Na temat „Trójkąta” można by chyba napisać całą książkę. Ale przeczytanie całej książki zajmuje zbyt dużo czasu, prawda? Dlatego tutaj rozważymy tylko fakty, które odnoszą się ogólnie do dowolnego trójkąta i wszelkiego rodzaju specjalne tematy, takie jak itp. podzielone na osobne tematy - czytaj książkę fragmentami. Cóż, jak w przypadku każdego trójkąta.
Pamiętaj mocno i nie zapomnij. Nie będziemy tego udowadniać (patrz kolejne poziomy teorii).
Jedyną rzeczą, która może wprowadzić Cię w błąd w naszym sformułowaniu, jest słowo „wewnętrzny”.
Dlaczego to jest tutaj? Ale właśnie po to, aby podkreślić, że mówimy o kątach znajdujących się wewnątrz trójkąta. Czy naprawdę są jeszcze jakieś inne zakątki na zewnątrz? Wyobraź sobie, że one się zdarzają. Trójkąt nadal ma narożniki zewnętrzne. I najważniejszą konsekwencją tego jest fakt, że kwota narożniki wewnętrzne trójkąt jest równy, dotyka tylko zewnętrznego trójkąta. Dowiedzmy się więc, co to jest narożnik zewnętrzny trójkąt.
Spójrz na zdjęcie: weź trójkąt i (powiedzmy) kontynuuj jedną stronę.
Oczywiście moglibyśmy opuścić bok i kontynuować grę. Tak:
Ale pod żadnym pozorem nie można tego powiedzieć o kącie. jest to zabronione!
Zatem nie każdy kąt znajdujący się na zewnątrz trójkąta ma prawo nazywać się kątem zewnętrznym, a jedynie ten utworzony jednej strony i kontynuacja drugiej strony.
Co zatem powinniśmy wiedzieć o kątach zewnętrznych?
Spójrz, na naszym zdjęciu to oznacza to.
Jak to się ma do sumy kątów trójkąta?
Rozwiążmy to. Suma kątów wewnętrznych wynosi
ale - ponieważ i - sąsiadują ze sobą.
Cóż, oto nadchodzi: .
Widzisz jakie to proste?! Ale bardzo ważne. Więc pamiętaj:
Suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa i kąt zewnętrzny trójkąta równa sumie dwa wewnętrzne, nie sąsiadujące z nim.
Następny fakt nie dotyczy kątów, ale boków trójkąta.
To oznacza, że
Czy już zgadłeś, dlaczego fakt ten nazywa się nierównością trójkąta?
Gdzie może się przydać ta nierówność trójkąta?
Wyobraź sobie, że masz trzech przyjaciół: Kolę, Petyę i Siergieja. I tak Kola mówi: „Od mojego domu do Petyi w linii prostej”. I Petya: „Od mojego domu do domu Siergieja, metry w linii prostej”. I Siergiej: „To dobrze dla ciebie, ale z mojego domu do Kolinoje jest prosta”. No cóż, tu trzeba powiedzieć: „Stop, stop! Niektórzy z Was kłamią!”
Dlaczego? Tak, ponieważ jeśli od Kolyi do Petyi jest m, a od Petyi do Siergieja jest m, to od Koly do Siergieja zdecydowanie musi być mniej () metrów - w przeciwnym razie naruszona zostanie ta sama nierówność trójkąta. Dobrze zdrowy rozsądek dokładnie, naturalnie, jest to łamane: w końcu wszyscy wiedzą od dzieciństwa, że droga do linii prostej () powinna być krótsza niż droga do punktu. (). Zatem nierówność trójkąta po prostu odzwierciedla ten dobrze znany fakt. Cóż, teraz wiesz, jak odpowiedzieć, powiedzmy, na pytanie:
Czy trójkąt ma boki?
Musisz sprawdzić, czy prawdą jest, że dowolne dwie z tych trzech liczb dają więcej niż trzecia. Sprawdźmy: to znaczy, że nie ma czegoś takiego jak trójkąt z bokami! Ale z bokami - dzieje się, ponieważ
A co, jeśli nie ma jednego, ale dwa lub więcej trójkątów. Jak sprawdzić, czy są równe? Właściwie z definicji:
Ale... to strasznie niewygodna definicja! Jak, powiedz, można nałożyć na siebie dwa trójkąty nawet w notatniku?! Ale na szczęście dla nas tak jest znaki równości trójkątów, które pozwalają działać zgodnie z umysłem, bez narażania notatników na ryzyko.
