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>>भौतिकी: तनाव बिजली क्षेत्र. क्षेत्रों के अध्यारोपण का सिद्धांत

यह कहना पर्याप्त नहीं है कि एक विद्युत क्षेत्र मौजूद है। दर्ज करना होगा मात्रात्मक विशेषताखेत। उसके बाद, विद्युत क्षेत्रों की एक दूसरे के साथ तुलना की जा सकती है और उनके गुणों का अध्ययन जारी रखा जा सकता है।
आवेश पर कार्य करने वाले बलों द्वारा विद्युत क्षेत्र का पता लगाया जाता है। यह तर्क दिया जा सकता है कि यदि हम क्षेत्र के किसी भी बिंदु पर किसी भी आवेश पर कार्य करने वाले बल को जानते हैं, तो हमें क्षेत्र के बारे में आवश्यक सब कुछ पता है।
इसलिए, क्षेत्र की ऐसी विशेषता का परिचय देना आवश्यक है, जिसका ज्ञान हमें इस बल को निर्धारित करने की अनुमति देगा।
यदि हम बारी-बारी से छोटे आवेशित पिंडों को क्षेत्र के एक ही बिंदु पर रखते हैं और बलों को मापते हैं, तो यह पाया जाएगा कि क्षेत्र से आवेश पर कार्य करने वाला बल इस आवेश के समानुपाती होता है। वास्तव में, क्षेत्र को एक बिंदु आवेश द्वारा निर्मित होने दें क्यू 1. कूलम्ब के नियम के अनुसार (14.2) आवेश के लिए क्यू2आवेश के समानुपाती बल होता है क्यू2. इसलिए, क्षेत्र के किसी बिंदु पर लगाए गए आवेश पर कार्य करने वाले बल का क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु के लिए इस आवेश का अनुपात आवेश पर निर्भर नहीं करता है और इसे क्षेत्र की विशेषता के रूप में माना जा सकता है। इस विशेषता को विद्युत क्षेत्र की ताकत कहा जाता है। एक बल की तरह, क्षेत्र की ताकत - वेक्टर क्वांटिटी; यह एक पत्र द्वारा दर्शाया गया है। यदि क्षेत्र में रखा गया आवेश द्वारा निरूपित किया जाता है क्यूके बजाय क्यू2, तो तनाव होगा:

किसी दिए गए बिंदु पर क्षेत्र की ताकत उस बल के अनुपात के बराबर होती है जिसके साथ क्षेत्र इस बिंदु पर इस बिंदु पर लगाए गए बिंदु आवेश पर कार्य करता है।
अत: आवेश पर कार्य करने वाला बल क्यूविद्युत क्षेत्र की ओर से, के बराबर है:

सदिश की दिशा धनात्मक आवेश पर कार्य करने वाले बल की दिशा के समान होती है और ऋणात्मक आवेश पर कार्य करने वाले बल की दिशा के विपरीत होती है।
फील्ड की छमता बिंदु प्रभार. एक बिंदु आवेश द्वारा निर्मित विद्युत क्षेत्र की ताकत का पता लगाएं क्यू0. कूलम्ब के नियम के अनुसार, यह आवेश धनात्मक आवेश पर कार्य करेगा क्यूके बराबर बल के साथ

एक बिंदु आवेश का क्षेत्र शक्ति मापांक क्यू0दूरी पर आरसे इसके बराबर है:

विद्युत क्षेत्र के किसी भी बिंदु पर तीव्रता सदिश इस बिंदु और आवेश को जोड़ने वाली सीधी रेखा के अनुदिश निर्देशित होती है ( अंजीर.14.7) और किसी दिए गए बिंदु पर रखे गए धनात्मक आवेश पर लगने वाले बल के साथ मेल खाता है।

क्षेत्रों के अध्यारोपण का सिद्धांत. यदि शरीर पर कई बल कार्य करते हैं, तो यांत्रिकी के नियमों के अनुसार, परिणामी बल इन बलों के ज्यामितीय योग के बराबर होता है:

विद्युत क्षेत्र से बलों द्वारा विद्युत आवेशों पर कार्य किया जाता है। यदि, जब कई आवेशों के क्षेत्रों को लागू किया जाता है, तो इन क्षेत्रों का एक दूसरे पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, तो सभी क्षेत्रों से परिणामी बल प्रत्येक क्षेत्र से बलों के ज्यामितीय योग के बराबर होना चाहिए। अनुभव बताता है कि हकीकत में ऐसा ही होता है। इसका मतलब है कि क्षेत्र की ताकत ज्यामितीय रूप से जुड़ती है।
यदि अंतरिक्ष में किसी दिए गए बिंदु पर विभिन्न आवेशित कण विद्युत क्षेत्र बनाते हैं, जिसकी ताकत आदि, तो इस बिंदु पर परिणामी क्षेत्र की ताकत इन क्षेत्रों की ताकत के योग के बराबर है:

इसके अलावा, सिंगल चार्ज द्वारा बनाई गई फील्ड स्ट्रेंथ को परिभाषित किया जाता है जैसे कि फील्ड बनाने वाले कोई अन्य चार्ज नहीं थे।
सुपरपोजिशन के सिद्धांत के लिए धन्यवाद, किसी भी बिंदु पर आवेशित कणों की एक प्रणाली की क्षेत्र शक्ति को खोजने के लिए, एक बिंदु आवेश की क्षेत्र शक्ति के लिए अभिव्यक्ति (14.9) को जानना पर्याप्त है। चित्र 14.8 दिखाता है कि बिंदु पर क्षेत्र की ताकत कैसे होती है ए, दो बिंदु आवेशों द्वारा निर्मित क्यू 1और क्यू 2, क्यू 1>क्यू 2

विद्युत क्षेत्र की शुरूआत से आवेशित कणों की परस्पर क्रिया बलों की गणना की समस्या को दो भागों में विभाजित करना संभव हो जाता है। सबसे पहले, आरोपों द्वारा बनाए गए क्षेत्र की ताकत की गणना की जाती है, और फिर बलों को ज्ञात ताकत से निर्धारित किया जाता है। भागों में समस्या का यह विभाजन आमतौर पर बल गणना की सुविधा प्रदान करता है।

???
1. विद्युत क्षेत्र की शक्ति को क्या कहते हैं?
2. एक बिंदु आवेश की क्षेत्र शक्ति क्या है?
3. चार्ज फील्ड स्ट्रेंथ q 0 को कैसे निर्देशित किया जाता है यदि क्यू0>0 ? अगर क्यू0<0 ?
4. क्षेत्रों के अध्यारोपण का सिद्धांत कैसे तैयार किया जाता है?

