowi 13 to:
( X /8) 2 + 12 = X
Bhaskara pisze pod przykrywką:
x 2 - 64x = -768
i aby uzupełnić lewą stronę tego równania do kwadratu, dodaje się do obu stron 32 2 , następnie otrzymanie:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Równania kwadratowe w al - Khorezmi
W traktacie algebraicznym al-Khorezmiego podana jest klasyfikacja równań liniowych i kwadratowych. Autor wyróżnia 6 rodzajów równań, wyrażając je w następujący sposób:
1) „Kwadraty są równe pierwiastkom”, tj. topór 2 + c = B X.
2) „Kwadraty są równe liczbom”, tj. topór 2 = ok.
3) „Pierwiastki są równe liczbie”, tj. ah = s.
4) „Kwadraty i liczby są równe pierwiastkom”, tj. topór 2 + c = B X.
5) „Kwadraty i pierwiastki są równe liczbom”, tj. aha 2 + bx = s.
6) „Pierwiastki i liczby są równe kwadratom”, tj. bx + do = topór 2 .
Dla al-Khorezmiego, który unikał stosowania liczb ujemnych, wyrazy każdego z tych równań są dodawane, a nie odejmowane. W tym przypadku równania, które nie mają rozwiązań dodatnich, oczywiście nie są brane pod uwagę. Autor podaje metody rozwiązywania tych równań wykorzystując techniki al-jabra i al-muqabala. Jego decyzje oczywiście nie są całkowicie zbieżne z naszymi. Nie wspominając, że jest to czysto retoryczne, należy zauważyć na przykład, że przy rozwiązywaniu niepełnego równania kwadratowego pierwszego typu
al-Khorezmi, jak wszyscy matematycy przed XVII wiekiem, nie bierze pod uwagę rozwiązania zerowego, prawdopodobnie dlatego, że w konkretnych problemach praktycznych nie ma to znaczenia. Przy rozwiązywaniu pełnych równań kwadratowych al-Khorezmi na częściowym przykłady numeryczne podaje zasady rozwiązania, a następnie dowody geometryczne.
Problem 14.„Kwadrat i liczba 21 są równe 10 pierwiastkom. Znajdź korzeń” (co oznacza pierwiastek równania x 2 + 21 = 10x).
Rozwiązanie autora wygląda mniej więcej tak: podziel liczbę pierwiastków na pół, otrzymasz 5, pomnóż 5 przez siebie, odejmij 21 od iloczynu, zostanie 4. Weź pierwiastek z 4, otrzymasz 2. Odejmij 2 od 5 , otrzymasz 3, będzie to pożądany korzeń. Lub dodaj 2 do 5, co daje 7, to także jest pierwiastek.
Traktat al-Khorezmi jest pierwszą książką, która do nas dotarła, która systematycznie określa klasyfikację równań kwadratowych i podaje wzory na ich rozwiązanie.
1.5 Równania kwadratowe w Europie XIII - XVII nocleg ze śniadaniem
Wzory rozwiązywania równań kwadratowych na wzór al-Khwarizmi w Europie zostały po raz pierwszy przedstawione w Księdze liczydła, napisanej w 1202 roku przez włoskiego matematyka Leonarda Fibonacciego. To obszerne dzieło, które odzwierciedla wpływ matematyki, zarówno krajów islamskich, jak i Starożytna Grecja, wyróżnia się zarówno kompletnością, jak i przejrzystością prezentacji. Autor samodzielnie opracował kilka nowych algebraicznych przykładów rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie podszedł do wprowadzenia liczb ujemnych. Jego książka przyczyniła się do szerzenia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele problemów z Księgi liczydła wykorzystano w prawie wszystkich podręcznikach europejskich XVI-XVII wieku. i częściowo XVIII.
Ogólna zasada rozwiązywania równań kwadratowych zredukowana do jednej postaci kanonicznej:
x2+ bx = c,
dla wszystkich możliwych kombinacji znaków współczynników B , Z została sformułowana w Europie dopiero w 1544 roku przez M. Stiefela.
Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego w widok ogólny Viet to ma, ale Viet dostrzegł tylko pozytywne korzenie. Włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli byli jednymi z pierwszych w XVI wieku. Oprócz pozytywnych, brane są pod uwagę również pierwiastki negatywne. Dopiero w XVII w. Dzięki pracom Girarda, Kartezjusza, Newtona i innych naukowców metoda rozwiązywania równań kwadratowych nabiera nowoczesnej formy.