A poza tym, wyrzucając błahe dowcipy, zdradzę wam sekret: dla matematyka słowo „nakładanie trójkątów” wcale nie oznacza ich wycinania i nakładania, ale wypowiedzenie wielu, wielu, wielu słów, które to udowodnią dwa trójkąty będą się pokrywać po nałożeniu. Dlatego w żadnym wypadku nie pisz w swojej pracy „Sprawdziłem - trójkąty pokrywają się po nałożeniu” - nie zaliczą tego do ciebie i będą mieli rację, ponieważ nikt nie gwarantuje, że nie popełniłeś błędu przy składaniu wniosku, powiedzmy ćwierć milimetra.
Tak więc niektórzy matematycy powiedzieli kilka słów, nie będziemy ich po nich powtarzać (może z wyjątkiem ostatniego poziomu teorii), ale będziemy aktywnie używać trzy znaki równości trójkątów.
W codziennym (matematycznym) użyciu akceptowane są takie skrócone sformułowania - są łatwiejsze do zapamiętania i zastosowania.
Trójkąt jest figura geometryczna, utworzony przez trzy odcinki łączące trzy punkty, które nie leżą na tej samej linii.
Podstawowe pojęcia.
Główne właściwości:
Znaki równości trójkątów.
1. Pierwszy znak- z dwóch stron i kąt między nimi.
2. Drugi znak- w dwóch rogach i na sąsiedniej stronie.
3. Trzeci znak- z trzech stron.
No cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te słowa, oznacza to, że jesteś bardzo fajny.
Bo tylko 5% ludzi jest w stanie samodzielnie coś opanować. A jeśli przeczytasz do końca, to jesteś w tych 5%!
Teraz najważniejsza rzecz.
Zrozumiełeś teorię na ten temat. I powtarzam, to... to jest po prostu super! Już jesteś lepszy od zdecydowanej większości Twoich rówieśników.
Problem w tym, że to może nie wystarczyć...
Po co?
Aby odnieść sukces zdanie jednolitego egzaminu państwowego, o przyjęcie na studia z ograniczonym budżetem i, co najważniejsze, na całe życie.
Nie będę Cię do niczego przekonywał, powiem tylko jedno...
Osoby, które otrzymały dobre wykształcenie, zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy ich nie otrzymali. To jest statystyka.
Ale to nie jest najważniejsze.
Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Być może dlatego, że otwiera się przed nimi o wiele więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? nie wiem...
Ale pomyśl samodzielnie...
Czego potrzeba, aby na egzaminie Unified State Exam wypaść lepiej od innych i ostatecznie… być szczęśliwszym?
Zdobądź rękę, rozwiązując problemy z tego tematu.
Podczas egzaminu nie będziesz proszony o zadawanie teorii.
Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy z czasem.
A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie będziesz miał czasu.
To jak w sporcie – trzeba to powtarzać wiele razy, żeby na pewno wygrać.
Znajdź kolekcję gdziekolwiek chcesz, koniecznie z rozwiązaniami, szczegółowa analiza i decyduj, decyduj, decyduj!
Możesz skorzystać z naszych zadań (opcjonalnie) i oczywiście je polecamy.
Aby lepiej radzić sobie z naszymi zadaniami, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który aktualnie czytasz.
Jak? Istnieją dwie opcje:
Tak, w naszym podręczniku mamy 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań oraz wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.
Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez CAŁĄ żywotność witryny.
I podsumowując...
Jeśli nie podobają Ci się nasze zadania, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.
„Rozumiem” i „Umiem rozwiązać” to zupełnie różne umiejętności. Potrzebujesz obu.
Znajdź problemy i rozwiąż je!
Geometria mówi nam, czym jest trójkąt, kwadrat i sześcian. W współczesny świat uczą się jej w szkołach wszyscy bez wyjątku. Ponadto nauką bezpośrednio badającą, czym jest trójkąt i jakie ma właściwości, jest trygonometria. Szczegółowo bada wszystkie zjawiska związane z danymi. O tym, czym jest dziś trójkąt, porozmawiamy w naszym artykule. Poniżej zostaną opisane ich rodzaje oraz niektóre twierdzenia z nimi związane.
To jest płaski wielokąt. Ma trzy rogi, jak wynika z jego nazwy. Ma także trzy boki i trzy wierzchołki, pierwszy z nich to odcinki, drugi to punkty. Wiedząc, jakie są dwa kąty, możesz znaleźć trzeci, odejmując sumę pierwszych dwóch od liczby 180.
Można je klasyfikować według różnych kryteriów.
Przede wszystkim dzieli się je na ostre, rozwarte i prostokątne. Te pierwsze mają kąty ostre, czyli takie, które są mniejsze niż 90 stopni. W kątach rozwartych jeden z kątów jest rozwarty, to znaczy taki, który jest równy więcej niż 90 stopni, pozostałe dwa są ostre. Do ostrych trójkątów zaliczają się także trójkąty równoboczne. Takie trójkąty mają wszystkie boki i kąty równe. Wszystkie mają miarę 60 stopni, można to łatwo obliczyć, dzieląc sumę wszystkich kątów (180) przez trzy.