जी.वाई.मायाकिशेव, बी.बी.बुखोवत्सेव, एन.एन.सोत्स्की, भौतिकी ग्रेड 10

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एक सतह चार्ज घनत्व के साथ चार्ज किया गया एक अनंत विमान: एक अनंत विमान द्वारा बनाए गए विद्युत क्षेत्र की ताकत की गणना करने के लिए, हम अंतरिक्ष में एक सिलेंडर का चयन करते हैं, जिसका अक्ष आवेशित विमान के लंबवत होता है, और आधार इसके समानांतर होते हैं और इनमें से एक आधार हमारे लिए रुचि के क्षेत्र बिंदु से होकर गुजरता है। गॉस प्रमेय के अनुसार, एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर का प्रवाह है:

=, दूसरी ओर यह है: =E

समीकरणों के सही भागों की बराबरी करें:

हम सतह चार्ज घनत्व के माध्यम से = - व्यक्त करते हैं और विद्युत क्षेत्र की ताकत पाते हैं:

समान सतह घनत्व वाली विपरीत आवेशित प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र की ताकत का पता लगाएं:

प्लेटों के बाहर का क्षेत्र ज्ञात कीजिए:

आवेशित गोले की क्षेत्र शक्ति

Ф= (2) टी. गॉस

r . के लिए< R

; , इसलिये (गोले के अंदर कोई शुल्क नहीं है)

आर = आर . के लिए

( ; ; )

आर> आर . के लिए

पूरे आयतन में समान रूप से आवेशित गेंद द्वारा निर्मित क्षेत्र की तीव्रता

वॉल्यूमेट्रिक चार्ज घनत्व,

गेंद पर वितरित:

r . के लिए< R

आर = आर . के लिए

आर> आर . के लिए

चार्ज के आंदोलन पर इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र का कार्य

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र- ईमेल स्थिर चार्ज क्षेत्र।
फेल, आरोप पर अभिनय करते हुए, उसे हिलाता है, काम करता है।
एक समान विद्युत क्षेत्र में, Fel = qE एक स्थिर मान है

फील्ड वर्क (इलेक्ट्रॉनिक बल) निर्भर नहीं करताप्रक्षेपवक्र के आकार पर और बंद प्रक्षेपवक्र पर = शून्य।

यदि एक अन्य बिंदु आवेश Q 0 किसी बिंदु आवेश Q के स्थिरवैद्युत क्षेत्र में बिंदु 1 से बिंदु 2 तक किसी प्रक्षेपवक्र (चित्र 1) के साथ चलता है, तो आवेश पर लगाया गया बल कुछ कार्य करता है। प्राथमिक विस्थापन dl पर F बल का कार्य है क्योंकि d मैं/cosα=dr, फिर चार्ज क्यू 0 को बिंदु 1 से बिंदु 2 (1) तक ले जाने पर कार्य करें, गति के प्रक्षेपवक्र पर निर्भर नहीं करता है, लेकिन केवल प्रारंभिक 1 और अंतिम 2 बिंदुओं की स्थिति से निर्धारित होता है। इसका मतलब यह है कि एक बिंदु आवेश का इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र संभावित है, और इलेक्ट्रोस्टैटिक बल रूढ़िवादी हैं। सूत्र (1) से, यह देखा जा सकता है कि जब एक विद्युत आवेश एक बाहरी इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र में एक मनमाना बंद के साथ चलता है तो वह कार्य किया जाता है पथ L शून्य के बराबर है, अर्थात (2) यदि हम एक एकल बिंदु धनात्मक आवेश को आवेश के रूप में लेते हैं जो एक इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र में स्थानांतरित हो जाता है, तो पथ dl पर क्षेत्र बलों का प्रारंभिक कार्य Еdl = E के बराबर होता है मैंडी मैं, जहां ई मैं= Ecosα - प्राथमिक विस्थापन की दिशा में वेक्टर E का प्रक्षेपण। तब सूत्र (2) को (3) के रूप में निरूपित किया जा सकता है, समाकलन को तीव्रता सदिश का संचलन कहा जाता है। इसलिए, तनाव वेक्टर का संचलन इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्रकिसी भी बंद समोच्च के साथ शून्य के बराबर है। एक बल क्षेत्र जिसमें संपत्ति (3) होती है उसे क्षमता कहा जाता है। वेक्टर ई के संचलन की समानता से शून्य तक यह निम्नानुसार है कि इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की रेखाओं को बंद नहीं किया जा सकता है, वे आवश्यक रूप से चार्ज (सकारात्मक या नकारात्मक पर) शुरू और समाप्त होते हैं या अनंत तक जाते हैं। फॉर्मूला (3) केवल इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के लिए मान्य है। निम्नलिखित में, यह दिखाया जाएगा कि गतिमान आवेशों के क्षेत्र के मामले में स्थिति (3) सत्य नहीं है (इसके लिए, तीव्रता वेक्टर का संचलन गैर-शून्य है)।

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के लिए परिसंचरण प्रमेय।

चूँकि स्थिरवैद्युत क्षेत्र केंद्रीय है, ऐसे क्षेत्र में आवेश पर कार्य करने वाले बल संरक्षी होते हैं। चूंकि यह प्राथमिक कार्य का प्रतिनिधित्व करता है जो क्षेत्र बल एक इकाई आवेश पर उत्पन्न करते हैं, एक बंद लूप पर रूढ़िवादी बलों का कार्य बराबर होता है

क्षमता

"चार्ज - इलेक्ट्रोस्टैटिक फील्ड" या "चार्ज - चार्ज" सिस्टम में संभावित ऊर्जा होती है, जैसे "गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र - शरीर" प्रणाली में संभावित ऊर्जा होती है।

क्षेत्र की ऊर्जा अवस्था को दर्शाने वाली भौतिक अदिश राशि कहलाती है क्षमताक्षेत्र में दिया गया बिंदु। एक आवेश q को क्षेत्र में रखा गया है, इसकी स्थितिज ऊर्जा W है। विभव एक स्थिरवैद्युत क्षेत्र की विशेषता है।

यांत्रिकी में संभावित ऊर्जा पर विचार करें। जब शरीर जमीन पर होता है तो स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है। और जब शरीर को एक निश्चित ऊंचाई तक उठाया जाता है, तो शरीर में स्थितिज ऊर्जा होती है।

बिजली में संभावित ऊर्जा के संबंध में, नहीं है शून्य स्तरसंभावित ऊर्जा। उसे यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इसलिए, क्षमता एक सापेक्ष भौतिक मात्रा है।

किसी क्षेत्र की स्थितिज ऊर्जा वह कार्य है जो एक इलेक्ट्रोस्टैटिक बल करता है जब एक आवेश क्षेत्र के किसी बिंदु से शून्य क्षमता वाले बिंदु पर जाता है।

आइए एक विशेष मामले पर विचार करें जब एक विद्युत आवेश Q द्वारा एक इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र बनाया जाता है। ऐसे क्षेत्र की क्षमता का अध्ययन करने के लिए, इसमें चार्ज q लगाने की कोई आवश्यकता नहीं है। आप आवेश Q से दूरी r पर स्थित ऐसे क्षेत्र के किसी भी बिंदु की क्षमता की गणना कर सकते हैं।

माध्यम के ढांकता हुआ स्थिरांक का एक ज्ञात मान (तालिका) होता है, यह उस माध्यम की विशेषता है जिसमें क्षेत्र मौजूद है। हवा के लिए, यह एक के बराबर है।

संभावित अंतर

आवेश को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने के क्षेत्र के कार्य को संभावित अंतर कहा जाता है

यह सूत्र एक अलग रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है

सुपरपोजिशन सिद्धांत

कई आवेशों द्वारा निर्मित क्षेत्र की क्षमता बीजगणितीय (क्षमता के संकेत को ध्यान में रखते हुए) प्रत्येक क्षेत्र के क्षेत्रों की क्षमता के योग के बराबर होती है।