1.6 O twierdzeniu Viety
Twierdzenie wyrażające związek współczynników równania kwadratowego z jego pierwiastkami, nazwane na cześć Viety, zostało przez niego po raz pierwszy sformułowane w 1591 r. w następujący sposób: „Jeśli B + D, pomnożone przez A - A 2 , równa się BD, To A równa się W i równe D ».
Aby zrozumieć Vietę, powinniśmy o tym pamiętać A, jak każda litera samogłoskowa, oznaczało nieznane (nasz X), samogłoski W, D- współczynniki dla niewiadomych. W języku współczesnej algebry powyższe sformułowanie Vieta oznacza: jeśli istnieje
(+ B )x - x 2 = ok ,
x 2 - (a + B )x + a B = 0,
x 1 = a, x 2 = B .
Wyrażanie zależności pomiędzy pierwiastkami i współczynnikami równań ogólne formuły, pisany za pomocą symboli, Wietnam ustalił jednolitość metod rozwiązywania równań. Jednak symbolika Viet jest wciąż daleka od nowoczesny wygląd. Nie rozpoznawał liczb ujemnych, dlatego przy rozwiązywaniu równań brał pod uwagę tylko przypadki, w których wszystkie pierwiastki były dodatnie.
2. Metody rozwiązywania równań kwadratowych
Równania kwadratowe są podstawą, na której się opiera majestatyczny budynek algebra. Znaleziono równania kwadratowe szerokie zastosowanie przy rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych, wykładniczych, logarytmicznych, niewymiernych i przestępnych. Wszyscy wiemy, jak rozwiązywać równania kwadratowe od szkoły (8 klasa) aż do ukończenia szkoły.
Dzięki temu programowi matematycznemu jest to możliwe rozwiązać równanie kwadratowe.
Program nie tylko daje odpowiedź na problem, ale także wyświetla proces rozwiązania na dwa sposoby:
- użycie dyskryminatora
- korzystając z twierdzenia Viety (jeśli to możliwe).
Co więcej, odpowiedź jest wyświetlana jako dokładna, a nie przybliżona.
Przykładowo dla równania \(81x^2-16x-1=0\) odpowiedź jest wyświetlana w postaci:
Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich szkoły średnie w przygotowaniu testy oraz egzaminy, podczas sprawdzania wiedzy przed Unified State Exam, aby rodzice mogli kontrolować rozwiązanie wielu problemów z matematyki i algebry. A może zatrudnienie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowne? A może po prostu chcesz to zrobić jak najszybciej? na matematyce lub algebrze? W tym przypadku możesz także skorzystać z naszych programów ze szczegółowymi rozwiązaniami.
W ten sposób możesz prowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie swoich młodszych braci, a jednocześnie wzrasta poziom edukacji w zakresie rozwiązywania problemów.
Jeśli nie znasz zasad wprowadzania wielomianu kwadratowego, zalecamy zapoznanie się z nimi.
Zasady wprowadzania wielomianu kwadratowego
Dowolna litera łacińska może działać jako zmienna.
Na przykład: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) itp.
Liczby można wprowadzać jako liczby całkowite lub ułamkowe.
Co więcej, liczby ułamkowe można wprowadzać nie tylko w postaci ułamka dziesiętnego, ale także w postaci ułamka zwykłego.
Zasady wprowadzania ułamków dziesiętnych.
W ułamkach dziesiętnych część ułamkową można oddzielić od całości kropką lub przecinkiem.
Możesz na przykład wejść miejsca dziesiętne w ten sposób: 2,5x - 3,5x^2
Zasady wpisywania ułamków zwykłych.
Tylko liczba całkowita może pełnić funkcję licznika, mianownika i części całkowitej ułamka.
Mianownik nie może być ujemny.
Przy wprowadzaniu ułamka liczbowego licznik oddziela się od mianownika znakiem dzielenia: /
Cała część jest oddzielona od ułamka znakiem ampersandu: &
Wejście: 3 i 1/3 - 5 i 6/5z +1/7z^2
Wynik: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)
Podczas wprowadzania wyrażenia możesz używać nawiasów. W tym przypadku przy rozwiązywaniu równania kwadratowego wprowadzone wyrażenie jest najpierw upraszczane.
Na przykład: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Odkryto, że niektóre skrypty niezbędne do rozwiązania tego problemu nie zostały załadowane i program może nie działać.
Być może masz włączonego AdBlocka.
W takim przypadku wyłącz ją i odśwież stronę.