Nie sposób nie mówić o tym, co to jest prawy trójkąt.
Taka figura ma jeden kąt równy 90 stopni (prosty), to znaczy dwa jej boki są prostopadłe. Pozostałe dwa kąty są ostre. Mogą być równe, wtedy będzie to równoramienny. Twierdzenie Pitagorasa jest powiązane z trójkątem prostokątnym. Za jego pomocą możesz znaleźć trzecią stronę, znając pierwsze dwie. Zgodnie z tym twierdzeniem, jeśli dodamy kwadrat jednej nogi do kwadratu drugiej, otrzymamy kwadrat przeciwprostokątnej. Kwadrat nogi można obliczyć odejmując kwadrat znanej nogi od kwadratu przeciwprostokątnej. Mówiąc o tym, czym jest trójkąt, możemy również przypomnieć sobie trójkąt równoramienny. To taki, w którym dwa boki są równe i dwa kąty również są równe.
Noga to jeden z boków trójkąta tworzącego kąt 90 stopni. Przeciwprostokątna to pozostała strona przeciwna prosty kąt. Możesz opuścić z niego prostopadłość na nogę. Postawa sąsiadującą nogę do przeciwprostokątnej nazywa się cosinusem, a przeciwieństwo nazywa się sinusem.
Jest prostokątny. Jego nogi mają trzy i cztery, a przeciwprostokątna pięć. Jeśli widziałeś to nogi dany trójkąt są równe trzy i cztery, możesz być pewien, że przeciwprostokątna będzie równa pięć. Ponadto, korzystając z tej zasady, można łatwo ustalić, że noga będzie równa trzy, jeśli druga będzie równa cztery, a przeciwprostokątna będzie równa pięć. Aby udowodnić to stwierdzenie, możesz zastosować twierdzenie Pitagorasa. Jeśli dwie nogi są równe 3 i 4, to 9 + 16 = 25, pierwiastek z 25 to 5, czyli przeciwprostokątna jest równa 5. Trójkąt egipski jest również trójkątem prostokątnym, którego boki są równe 6, 8 i 10; 9, 12 i 15 oraz inne liczby w stosunku 3:4:5.
Trójkąty można również wpisać lub opisać. Figurę, wokół której opisano okrąg, nazywa się wpisaną; wszystkie jej wierzchołki są punktami leżącymi na okręgu. Trójkąt opisany to taki, w który wpisano okrąg. Wszystkie jego boki stykają się z nim w pewnych punktach.
Powierzchnię dowolnej figury mierzy się w jednostkach kwadratowych (metry kwadratowe, milimetry kwadratowe, centymetry kwadratowe, decymetry kwadratowe itp.). Wartość tę można obliczyć na różne sposoby, w zależności od rodzaju trójkąta. Pole dowolnej figury z kątami można znaleźć, mnożąc jej bok przez prostopadłą upuszczoną na nią z przeciwległego rogu i dzieląc tę figurę przez dwa. Wartość tę można również znaleźć, mnożąc obie strony. Następnie pomnóż tę liczbę przez sinus kąta znajdującego się między tymi bokami i podziel wynik przez dwa. Znając wszystkie boki trójkąta, ale nie znając jego kątów, możesz znaleźć obszar w inny sposób. Aby to zrobić, musisz znaleźć połowę obwodu. Następnie na przemian odejmij od tej liczby różne strony i pomnóż otrzymane cztery wartości. Następnie znajdź na podstawie numeru, który wyszedł. Pole wpisanego trójkąta można obliczyć, mnożąc wszystkie boki i dzieląc uzyskaną liczbę przez liczbę opisaną wokół niego, pomnożoną przez cztery.
Pole opisanego trójkąta oblicza się w ten sposób: mnożymy połowę obwodu przez promień okręgu w niego wpisanego. Jeśli wówczas jego pole można obliczyć w następujący sposób: podnieś bok, pomnóż wynikową liczbę przez pierwiastek z trzech, a następnie podziel tę liczbę przez cztery. W podobny sposób możesz obliczyć wysokość trójkąta, w którym wszystkie boki są równe; w tym celu musisz pomnożyć jeden z nich przez pierwiastek z trzech, a następnie podzielić tę liczbę przez dwa.