यह निश्चित बिंदु आवेशों की एक प्रणाली की ऊर्जा है, एक एकान्त आवेशित चालक की ऊर्जा और एक आवेशित संधारित्र की ऊर्जा है।

यदि दो आवेशित कंडक्टरों (संधारित्र) की एक प्रणाली है, तो सिस्टम की कुल ऊर्जा कंडक्टरों की आंतरिक संभावित ऊर्जा और उनकी बातचीत की ऊर्जा के योग के बराबर होती है:

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र ऊर्जाबिंदु शुल्क की प्रणाली के बराबर है:

एक समान रूप से चार्ज किया गया विमान।
एक सतह चार्ज घनत्व के साथ चार्ज किए गए अनंत विमान द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र की ताकत की गणना गॉस प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है।

यह समरूपता की स्थिति से निम्नानुसार है कि वेक्टर इहर जगह विमान के लंबवत। इसके अलावा, विमान के संबंध में सममित बिंदुओं पर, वेक्टर इपरिमाण में समान और दिशा में विपरीत होगा।
एक बंद सतह के रूप में, हम एक सिलेंडर चुनते हैं, जिसकी धुरी विमान के लंबवत होती है, और आधार समतल के संबंध में सममित रूप से स्थित होते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
चूंकि तनाव की रेखाएं सिलेंडर की पार्श्व सतह के जनरेटर के समानांतर होती हैं, प्रवाह के माध्यम से पार्श्व सतहशून्य के बराबर। इसलिए, वेक्टर का प्रवाह इसिलेंडर की सतह के माध्यम से

सिलेंडर के आधार का क्षेत्रफल कहां है। सिलेंडर विमान से चार्ज काट देता है। यदि विमान एक सजातीय समस्थानिक माध्यम में सापेक्ष पारगम्यता के साथ है, तो

जब क्षेत्र की ताकत विमानों के बीच की दूरी पर निर्भर नहीं करती है, तो ऐसे क्षेत्र को सजातीय कहा जाता है। निर्भरता ग्राफ इ (एक्स) एक विमान के लिए।

दूरी पर स्थित दो बिंदुओं के बीच संभावित अंतर आर 1 और आर 2 आवेशित तल से के बराबर है

उदाहरण 2. दो समान रूप से आवेशित विमान।
आइए दो अनंत विमानों द्वारा बनाए गए विद्युत क्षेत्र की ताकत की गणना करें। विद्युत आवेश समान रूप से सतह घनत्व के साथ वितरित किया जाता है और . हम प्रत्येक विमान के क्षेत्र की ताकत के सुपरपोजिशन के रूप में क्षेत्र की ताकत पाते हैं। विद्युत क्षेत्र केवल विमानों के बीच के स्थान में शून्य से भिन्न होता है और बराबर होता है।

विमानों के बीच संभावित अंतर, जहां डी-विमानों के बीच की दूरी।
प्राप्त परिणामों का उपयोग परिमित आयामों की सपाट प्लेटों द्वारा बनाए गए क्षेत्रों की अनुमानित गणना के लिए किया जा सकता है, यदि उनके बीच की दूरी उनके रैखिक आयामों से बहुत कम है। प्लेटों के किनारों के पास के क्षेत्रों पर विचार करते समय ऐसी गणनाओं में ध्यान देने योग्य त्रुटियां दिखाई देती हैं। निर्भरता ग्राफ इ (एक्स) दो विमानों के लिए।

उदाहरण 3. एक पतली आवेशित छड़।
एक रैखिक चार्ज घनत्व के साथ चार्ज की गई एक बहुत लंबी छड़ द्वारा बनाए गए विद्युत क्षेत्र की ताकत की गणना करने के लिए, हम गॉस प्रमेय का उपयोग करते हैं।
पर्याप्त लंबी दूरीछड़ के सिरों से, विद्युत क्षेत्र रेखाएँ छड़ की धुरी से रेडियल रूप से निर्देशित होती हैं और इस अक्ष के लंबवत विमानों में स्थित होती हैं। छड़ की धुरी से समान दूरी पर सभी बिंदुओं पर, ताकत के संख्यात्मक मान समान होते हैं यदि रॉड एक सजातीय आइसोट्रोपिक माध्यम में एक सापेक्ष ढांकता हुआ होता है
पारगम्यता।

दूरी पर स्थित एक मनमाना बिंदु पर क्षेत्र की ताकत की गणना करने के लिए आरछड़ की धुरी से, इस बिंदु से होकर एक बेलनाकार सतह खींचिए
(तस्वीर देखो)। इस बेलन की त्रिज्या है आर, और इसकी ऊंचाई एच.
सिलेंडर के ऊपरी और निचले आधारों के माध्यम से तनाव वेक्टर के प्रवाह शून्य के बराबर होंगे, क्योंकि बल की रेखाओं में इन आधारों की सतहों के लिए सामान्य घटक नहीं होते हैं। बेलन की पार्श्व सतह पर सभी बिंदुओं पर
इ= स्थिरांक
इसलिए, वेक्टर का कुल प्रवाह इसिलेंडर की सतह के माध्यम से बराबर होगा

गॉस प्रमेय द्वारा, सदिश का प्रवाह इसतह के अंदर स्थित विद्युत आवेशों के बीजगणितीय योग के बराबर है (में .) इस मामले मेंसिलेंडर) विद्युत स्थिरांक के उत्पाद और माध्यम की सापेक्ष पारगम्यता से विभाजित होता है

रॉड के उस हिस्से का चार्ज कहां है जो सिलेंडर के अंदर है। इसलिए, विद्युत क्षेत्र की ताकत

दूरी पर स्थित दो बिंदुओं के बीच विद्युत क्षेत्र का संभावित अंतर आर 1 और आर 2 छड़ की धुरी से, हम विद्युत क्षेत्र की शक्ति और क्षमता के बीच संबंध का उपयोग करके पाएंगे। चूंकि क्षेत्र की ताकत केवल रेडियल दिशा में बदलती है, तो

उदाहरण 4. आवेशित गोलाकार सतह।
एक गोलाकार सतह द्वारा बनाया गया विद्युत क्षेत्र, जिस पर सतह घनत्व वाला विद्युत आवेश समान रूप से वितरित होता है, में एक केंद्रीय सममित चरित्र होता है।

तनाव की रेखाएं गोले के केंद्र से त्रिज्या और वेक्टर के मापांक के साथ निर्देशित होती हैं इकेवल दूरी पर निर्भर करता है आरगोले के केंद्र से। क्षेत्र की गणना करने के लिए, हम त्रिज्या की एक बंद गोलाकार सतह चुनते हैं आर.
जब आर ओ इ = 0.
क्षेत्र की ताकत शून्य है, क्योंकि गोले के अंदर कोई चार्ज नहीं है।
गॉस प्रमेय के अनुसार r > R (गोले के बाहर) के लिए

गोले के चारों ओर के माध्यम की सापेक्ष पारगम्यता कहाँ है।

तीव्रता उसी नियम के अनुसार घटती है जैसे किसी बिंदु आवेश की क्षेत्र शक्ति, अर्थात नियम के अनुसार।
जब आर ओ r > R (गोले के बाहर) के लिए।
निर्भरता ग्राफ इ (आर) गोले के लिए।