Ponieważ Chętnych do rozwiązania problemu jest wiele, Twoja prośba została umieszczona w kolejce.
Za kilka sekund rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sekunda...
Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, możesz napisać o tym w Formularzu opinii.
Nie zapomnij wskaż, które zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.
Nasze gry, puzzle, emulatory:
Każde z równań
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
wygląda
\(ax^2+bx+c=0, \)
gdzie x jest zmienną, a, b i c są liczbami.
W pierwszym równaniu a = -1, b = 6 i c = 1,4, w drugim a = 8, b = -7 i c = 0, w trzecim a = 1, b = 0 i c = 4/9. Takie równania nazywane są równania kwadratowe.
Definicja.
Równanie kwadratowe nazywa się równaniem w postaci ax 2 +bx+c=0, gdzie x jest zmienną, a, b i c to niektóre liczby, a \(a \neq 0 \).
Liczby a, b i c są współczynnikami równania kwadratowego. Liczbę a nazywa się pierwszym współczynnikiem, liczba b jest drugim współczynnikiem, a liczba c jest wyrazem wolnym.
W każdym z równań postaci ax 2 +bx+c=0, gdzie \(a \neq 0 \), największą potęgą zmiennej x jest kwadrat. Stąd nazwa: równanie kwadratowe.
Należy zauważyć, że równanie kwadratowe nazywane jest również równaniem drugiego stopnia, ponieważ jego lewa strona jest wielomianem drugiego stopnia.
Nazywa się równanie kwadratowe, w którym współczynnik x 2 jest równy 1 dane równanie kwadratowe. Na przykład podane równania kwadratowe są równaniami
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Jeżeli w równaniu kwadratowym ax 2 +bx+c=0 chociaż jeden ze współczynników b lub c jest równy zero, to takie równanie nazywa się niekompletne równanie kwadratowe. Zatem równania -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 są niepełnymi równaniami kwadratowymi. W pierwszym z nich b=0, w drugim c=0, w trzecim b=0 i c=0.
Istnieją trzy typy niekompletnych równań kwadratowych:
1) ax 2 +c=0, gdzie \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, gdzie \(b \neq 0 \);
3) topór 2 =0.
Rozważmy rozwiązanie równań każdego z tych typów.
Aby rozwiązać niepełne równanie kwadratowe o postaci ax 2 +c=0 dla \(c \neq 0 \), przesuń jego wolny wyraz na prawą stronę i podziel obie strony równania przez a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Ponieważ \(c \neq 0 \), to \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Jeśli \(-\frac(c)(a)>0\), to równanie ma dwa pierwiastki.
Jeśli \(-\frac(c)(a) Aby rozwiązać niepełne równanie kwadratowe postaci ax 2 +bx=0 z \(b \neq 0 \) uwzględnij jego lewą stronę i otrzymaj równanie
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (tablica)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(tablica) \right.
Oznacza to, że niepełne równanie kwadratowe w postaci ax 2 +bx=0 dla \(b \neq 0 \) zawsze ma dwa pierwiastki.
Niekompletne równanie kwadratowe w postaci ax 2 = 0 jest równoważne równaniu x 2 = 0 i dlatego ma pojedynczy pierwiastek 0.
Zastanówmy się teraz, jak rozwiązać równania kwadratowe, w których zarówno współczynniki niewiadomych, jak i składnik wolny są różne od zera.
Rozwiążmy równanie kwadratowe w formie ogólnej i w rezultacie otrzymamy wzór na pierwiastki. Wzór ten można następnie wykorzystać do rozwiązania dowolnego równania kwadratowego.
Rozwiąż równanie kwadratowe ax 2 +bx+c=0
Dzieląc obie strony przez a, otrzymujemy równoważne zredukowane równanie kwadratowe
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
Przekształćmy to równanie, wybierając kwadrat dwumianu:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Strzałka w prawo \)
Radykalne wyrażenie nazywa się dyskryminator równania kwadratowego ax 2 +bx+c=0 („różniący” po łacinie – dyskryminator). Jest on oznaczony literą D, tj.
\(D = b^2-4ac\)
Teraz, stosując notację dyskryminacyjną, przepisujemy wzór na pierwiastki równania kwadratowego:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), gdzie \(D= b^2-4ac \)
To oczywiste, że:
1) Jeżeli D>0, to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki.
