Schody. Grupa wejściowa. Materiały. Drzwi. Zamki. Projekt

Ruch drogowy

Mapowanie samolotu na siebie

• Każdy punkt płaszczyzny jest powiązany z jakimś punktem tej samej płaszczyzny, a każdy punkt płaszczyzny jest powiązany z jakimś punktem. Potem mówią, że mapowanie samolotu na siebie.

• Symetria osiowa to odwzorowanie płaszczyzny na sobie.

• Centralna symetria to także odwzorowanie płaszczyzny na sobie.

Pojęcie ruchu

• Symetria osiowa ma ważną właściwość - jest odwzorowanie płaszczyzny na siebie, które zachowuje odległość między punktami.

• Ruch samolotu to odwzorowanie samolotu na siebie, z zachowaniem odległości.

• Centralna symetria płaszczyzny to także odwzorowanie płaszczyzny na sobie

TWIERDZENIE #1

• Podczas ruchu segment jest wyświetlany na segmencie.

TWIERDZENIE #1

• Biorąc pod uwagę: odcinek MN.

• Udowodnij: 1.MN jest wyświetlane przy danym ruchu M1N1 ;2.P jest wyświetlane w P1;

Dowód

• I.1) MP+PN=MN (z warunku)

• 2) ponieważ podczas ruchu zachowana jest odległość =>M1N1=MN, M1P1=MP i N1P1=NP (1)

• =>M1P1 +P1N1= M1N1=>P1 NALEŻĄCE DO M1N1 =>MN punktów wyświetlanych w segmencie M1N1

• II Niech P1 będzie dowolnym punktem M1N1, a punkt P dla danego ruchu jest odwzorowany na P1

• Z relacji równości (1) i M1N1= M1P1 +P1N1=>MP+PN=MN=>P należy do MN.

Konsekwencja

• Z Twierdzenia nr 1 wynika, że ​​podczas ruchu każdy bok trójkąta jest odwzorowany na równy segment => trójkąt jest odwzorowany na trójkąt o równych bokach, tj. na równy trójkąt podczas ruchu. Z Twierdzenia nr 1 wynika, że ​​przy przenoszeniu:

• 1) linia prosta jest odwzorowana na linię prostą;

• 2) wiązka do wiązki;

• 3) kąt - kąt mu równy.

Nakładki i ruchy

• Figura Ф jest równa figurze Ф1, jeśli figurę można połączyć z figurą 1. Pod nałożeniem figury na figurę Ф1 mamy na myśli pewne odwzorowanie figury na figurę Ф1. , nie tylko punkty figury Ф, ale także dowolny punkt płaszczyzny są odwzorowane na określony punkt płaszczyzny , tj. nakładka jest mapowaniem samolotu na siebie.

• Nakładki to takie odwzorowania płaszczyzny na siebie, które mają właściwości wyrażone w aksjomatach. Pozwalają nam udowodnić wszystkie te właściwości impozycji, które sobie wyobrażamy wizualnie i które wykorzystujemy przy rozwiązywaniu problemów

Twierdzenie nr 2

• Podczas nakładania różne punkty są mapowane na różne punkty.

Dowód

Załóżmy, że tak nie jest, tj. w pewnym miejscu wyświetlane są niektóre punkty A i B, w 2=Ф1, tj. z pewnym zachodzeniem na siebie, Ф2 jest wyświetlane w Ф1. Jest to jednak niemożliwe, ponieważ nakładka jest wyświetlaniem, a przy każdym wyświetlaniu tylko jeden punkt płaszczyzny staje się zgodny z C => podczas nakładania segment jest wyświetlany na równym segmencie. Niech, po nałożeniu, końce A i B odcinka AB są wyświetlane w A1 i B1. Następnie AB jest mapowane na A1 B1 => AB=A1B1. Dlatego równe segmenty mieć równe długości, wtedy nakładka jest odwzorowaniem płaszczyzny zachowującym odległość na siebie, tj. każde nakładanie się jest ruchem samolotu.

Twierdzenie nr 3

• Każdy ruch jest nakładką.

Twierdzenie nr 3

• Dane: g-dowolny ruch trójkąta ABC odwzorowuje się na trójkąt A1 B1 C1

• f- nakładka, w której wyświetlane są punkty A,B,C w A1 B1 C1 .

• Udowodnij: g to to samo co f.