उदाहरण 5. आयतन-आवेशित ढांकता हुआ गेंद।
यदि त्रिज्या वाली गेंद आरएक सापेक्ष पारगम्यता के साथ एक सजातीय आइसोट्रोपिक ढांकता हुआ से घनत्व के साथ मात्रा पर समान रूप से चार्ज किया जाता है बिजली क्षेत्रकेंद्रीय सममित भी है।
पिछले मामले की तरह, हम वेक्टर प्रवाह की गणना करने के लिए एक बंद सतह का चयन करते हैं इएक संकेंद्रित गोले के रूप में, जिसकी त्रिज्या आर 0 से भिन्न हो सकते हैं।
पर आर < आरप्रवाह वेक्टर इइस सतह के माध्यम से चार्ज द्वारा निर्धारित किया जाएगा

इसलिए

पर आर < आर(गेंद के अंदर)।
गेंद के अंदर, गेंद के केंद्र से दूरी के सीधे अनुपात में तनाव बढ़ता है। गेंद के बाहर (एट आर > आर) पारगम्यता वाले माध्यम में, फ्लक्स वेक्टर इसतह के पार चार्ज द्वारा निर्धारित किया जाएगा।
जब r o >R o (गेंद के बाहर) ।
"गेंद" की सीमा पर - वातावरण"विद्युत क्षेत्र की ताकत अचानक बदल जाती है, जिसका मूल्य गेंद और माध्यम के ढांकता हुआ स्थिरांक के अनुपात पर निर्भर करता है। निर्भरता ग्राफ इ (आर) गेंद के लिए ()।

गेंद के बाहर ( आर > आर) विद्युत क्षेत्र की क्षमता कानून के अनुसार बदलती रहती है

.

गेंद के अंदर ( आर < आर) संभावित अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित है

अंत में, हम विभिन्न आकृतियों के आवेशित पिंडों की क्षेत्र शक्तियों की गणना के लिए व्यंजक देते हैं

संभावित अंतर
वोल्टेज- प्रक्षेपवक्र के प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं पर क्षमता के मूल्यों के बीच का अंतर। वोल्टेजइस क्षेत्र के बल की रेखाओं के साथ एक इकाई धनात्मक आवेश को स्थानांतरित करते समय संख्यात्मक रूप से इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के काम के बराबर। संभावित अंतर (वोल्टेज) पसंद पर निर्भर नहीं करता है सिस्टम संयोजित करें!
संभावित अंतर की इकाई वोल्टेज 1 वी है, जब 1 सी का सकारात्मक चार्ज बल की रेखाओं के साथ चलता है, तो क्षेत्र 1 जे का काम करता है।

कंडक्टर- यह ठोस, जिसमें शरीर के भीतर "मुक्त इलेक्ट्रॉन" घूम रहे हैं।

धातु के कंडक्टर आमतौर पर तटस्थ होते हैं: उनके पास समान संख्या में नकारात्मक और सकारात्मक चार्ज होते हैं। क्रिस्टल जाली के नोड्स में धनात्मक रूप से आवेशित आयन होते हैं, ऋणात्मक इलेक्ट्रॉन होते हैं जो स्वतंत्र रूप से कंडक्टर के साथ चलते हैं। जब किसी चालक को इलेक्ट्रॉनों की अधिक संख्या दी जाती है, तो वह ऋणात्मक रूप से आवेशित हो जाता है, लेकिन यदि एक निश्चित मात्रा में इलेक्ट्रॉनों को चालक से "दूर" ले लिया जाता है, तो यह धनात्मक रूप से आवेशित हो जाता है।

अतिरिक्त शुल्क केवल अधिक वितरित किया जाता है बाहरी सतहकंडक्टर।

1 . कंडक्टर के अंदर किसी भी बिंदु पर क्षेत्र की ताकत शून्य है।

2 . कंडक्टर की सतह पर वेक्टर को सामान्य के साथ कंडक्टर की सतह पर प्रत्येक बिंदु पर निर्देशित किया जाता है।

इस तथ्य से कि कंडक्टर की सतह समविभव है, यह इस प्रकार है कि सीधे इस सतह पर क्षेत्र को प्रत्येक बिंदु पर सामान्य के साथ निर्देशित किया जाता है (स्थिति 2 ) यदि ऐसा नहीं होता, तो स्पर्शरेखा घटक की क्रिया के तहत, आवेश कंडक्टर की सतह के साथ-साथ चलते हैं। वे। एक चालक पर आवेशों का संतुलन असंभव होगा।

से 1 यह इस प्रकार है कि

कंडक्टर के अंदर कोई अतिरिक्त शुल्क नहीं है.

शुल्क केवल एक निश्चित घनत्व वाले कंडक्टर की सतह पर वितरित किए जाते हैं एसऔर बहुत पतली सतह परत में स्थित हैं (इसकी मोटाई लगभग एक या दो अंतर-परमाणु दूरी है)।

चार्ज का घनत्व- यह प्रति इकाई लंबाई, क्षेत्रफल या आयतन पर आवेश की मात्रा है, इस प्रकार रैखिक, सतह और आयतन आवेश घनत्वों का निर्धारण करता है, जिन्हें SI प्रणाली में मापा जाता है: Coulombs प्रति मीटर [C/m] में, Coulombs प्रति वर्ग मीटर[सी/एम²] और कूलम्ब पे में घन मापी[सी/एम³], क्रमशः। पदार्थ के घनत्व के विपरीत, चार्ज घनत्व में सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान हो सकते हैं, यह इस तथ्य के कारण है कि सकारात्मक और नकारात्मक चार्ज हैं।

सामान्य कार्यइलेक्ट्रोस्टाटिक्स

तनाव वेक्टर,

गॉस प्रमेय के अनुसार

पॉइसन समीकरण।

मामले में - कंडक्टरों के बीच कोई शुल्क नहीं है, हमें मिलता है

- लाप्लास समीकरण।

कंडक्टरों की सतहों पर सीमा की स्थिति ज्ञात होने दें: मान ; तो इस समस्या के अनुसार एक अनूठा समाधान है विशिष्टता प्रमेय।

समस्या को हल करते समय, मान निर्धारित किया जाता है और फिर कंडक्टरों के बीच का क्षेत्र कंडक्टरों पर आवेशों के वितरण (सतह के पास तीव्रता वेक्टर के अनुसार) द्वारा निर्धारित किया जाता है।

एक उदाहरण पर विचार करें। कंडक्टर की खाली गुहा में तनाव का पता लगाएं।

गुहा में क्षमता लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करती है;

कंडक्टर की दीवारों पर क्षमता।

इस मामले में लाप्लास समीकरण का समाधान तुच्छ है, और विशिष्टता प्रमेय द्वारा कोई अन्य समाधान नहीं हैं

, अर्थात। कंडक्टर गुहा में कोई क्षेत्र नहीं है।

पॉइसन समीकरण- दीर्घ वृत्ताकार अंतर समीकरणआंशिक डेरिवेटिव में, जो अन्य बातों के अलावा, वर्णन करता है