2) Jeżeli D=0, to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jeżeli D Zatem, w zależności od wartości wyróżnika, równanie kwadratowe może mieć dwa pierwiastki (dla D > 0), jeden pierwiastek (dla D = 0) lub nie mieć pierwiastków (dla D. Przy rozwiązywaniu równania kwadratowego za pomocą tego formułę, zaleca się wykonanie następującego sposobu:
1) obliczyć dyskryminator i porównać go z zerem;
2) jeśli dyskryminator jest dodatni lub równy zero, użyj wzoru na pierwiastek, jeśli dyskryminator jest ujemny, zapisz, że nie ma pierwiastków;
Dane równanie kwadratowe ax 2 -7x+10=0 ma pierwiastki 2 i 5. Suma pierwiastków wynosi 7, a iloczyn wynosi 10. Widzimy, że suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi wziętemu z przeciwnej strony znak, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu. Każde zredukowane równanie kwadratowe, które ma pierwiastki, ma tę właściwość.
Suma pierwiastków powyższego równania kwadratowego jest równa drugiemu współczynnikowi przyjętemu z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu.
Te. Twierdzenie Viety stwierdza, że pierwiastki x 1 i x 2 zredukowanego równania kwadratowego x 2 +px+q=0 mają właściwość:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)
Samouczek wideo 2: Rozwiązywanie równań kwadratowych
Wykład: Równania kwadratowe
Równanie- jest to rodzaj równości, w wyrażeniach których występuje zmienna.
Rozwiąż równanie- oznacza znalezienie liczby zamiast zmiennej, która doprowadzi ją do prawidłowej równości.
Równanie może mieć jedno rozwiązanie, kilka lub wcale.
Aby rozwiązać dowolne równanie należy je maksymalnie uprościć do postaci:
Liniowy: a*x = b;
Kwadrat: a*x 2 + b*x + do = 0.
Oznacza to, że przed rozwiązaniem wszelkie równania należy przekształcić do postaci standardowej.
Każde równanie można rozwiązać na dwa sposoby: analitycznie i graficznie.
Na wykresie za rozwiązanie równania uważa się punkty, w których wykres przecina oś OX.
Równania kwadratowe
a*x 2 + b*x + do = 0.
Naraz a, b, c są współczynnikami równania różniącymi się od zera. A "X"- pierwiastek równania. Uważa się, że równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki lub może w ogóle nie mieć rozwiązania. Powstałe korzenie mogą być takie same.
"A"- współczynnik stojący przed pierwiastkiem kwadratowym.
"B"- stoi przed nieznanym w pierwszym stopniu.
"Z" jest wolnym wyrazem równania.
Jeśli na przykład mamy równanie postaci:
2x 2 -5x+3=0
W nim „2” jest współczynnikiem wiodącego składnika równania, „-5” jest drugim współczynnikiem, a „3” jest terminem wolnym.
Rozwiązywanie równania kwadratowego
Istnieje wiele różnych sposobów rozwiązywania równań kwadratowych. Jednak na szkolnych zajęciach z matematyki rozwiązanie jest badane przy użyciu twierdzenia Viety, a także przy użyciu dyskryminatora.
Rozwiązanie dyskryminacyjne:
Podczas rozwiązywania za pomocą tę metodę należy obliczyć dyskryminator korzystając ze wzoru:
Jeśli podczas obliczeń okaże się, że dyskryminator mniej niż zero, oznacza to, że to równanie nie ma rozwiązań.
Jeśli dyskryminator wynosi zero, wówczas równanie ma dwa identyczne rozwiązania. W takim przypadku wielomian można zwinąć za pomocą skróconego wzoru na mnożenie do kwadratu sumy lub różnicy. Następnie rozwiąż to tak równanie liniowe. Lub skorzystaj ze wzoru:
Jeśli dyskryminator jest większy od zera, należy zastosować następującą metodę:
Twierdzenie Viety
Jeśli podano równanie, to znaczy współczynnik składnika wiodącego jest równy jeden, można go użyć Twierdzenie Viety.
Załóżmy więc, że równanie wygląda następująco:
Pierwiastki równania znajdują się w następujący sposób:
Niekompletne równanie kwadratowe
Istnieje kilka opcji uzyskania niepełnego równania kwadratowego, którego forma zależy od obecności współczynników.
1. Jeśli drugi i trzeci współczynnik wynoszą zero (b = 0, c = 0), wówczas równanie kwadratowe będzie wyglądać następująco:
Równanie to będzie miało unikalne rozwiązanie. Równość będzie prawdziwa tylko wtedy, gdy rozwiązaniem równania będzie zero.