Dowód

Załóżmy, że g nie pokrywa się z f=> na płaszczyźnie istnieje co najmniej jeden punkt M, który, gdy g się porusza, jest odwzorowany na M1, a gdy f nakłada się na M2. Dlatego odległość jest zachowana pod odwzorowaniami f i g, wtedy AM=A1M1, AM=A1M2 , czyli punkt A1 jest w równej odległości od M1 i M2=>A1,B1 i C1 leżą na dwusiecznej prostopadłej do M1 M2.Ale jest to niemożliwe, ponieważ wierzchołki trójkąta A1B1C1 nie leżą na tej samej prostej, zatem g pokrywa się z f, tj. ruch g jest nakładką.

Konsekwencja

• Podczas ruchu dowolna figura jest mapowana na równą figurę.

Transfer równoległy

• Niech a będzie danym wektorem. Transfer równoległy na wektorze a nazywa się odwzorowaniem płaszczyzny na siebie, w którym każdy punkt M jest odwzorowany na taki punkt M1, że wektor MM1 jest równy wektorowi a

Twierdzenie nr 4

• Tłumaczenie równoległe to ruch, tj. samo-mapowanie samolotu, które zachowuje odległości.

Twierdzenie nr 4

• Biorąc pod uwagę: Przy transferze równoległym do a, M i N są mapowane na M1 i N1.

• Udowodnij: MN=M1N1.

Dowód

• Dlatego MM1=a, NN1=a=> MM1=NN1 =>MM1||NN1 i MM1=NN1 => MM1NN1 równoległobok =>MN=M1N1, czyli odległość między M i N = odległość między M1 i N1.

• W ten sposób translacja równoległa zachowuje odległość między punktami, a zatem reprezentuje ruch.

Skręcać

Obracając samolot wokół punktu O pod kątem a nazywa się odwzorowaniem płaszczyzny na siebie, w którym każdy punkt M jest odwzorowany na taki punkt M1, że OM = OM1 i kąt MOM1 jest równy a. W tym przypadku punkt O pozostaje na swoim miejscu, tj. jest wyświetlany sam w sobie, a wszystkie inne punkty obracają się wokół punktu O w tym samym kierunku - zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Twierdzenie nr 5

• Zwrot to ruch, tj. odwzorowanie samolotu na siebie z zachowaniem odległości.

Twierdzenie nr 5

• Biorąc pod uwagę: O - środek obrotu d- kąt obrotu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara

• Udowodnij: MN=M1N1

Dowód

• Załóżmy, że ten obrót mapuje M i N na M1 i N1.

• Trójkąt OMN=OM1N1 (OM=OM1,ON=ON1, kąt MON=kąt M1ON1). Z tej równości wynika, że ​​MN=M1N1, czyli odległość między M i N = odległość między M1 i N1.

• Obrót zachowuje odległość między punktami i dlatego reprezentuje ruch.

Dane: Kąt AOB i kąt A1O1B1.

• Dane: Kąt AOB i kąt A1O1B1.

• Udowodnij, że podczas ruchu kąt jest mapowany na równy kąt.

ROZWIĄZANIE

Niech kąt AOB zostanie odwzorowany na kąt А1О1В1 podczas danego ruchu, a punkty А.О.в będą odwzorowane odpowiednio na punkty А1, О1, В1. ponieważ odległości są zachowywane podczas ruchu, to OA \u003d O1A1, OB \u003d O1B1. Jeśli kąt AOB nie jest rozwinięty, wówczas trójkąty AOB i A1O1B1 są równe z trzech stron, a zatem kąt AOB \u003d kąt A1O1v1. Jeżeli rozwinięty jest kąt AOB, to rozwinięty jest kąt A1O1B1, więc są one równe.

• Zadanie nr 2

ROZWIĄZANIE

• Trójkąty ABC i A1B1C1 są równe z trzech stron. W związku z tym zachodzi nakładanie się, czyli ruch, w którym punkty A, B i C są odwzorowane odpowiednio na punkty A1, B1 i C1. Ten ruch jest jedynym ruchem, w którym punkty A, B i C są odwzorowane na punkty A1B1 i C1 .

• Zadanie nr 3. Narysuj trójkąt ABC, wektor MM1, który nie jest równoległy do ​​żadnego z boków trójkąta, oraz wektor a, który jest równoległy do ​​boku AC. Skonstruuj trójkąt A1B1C1, który otrzymujemy z trójkąta ABC przez przeniesienie równoległe: a) na wektor MM1; b) wektor a.

• Dany:

• Rozwiązanie

b) Decyzja

• b) Decyzja

• Właściwość 1 (zachowanie prostoliniowości). Podczas ruchu trzy punkty leżące na prostej przechodzą w trzy punkty leżące na prostej, a punkt leżący między dwoma innymi przechodzi w punkt leżący między obrazami pozostałych dwóch punktów (zachowana jest kolejność ich wzajemnego ułożenia) .