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र

अचल तापमान क्षेत्र,

दबाव क्षेत्र

हाइड्रोडायनामिक्स में वेग संभावित क्षेत्र।

इसका नाम प्रसिद्ध फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी और गणितज्ञ शिमोन डेनिस पॉइसन के नाम पर रखा गया है।

यह समीकरण इस तरह दिखता है:

लैपलेस ऑपरेटर या लैप्लासियन कहां है, और कुछ कई गुना पर एक वास्तविक या जटिल कार्य है।

त्रि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, समीकरण रूप लेता है:

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, लाप्लास ऑपरेटर को फॉर्म में लिखा जाता है और पॉइसन समीकरण रूप लेता है:

अगर एफशून्य हो जाता है, फिर पॉइसन समीकरण लाप्लास समीकरण में बदल जाता है (लाप्लास समीकरण पॉइसन समीकरण का एक विशेष मामला है):

पॉइसन के समीकरण को ग्रीन के फलन का उपयोग करके हल किया जा सकता है; देखें, उदाहरण के लिए, आलेख ने पॉइसन समीकरण की जांच की। वहाँ है विभिन्न तरीकेसंख्यात्मक समाधान प्राप्त करने के लिए। उदाहरण के लिए, एक पुनरावृत्त एल्गोरिथ्म का उपयोग किया जाता है - "विश्राम विधि"।

हम एक एकान्त कंडक्टर पर विचार करेंगे, यानी, एक कंडक्टर को अन्य कंडक्टरों, निकायों और आवेशों से महत्वपूर्ण रूप से हटा दिया गया है। इसकी क्षमता, जैसा कि आप जानते हैं, कंडक्टर के चार्ज के सीधे आनुपातिक है। अनुभव से यह ज्ञात होता है कि अलग-अलग कंडक्टर, समान रूप से चार्ज होने के कारण, अलग-अलग क्षमता रखते हैं। इसलिए, एक अकेले कंडक्टर के लिए, आप मान लिख सकते हैं (1) एक एकान्त कंडक्टर की विद्युत क्षमता (या बस समाई) कहा जाता है। एक एकान्त चालक की धारिता एक आवेश द्वारा दी जाती है, जिसके संचार से चालक की क्षमता एक से बदल जाती है। एक अकेले कंडक्टर की क्षमता उसके आकार और आकार पर निर्भर करती है, लेकिन कंडक्टर के अंदर गुहाओं की सामग्री, आकार और आकार के साथ-साथ इसके एकत्रीकरण की स्थिति पर निर्भर नहीं करती है। इसका कारण यह है कि कंडक्टर की बाहरी सतह पर अतिरिक्त चार्ज वितरित किए जाते हैं। कैपेसिटेंस भी कंडक्टर के चार्ज पर निर्भर नहीं करता है, न ही इसकी क्षमता पर। विद्युत क्षमता की इकाई फैराड (एफ) है: 1 एफ ऐसे एकान्त कंडक्टर की समाई है, जिसमें 1 सी का चार्ज लगाने पर क्षमता 1 वी से बदल जाती है। एक बिंदु आवेश की क्षमता के सूत्र के अनुसार, त्रिज्या R की एक एकान्त गेंद की क्षमता, जो एक समरूप माध्यम में एक पारगम्यता के साथ स्थित है, सूत्र लागू करने के बराबर है (1), हम प्राप्त करते हैं कि समाई की क्षमता गेंद (2) इससे यह पता चलता है कि एक एकान्त गेंद में 1 एफ की क्षमता होती है, जो निर्वात में स्थित होती है और जिसकी त्रिज्या R=C/(4πε 0)≈9 10 6 किमी होती है, जो इससे लगभग 1400 गुना अधिक होती है। पृथ्वी की त्रिज्या (पृथ्वी की विद्युत क्षमता C≈0.7 mF)। नतीजतन, फैराड एक बड़ा मूल्य है, इसलिए, व्यवहार में, सबमल्टीपल इकाइयों का उपयोग किया जाता है - मिलिफ़ारड (mF), माइक्रोफ़ारड (μF), नैनोफ़ारड (nF), पिकोफ़ारड (pF)। यह सूत्र (2) से भी पता चलता है कि विद्युत स्थिरांक 0 की इकाई एक फैराड प्रति मीटर (F/m) है (देखें (78.3))।

संधारित्र(अक्षांश से। संघनन- "कॉम्पैक्ट", "मोटा") - समाई और कम ओमिक चालकता के एक निश्चित मूल्य के साथ एक दो-टर्मिनल नेटवर्क; विद्युत क्षेत्र के आवेश और ऊर्जा के संचय के लिए एक उपकरण। संधारित्र एक निष्क्रिय इलेक्ट्रॉनिक घटक है। आमतौर पर दो प्लेट के आकार के इलेक्ट्रोड होते हैं (जिन्हें कहा जाता है) फेसिंग), एक ढांकता हुआ द्वारा अलग किया जाता है, जिसकी मोटाई प्लेटों के आयामों की तुलना में छोटी होती है।

क्षमता

संधारित्र की मुख्य विशेषता इसकी है क्षमताएक विद्युत आवेश को संचित करने के लिए संधारित्र की क्षमता की विशेषता। नाममात्र क्षमता का मूल्य संधारित्र के पदनाम में प्रकट होता है, जबकि वास्तविक क्षमता कई कारकों के आधार पर काफी भिन्न हो सकती है। संधारित्र की वास्तविक धारिता इसका निर्धारण करती है विद्युत गुण. तो, समाई की परिभाषा के अनुसार, प्लेट पर चार्ज प्लेटों के बीच वोल्टेज के समानुपाती होता है ( क्यू = सीयू) विशिष्ट समाई मान पिकोफ़ारड से लेकर हज़ारों माइक्रोफ़ारड तक होते हैं। हालांकि, दसियों फैराड तक की क्षमता वाले कैपेसिटर (आयनिस्टर्स) हैं।

एक क्षेत्र के साथ दो समानांतर धातु प्लेटों से मिलकर एक फ्लैट संधारित्र की क्षमता एसप्रत्येक दूरी पर स्थित है डीएक दूसरे से, SI प्रणाली में सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है: यह सूत्र तभी मान्य होता है जब डीप्लेटों के रैखिक आयामों से बहुत छोटा।

बड़ी धारिता प्राप्त करने के लिए संधारित्रों को समान्तर क्रम में जोड़ा जाता है। इस मामले में, सभी कैपेसिटर की प्लेटों के बीच वोल्टेज समान होता है। कुल बैटरी क्षमता समानांतरकनेक्टेड कैपेसिटर बैटरी में शामिल सभी कैपेसिटर की कैपेसिटेंस के योग के बराबर है।

यदि समानांतर में जुड़े सभी कैपेसिटर में प्लेटों और ढांकता हुआ गुणों के बीच समान दूरी होती है, तो इन कैपेसिटर को एक बड़े कैपेसिटर के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो एक छोटे से क्षेत्र के टुकड़ों में विभाजित होता है।

जब कैपेसिटर श्रृंखला में जुड़े होते हैं, तो सभी कैपेसिटर के चार्ज समान होते हैं, क्योंकि उन्हें केवल बाहरी इलेक्ट्रोड को बिजली स्रोत से आपूर्ति की जाती है, और आंतरिक इलेक्ट्रोड पर वे केवल चार्ज के पृथक्करण के कारण प्राप्त होते हैं जो पहले एक दूसरे को बेअसर करते थे। . कुल बैटरी क्षमता क्रमिककनेक्टेड कैपेसिटर है

यह धारिता हमेशा बैटरी में शामिल संधारित्र की न्यूनतम धारिता से कम होती है। हालांकि, श्रृंखला में जुड़े होने पर, कैपेसिटर के टूटने की संभावना कम हो जाती है, क्योंकि प्रत्येक कैपेसिटर वोल्टेज स्रोत के संभावित अंतर का केवल एक हिस्सा होता है।

यदि श्रृंखला में जुड़े सभी कैपेसिटर की प्लेटों का क्षेत्रफल समान है, तो इन कैपेसिटर को एक बड़े कैपेसिटर के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसकी प्लेटों के बीच सभी कैपेसिटर की ढांकता हुआ प्लेटों का ढेर होता है जो इसे बनाते हैं।

[संपादित करें] विशिष्ट क्षमता

कैपेसिटर को विशिष्ट कैपेसिटेंस की विशेषता भी होती है - ढांकता हुआ के वॉल्यूम (या द्रव्यमान) के लिए कैपेसिटेंस का अनुपात। अधिकतम विशिष्ट समाई मान पर पहुँच जाता है न्यूनतम मोटाईढांकता हुआ, लेकिन यह इसके टूटने वाले वोल्टेज को कम करता है।

में इलेक्ट्रिक सर्किट्सविभिन्न कैपेसिटर को जोड़ने के तरीके. कैपेसिटर का कनेक्शनबनाया जा सकता है: क्रमिक, समानांतरऔर श्रृंखला समानांतर(उत्तरार्द्ध को कभी-कभी मिश्रित संधारित्र कनेक्शन कहा जाता है)। मौजूदा प्रजातियांसंधारित्र कनेक्शन चित्र 1 में दिखाए गए हैं।

चित्रा 1. कैपेसिटर को जोड़ने के तरीके।

दूसरा सेमेस्टर

व्याख्यान 19.

1. निर्वात में इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र

1.1 असतत विद्युत आवेश। विद्युत आवेश के संरक्षण का नियम

स्रोत विद्युत चुम्बकीयविद्युत आवेश के रूप में कार्य करता है आंतरिक विशेषताप्राथमिक कण, जो विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रियाओं में प्रवेश करने की क्षमता को निर्धारित करता है। विद्युत आवेश दो प्रकार के होते हैं - धनात्मक और ऋणात्मक। विद्युत आवेश असतत है - किसी भी पिंड का आवेश प्राथमिक विद्युत आवेश का पूर्णांक गुणज होता है इ\u003d 1.610 -19 सीएल। आवेश के चिन्ह के अनुसार, सभी प्राथमिक कणों को दो वर्गों में विभाजित किया जा सकता है: ऋणात्मक रूप से आवेशित (उदाहरण के लिए, एक इलेक्ट्रॉन) और धनात्मक आवेश (प्रोटॉन, पॉज़िट्रॉन, आदि)। प्रकृति के मूलभूत सख्त नियमों में से एक विद्युत आवेश के संरक्षण का नियम है: किसी भी बंद (विद्युत रूप से पृथक) प्रणाली के विद्युत आवेशों का बीजगणितीय योग स्थिर रहता है, चाहे इस प्रणाली के अंदर कोई भी प्रक्रिया क्यों न हो।
^

1.2 कूलम्ब का नियम। विद्युत क्षेत्र की ताकत

फिक्स्ड के बीच बातचीत विद्युत शुल्कविद्युत क्षेत्र के माध्यम से किया जाता है। विद्युत क्षेत्र का विचार 19वीं शताब्दी के 30 के दशक में पेश किया गया था। अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी एम। फैराडे। फैराडे के अनुसार, विरामावस्था में प्रत्येक आवेश अपने चारों ओर एक विद्युत क्षेत्र बनाता है; एक आवेश का क्षेत्र दूसरे आवेश पर कार्य करता है, और इसके विपरीत - इस प्रकार आवेशों के बीच परस्पर क्रिया होती है।

दो बिंदु स्थिर आवेशों के बीच परस्पर क्रिया का बल कूलम्ब के नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है: दो बिंदु आवेश स्थिर प्रभारआवेशों के गुणनफल के समानुपाती बल के साथ परस्पर क्रिया करते हैं और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं:

,

(1.1)

कहाँ पे कइकाइयों की प्रणाली की पसंद के आधार पर एक स्थिरांक है। कूलम्ब बल आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश निर्देशित होता है। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, कूलम्ब बल अलग-अलग आवेशों पर लागू होते हैं और या तो एक दूसरे की ओर (यदि आवेश विपरीत होते हैं) या विपरीत दिशाओं में (यदि आवेश एक ही चिन्ह के होते हैं) निर्देशित होते हैं। एसआई स्थिरांक में

, जहां 0 - एसआई विद्युत स्थिरांक, 0 = 8.85 10 -12 सी 2 / (एन  एम 2)।

इस प्रकार, निर्वात में स्थित आवेशों के लिए, कूलम्ब के नियम का रूप है

.

(1.2)

SI में विद्युत आवेश को कूलम्ब में मापा जाता है। एक पेंडेंट एक ऐसा आवेश होता है जिससे होकर प्रवाहित होता है अनुप्रस्थ अनुभाग 1 ए के बराबर एक स्थिर धारा पर 1 एस में कंडक्टर।

विद्युत क्षेत्र की शक्ति विशेषता तीव्रता है - एक वेक्टर मात्रा, जिसका मॉड्यूल इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र से एक यूनिट चार्ज पर अभिनय करने वाले बल के बराबर होता है; और दिशा सकारात्मक चार्ज पर कार्य करने वाले बल की दिशा के समान है

कहाँ पे इसेमाध्यम में इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की ताकत है।

यदि एक इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र कई आवेशों द्वारा बनाया जाता है, तो, सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार, एक निश्चित बिंदु पर कुल क्षेत्र की ताकत को इस बिंदु पर अलग-अलग आवेशों द्वारा बनाई गई शक्तियों के वेक्टर योग के रूप में परिभाषित किया जाता है:

(1.5)

^

1.3. एक बिंदु आवेश और एक विद्युत द्विध्रुव की क्षेत्र शक्ति की गणना

1.3.1. एक बिंदु आवेश की क्षेत्र शक्ति

चावल। 1.1

आइए इसे एक बिंदु पर रखें लेकिन(चित्र। 1.1), कुछ दूरी पर स्थित है आरप्रभार से क्यू, परीक्षण प्रभार क्यूऔर कूलम्ब के नियम के अनुसार उनके बीच परस्पर क्रिया का बल ज्ञात कीजिए। तब आवेश द्वारा निर्मित क्षेत्र की शक्ति क्यूदूरी पर आर, (1.2) और (1.5) के आधार पर सूत्र द्वारा पाया जा सकता है
^

1.3.2. विद्युत द्विध्रुवीय क्षेत्र की ताकत

एक विद्युत द्विध्रुव दो बिंदु आवेशों का एक संग्रह है, परिमाण में बराबर लेकिन संकेत में विपरीत, दूरी पर दृढ़ता से तय किया गया है मैंएक दूसरे से (चित्र 1.2)। दूरी मैंद्विध्रुव की भुजा कहलाती है, और सदिश