• Właściwość 2. Obraz segmentu w ruchu jest segmentem.

• Właściwość 3. Obraz linii prostej w ruchu jest linią prostą, a obraz promienia jest promieniem.

• Właściwość 4. Podczas ruchu obraz trójkąta jest trójkątem równym, obraz płaszczyzny jest płaszczyzną, a równoległe płaszczyzny są odwzorowane na równoległe płaszczyzny, obraz półpłaszczyzny jest półpłaszczyzną.

• Własność 5. W ruchu obraz czworościanu jest czworościanem, obrazem przestrzeni jest cała przestrzeń, obraz półprzestrzeni jest półprzestrzenią.

• Właściwość 6. Podczas ruchu kąty są zachowane, tj. każdy kąt jest odwzorowany na kąt tego samego typu i tej samej wielkości. To samo dotyczy kątów dwuściennych.

• Definicja. Przeniesienie równoległe, czyli w skrócie przeniesienie figury, to jej przedstawienie, w którym wszystkie jej punkty są przesunięte w tym samym kierunku o równe odległości, tj. podczas tłumaczenia każde dwa punkty X i Y figury są mapowane na takie punkty X" i Y", że XX" = YY".

• Główna właściwość transferu:

• Tłumaczenie równoległe zachowuje odległości i kierunki, tj. X"Y" = XY.

• Z tego wynika, że ​​transfer równoległy jest ruchem zachowującym kierunek i odwrotnie, ruch zachowujący kierunek jest transferem równoległym.

• Stwierdzenia te sugerują również, że kompozycja tłumaczeń równoległych jest tłumaczeniem równoległym.

• Przesunięcie równoległe figury jest określane przez określenie jednej pary odpowiadających sobie punktów. Na przykład, jeśli wskazano, do którego punktu A" idzie dany punkt A, to translację tę daje wektor AA", a to oznacza, że ​​wszystkie punkty są przesunięte o ten sam wektor, tj. XX" = AA" dla wszystkich X punktów.

• Centralną symetrią figury względem O jest takie odwzorowanie tej figury, które wiąże z każdym z jej punktów punkt symetryczny względem O.

• Główna właściwość: Centralna symetria zachowuje odległość i odwraca kierunek. Innymi słowy, dowolne dwa punkty X i Y figury F odpowiadają punktom X" i Y" takim, że X"Y" = -XY.

• Z tego wynika, że ​​centralna symetria to ruch, który zmienia kierunek na przeciwny i odwrotnie, ruch, który zmienia kierunek na przeciwny, to centralna symetria.

• Symetria środkowa figury jest określona przez określenie jednej pary istniejących punktów: jeśli punkt A jest odwzorowany na A", to środek symetrii jest środkiem odcinka AA".

• Odwzorowanie figury, w którym każdy z jej punktów odpowiada punktowi symetrycznemu do niej względem danej płaszczyzny, nazywamy odbiciem figury w tej płaszczyźnie (lub symetrią lustrzaną).

• Punkty A i A" nazywamy symetrycznymi względem płaszczyzny, jeśli odcinek AA" jest prostopadły do ​​tej płaszczyzny i jest przez nią podzielony na pół. Dowolny punkt płaszczyzny (jest uważany za symetryczny względem siebie w stosunku do tej płaszczyzny.

• Twierdzenie 1. Odbicie w płaszczyźnie zachowuje odległości, a zatem jest ruchem.

• Twierdzenie 2. Ruch, w którym wszystkie punkty pewnej płaszczyzny są ustalone, jest odbiciem w tej płaszczyźnie lub identycznym odwzorowaniem.

• Symetrię lustrzaną określa się przez określenie jednej pary odpowiadających sobie punktów, które nie leżą w płaszczyźnie symetrii: płaszczyzna symetrii przechodzi przez środek odcinka łączącego te punkty, prostopadle do niego.

• Figurę nazywamy figurą obrotową, jeśli istnieje taka prosta linia, każdy obrót wokół siebie, który łączy figurę z samą sobą, innymi słowy, odwzorowuje ją na sobie. Taka linia prosta nazywana jest osią obrotu figury. Najprostsze bryły obrotowe: kula, prawy okrągły walec, prawy okrągły stożek.

Szczególnym przypadkiem skrętu wokół linii prostej jest skręt o 180 (. Podczas zawracania prostej a o 180 (każdy punkt A idzie do takiego punktu A "że prosta a jest prostopadła do odcinka AA" i przecina go pośrodku. Takie punkty A i A "mówią, że są symetryczne względem osi a. Dlatego obrót o 180 (wokół linii prostej nazywa się symetrią osiową w przestrzeni.