(1.8)

चावल। 1.2
द्विध्रुवीय क्षण (द्विध्रुव का विद्युत क्षण)। द्विध्रुवीय क्षण को धनात्मक आवेश की ओर द्विध्रुवीय अक्ष के साथ निर्देशित किया जाता है (चित्र 1.2)। आइए अब हम द्विध्रुवीय क्षेत्र की ताकत का पता लगाएं, खुद को मामले तक सीमित रखें आर>>एल.
^

ए। द्विध्रुवीय अक्ष की निरंतरता पर स्थित एक बिंदु पर क्षेत्र की ताकत

सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार, बिंदु पर क्षेत्र की ताकत लेकिन(चित्र 1.3)

चावल। 1.3

कहाँ पे और

क्रमशः आवेशों द्वारा निर्मित क्षेत्र की शक्ति है +क्यू और -क्यू. वैक्टर के बाद से और विपरीत दिशाओं में निर्देशित, फिर वेक्टर का मापांक मर्जी

, जहां (1.6) के अनुसार

. इस प्रकार से,

.

हम व्यंजक को कोष्ठक में इस प्रकार रूपांतरित करते हैं। अंजीर से। 1.3 दर्शाता है कि

, कहाँ पे आरबिंदु के बीच की दूरी है लेकिनऔर द्विध्रुवीय का केंद्र। तो हमारे पास हैं

.

जहां तक ​​कि आर>>एल, फिर मूल्य

हर में उपेक्षित किया जा सकता है, इसलिए

;

. इसलिये क्यूएलईएक द्विध्रुवीय क्षण है, तो

बी। द्विध्रुवीय अक्ष के लंबवत पर क्षेत्र की ताकत

चावल। 1.4
अंजीर से। 1.4 दर्शाता है कि

।आगे

,

,

फलस्वरूप,

, कहाँ पे पीमैं=क्यूएलद्विध्रुवीय क्षण है। इस प्रकार से,

.

(1.10)

(1.9) और (1.10) की तुलना से पता चलता है कि द्विध्रुवीय अक्ष पर क्षेत्र की ताकत अपनी धुरी के लंबवत की तुलना में 2 गुना अधिक है। यह भी ध्यान दें कि द्विध्रुवीय क्षेत्र की ताकत 1/ के रूप में घट जाती है आर-3, यानी पॉइंट चार्ज की तुलना में तेज़, जहाँ इ 1/आर ‑2 .
^

1.4. बिजली के तार। तनाव वेक्टर प्रवाह। ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की बल रेखा एक रेखा है, जिस पर प्रत्येक बिंदु पर सदिश की दिशा के साथ स्पर्शरेखा होती है (चित्र 1.5)।

चावल। 1.5
फ़ील्ड लाइन गुण:

क) स्थिरवैद्युत क्षेत्र की बल रेखाएं प्रतिच्छेद नहीं करती हैं;

बी) इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की बल रेखाएं खुली हैं - वे सकारात्मक चार्ज से शुरू होती हैं और नकारात्मक चार्ज पर समाप्त होती हैं (या अनंत तक जाती हैं)।

आइए हम क्षेत्र शक्ति वेक्टर के प्रवाह की अवधारणा का परिचय दें। परिभाषा के अनुसार, साइट के माध्यम से तीव्रता वेक्टर का प्राथमिक प्रवाह डी एस

कहाँ पे एक इकाई वेक्टर है जो सामान्य के साथ मेल खाता है।

किसी भी सतह के माध्यम से तीव्रता वेक्टर का कुल प्रवाह संपूर्ण सतह के लिए एकीकृत (11.12) द्वारा पाया जा सकता है

एक बंद सतह के लिए

इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में सबसे महत्वपूर्ण भूमिका ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय द्वारा निभाई जाती है, जिसे निम्नानुसार तैयार किया गया है: किसी भी बंद सतह के माध्यम से तीव्रता वेक्टर का प्रवाह इस सतह के अंदर आरोपों के बीजगणितीय योग के समानुपाती होता है:

, (1.13)

चावल। 1.6

प्रमाण. आइए हम सबसे सरल मामले पर विचार करें, जब एक बंद सतह एक गोला होता है, जिसके केंद्र में एक बिंदु आवेश होता है +क्यू(चित्र। 1.7)। हम गोले पर एक प्राथमिक क्षेत्र को अलग करते हैं डी एस. इस साइट और वेक्टर के लिए सामान्य दिशा में मेल खाता है, इसलिए।

चावल। 1.7
हम इंटीग्रैंड को (1.13) में इस प्रकार बदलते हैं:

इस बात को ध्यान में रखते हुए कि गोले की सतह पर हर जगह इ= स्थिरांक, और व्यंजक (11.6) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

प्रमेय विशेष मामले के लिए सिद्ध किया गया है जब गोलाकार सतह के अंदर एक चार्ज होता है। आरोपों की मनमानी संख्या और एक मनमाना बंद सतह के मामले में सबूत को आसानी से सामान्यीकृत किया जाता है।

कुल प्रवाह में, जो बंद सतह के बाहर स्थित आवेशों द्वारा निर्मित होता है, सकारात्मक और नकारात्मक भागों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है, जिन्हें पारस्परिक रूप से मुआवजा दिया जाता है। इसलिए, ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय में दी गई बंद सतह के बाहरी आरोपों को ध्यान में नहीं रखा जाता है।

ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय आवेशों को उनके द्वारा निर्मित विद्युत क्षेत्रों से जोड़ता है और इस तथ्य को दर्शाता है कि स्थिर विद्युत आवेश एक इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के स्रोत के रूप में कार्य करते हैं।

यह प्रमेय कूलम्ब के नियम से निकटता से संबंधित है: यदि कूलम्ब का नियम मान्य है, तो ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय भी मान्य है, और इसके विपरीत। यदि कूलम्ब के नियम में घातांक दो से कम से कम थोड़ा अलग था, अर्थात। एफ 1/ आर 2+ α , कहाँ पे α – मनमाने ढंग से छोटी संख्या, तो ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय का उल्लंघन होगा। ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय की वैधता को कूलम्ब कानून की तुलना में बहुत अधिक सटीकता के साथ प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित किया गया है।
^

1.5. क्षेत्रों की गणना करने के लिए ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय का अनुप्रयोग

कुछ मामलों में ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय किसी दिए गए चार्ज वितरण के लिए इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की ताकत की गणना करना अपेक्षाकृत आसान बनाता है। आइए कुछ उदाहरण देखें।
^

1.5.1. एक अनंत समान रूप से आवेशित विमान का क्षेत्र

मान लीजिए कि सतह आवेश घनत्व के साथ एक समान रूप से आवेशित एक अनंत समतल है

[सेमी 2 ]

समरूपता के विचारों से यह इस प्रकार है कि वेक्टर विमान के लंबवत होना चाहिए। आइए एक सिलेंडर के रूप में एक बंद सतह चुनें, जिसकी पार्श्व सतह वेक्टर के साथ उन्मुख होती है (चित्र 11.8)। कुल वेक्टर प्रवाह , जाहिर है, is

चावल। 1.8


.

पार्श्व सतह के माध्यम से प्रवाह शून्य है, क्योंकि (चित्र। 1.8):

सिलेंडर बेस के माध्यम से प्रवाह:

.

तो वेक्टर का कुल प्रवाह इएक बंद सतह के माध्यम से

.

ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय के अनुसार

. इसलिए क्षेत्र की ताकत

, (1.14)

अनंत एकसमान आवेशित तल द्वारा निर्मित क्षेत्र की तीव्रता इसकी दूरी पर निर्भर नहीं करती है। वह क्षेत्र जिसमें तीव्रता का सदिश परिमाण और दिशा में समान होता है, समांगी कहलाता है।
^

11.5.2. दो अनंत एकसमान आवेशित तलों का क्षेत्र

आइए हम दो अनंत समानांतर विमानों द्वारा बनाए गए क्षेत्र की ताकत की गणना करें, जो समान रूप से +σ और -σ के सतह चार्ज घनत्व के साथ चार्ज होते हैं (चित्र 11.9)।

चावल। 1.9
सुपरपोजिशन सिद्धांत के अनुसार, कुल क्षेत्र की ताकत

,

कहाँ पे और क्रमशः धनात्मक और ऋणात्मक आवेशित तलों द्वारा उत्पन्न क्षेत्र की शक्ति है।

अंतरिक्ष I और III (चित्र 1.9) के क्षेत्रों में, वैक्टर और विपरीत दिशाओं में निर्देशित होते हैं, इसलिए कुल तनाव

क्षेत्र II में, और समांतर और निरपेक्ष मान में बराबर हैं, इसलिए

. पिछले परिणाम का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

.

इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि यदि विमानों को एक ही नाम से चार्ज किया जाता है, तो बाहरी क्षेत्रों I और III में क्षेत्र की ताकत सूत्र (11.I5) द्वारा निर्धारित की जाती है, और आंतरिक क्षेत्र I में, जिसका उपयोग किया जाता है उपकरणों की इलेक्ट्रोस्टैटिक सुरक्षा।

11.5.3. एक रैखिक चार्ज घनत्व के साथ एक अनंत समान रूप से चार्ज किए गए फिलामेंट की क्षेत्र शक्ति

[ सेमी ]

चावल। 1.10

ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि इस मामले में

.

(1.16)

सूत्र (1.16) प्राप्त करते समय, एक सिलेंडर के रूप में एक बंद सतह का चयन करना चाहिए (चित्र 1.10) और ध्यान में रखना चाहिए कि वेक्टर धागे के लंबवत है और इसलिए सिलेंडर के आधार के माध्यम से वेक्टर का प्रवाह शून्य के बराबर है।

11.6. इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र में आवेश की गति पर कार्य करें। वेक्टर परिसंचरण प्रमेय

आइए चार्ज को स्थानांतरित करने पर प्राथमिक कार्य खोजें क्यूप्रभारी द्वारा बनाए गए क्षेत्र में क्यू:

जहां बल . के बीच का कोण है और आंदोलन की दिशा

.

अंजीर से। 1.11 से पता चलता है कि

।इसीलिए

कुल कार्य लेकिन आवेश को गतिमान करना क्यूएक बिंदु से लेकिनबिल्कुल सही बीहम व्यंजक (11.17) को समाकलित करके प्राप्त करते हैं। कूलम्ब के नियम का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

. आखिरकार

, (1.18)

यदि कोई आवेश एक बिंदु से चलता है एबिल्कुल सही बीएक अलग रास्ते पर, फिर, वही गणना करने के बाद, हम फिर से सूत्र (11.18) पर आते हैं। इसलिए, इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र में काम पथ के आकार पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि केवल शुरुआती और अंत बिंदुओं की पसंद पर निर्भर करता है। इसके अलावा, जैसा कि (11.18) से देखा जा सकता है, एक बंद लूप के साथ एक इलेक्ट्रोस्टैटिक चूल्हा में एक चार्ज को स्थानांतरित करने का कार्य शून्य है, अर्थात।

, (1.19)

चावल। 1.11
इन संकेतों का मतलब है कि इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र संभावित है। 3.3 में प्राप्त परिणाम के अनुसार, संभावित ऊर्जा अंतर के संदर्भ में संभावित (रूढ़िवादी) बलों के कार्य को व्यक्त किया जा सकता है:

तुलना (11.18) और (11.20) से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दो बिंदु आवेशों की परस्पर क्रिया की स्थितिज ऊर्जा

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के लिए क्षमता की इकाई वोल्ट है। एक वोल्ट क्षेत्र में ऐसे बिंदु की क्षमता है जिस पर 1 C के आवेश में 1 J: 1 V \u003d 1 J / C की संभावित ऊर्जा होती है।

हम (1.21) को (1.22) में प्रतिस्थापित करके एक बिंदु आवेश का क्षेत्र विभव ज्ञात करते हैं:

.

(1.23)

और, अंत में, (1.22), व्यंजक (1.20) का उपयोग करके एक इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र में एक चार्ज को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने के काम के लिए चार्ज और संभावित अंतर के उत्पाद के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:
शून्य के बराबर। यह परिणाम इस तथ्य से प्राप्त होता है कि इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र में कार्य पथ के आकार से स्वतंत्र होता है। इसलिए, वेक्टर का शून्य परिसंचरण भी एक संकेत है कि इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र संभावित है।
^

11.7 क्षेत्र की ताकत और क्षमता के बीच संबंध

चूँकि स्थिरवैद्युत क्षेत्र विभव है, इसलिए इसके लिए संबंध (3.17) संतुष्ट होता है, जो संरक्षी बल और स्थितिज ऊर्जा के बीच संबंध स्थापित करता है। यदि हम सूत्र (3.17) में प्रतिस्थापित करते हैं

,

तब हमें मिलता है

, (1.28)

वे। इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की ताकत संभावित ढाल के बराबर है, जिसे "-" चिह्न के साथ लिया गया है। संकेत "-" इंगित करता है कि क्षेत्र की ताकत क्षमता में कमी की ओर निर्देशित है।

आइए हम एक समविभव पृष्ठ की अवधारणा का परिचय दें, अर्थात्। सतह, किसी भी बिंदु पर क्षमता का मूल्य समान है: =कॉन्स्ट. एक बिंदु आवेश क्षेत्र के लिए, समविभव सतह गोलाकार होती है, एक समान रूप से आवेशित फिलामेंट के लिए वे बेलनाकार होते हैं, आदि। क्षेत्र शक्ति वेक्टर हमेशा समविभव सतह के लंबवत होता है।

यदि विभव केवल एक निर्देशांक का फलन है एक्स, तो व्यंजक (1.28) को सरल किया जाता है:

एक समान इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के लिए (उदाहरण के लिए, एक फ्लैट संधारित्र का क्षेत्र), अभिव्यक्ति (2.30) सरल है:

आइए हम उदाहरण के साथ सूत्र (11.32) के अनुप्रयोग को स्पष्ट करें।

1. एक बिंदु आवेश का क्षेत्र

3. एक विद्युत द्विध्रुव का अपनी धुरी पर लंबवत क्षेत्र

5. संधारित्र क्षेत्र

.

(1.37)