Główne twierdzenia powiązane z tą figurą to opisane powyżej twierdzenie Pitagorasa i cosinusy. Drugie (o sinusach) polega na tym, że jeśli podzielisz dowolny bok przez sinus kąta leżącego naprzeciw niego, otrzymasz promień okręgu opisanego wokół niego pomnożony przez dwa. Trzecia (cosinusy) polega na tym, że jeśli od sumy kwadratów dwóch boków odejmiemy ich iloczyn pomnożony przez dwa i cosinus kąta znajdującego się między nimi, otrzymamy kwadrat trzeciego boku.
Wiele osób w obliczu tej koncepcji początkowo myśli, że jest to pewnego rodzaju definicja w geometrii, ale wcale tak nie jest. Trójkąt Dali to potoczna nazwa trzech miejsc ściśle związanych z życiem słynnego artysty. Jego „szczytami” są dom, w którym mieszkał Salvador Dali, zamek, który podarował swojej żonie, a także muzeum malarstwa surrealistycznego. Podczas zwiedzania tych miejsc można się wiele dowiedzieć. ciekawe fakty o tym wyjątkowym, twórczym artyście znanym na całym świecie.
Najprostszym wielokątem, którego uczy się w szkole, jest trójkąt. Jest bardziej zrozumiały dla uczniów i napotyka mniej trudności. Pomimo tego, że istnieją różne typy trójkąty o specjalnych właściwościach.
Utworzony przez trzy punkty i segmenty. Pierwsze z nich nazywane są wierzchołkami, drugie bokami. Ponadto wszystkie trzy segmenty muszą być połączone, aby między nimi utworzyły się kąty. Stąd nazwa figury „trójkąt”.
Ponieważ mogą być ostre, tępe i proste, rodzaje trójkątów są określone przez te nazwy. W związku z tym istnieją trzy grupy takich postaci.
W zależności od charakterystyki boków wyróżnia się następujące typy trójkątów:
ogólnym przypadkiem jest skalen, w którym wszystkie boki mają dowolną długość;
równoramienne, których dwa boki mają te same wartości liczbowe;
równoboczny, długości wszystkich jego boków są takie same.
Jeśli nie określono w zadaniu konkretny typ trójkąt, następnie musisz narysować dowolny. W którym wszystkie rogi są ostre, a boki mają różną długość.
Te właściwości są zawsze ważne, niezależnie od tego, jakie typy trójkątów są brane pod uwagę w zadaniach. Cała reszta wynika z konkretnych funkcji.
Jeśli istnieje taka liczba, wówczas wszystkie właściwości opisane nieco powyżej będą prawdziwe. Ponieważ równobok zawsze będzie równoramienny. Ale nie odwrotnie; trójkąt równoramienny niekoniecznie będzie równoboczny.
nr 1. Biorąc pod uwagę trójkąt równoramienny. Jego obwód jest znany i wynosi 90 cm. Musimy obliczyć jego boki. Jako dodatkowy warunek: bok boczny jest 1,2 razy mniejszy od podstawy.
Wartość obwodu zależy bezpośrednio od ilości, które należy znaleźć. Suma wszystkich trzech boków da 90 cm. Teraz musisz zapamiętać znak trójkąta, zgodnie z którym jest to równoramienny. Oznacza to, że obie strony są równe. Możesz utworzyć równanie z dwiema niewiadomymi: 2a + b = 90. Tutaj a to bok, b to podstawa.
Teraz czas na dodatkowy warunek. Następnie otrzymuje się drugie równanie: b = 1,2a. Możesz zastąpić to wyrażenie pierwszym. Okazuje się, że: 2a + 1,2a = 90. Po przekształceniach: 3,2a = 90. Stąd a = 28,125 (cm). Teraz łatwo jest znaleźć podstawę. Najlepiej zrobić to z drugiego warunku: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).
Aby to sprawdzić, możesz dodać trzy wartości: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Zgadza się.
Odpowiedź: Boki trójkąta mają długość 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.
Nr 2. Bok trójkąta równobocznego ma długość 12 cm. Należy obliczyć jego wysokość.
Rozwiązanie. Aby znaleźć odpowiedź, wystarczy wrócić do momentu, w którym opisano właściwości trójkąta. To jest wzór na znalezienie wysokości, środkowej i dwusiecznej trójkąta równobocznego.
n = a * √3 / 2, gdzie n to wysokość, a a to bok.
Podstawienie i obliczenia dają następujący wynik: n = 6 √3 (cm).
Nie ma potrzeby zapamiętywania tej formuły. Wystarczy pamiętać, że wysokość dzieli trójkąt na dwa prostokątne. Co więcej, okazuje się, że jest to noga, a przeciwprostokątna w niej jest stroną oryginału, druga noga jest w połowie znana impreza. Teraz musisz zapisać twierdzenie Pitagorasa i wyprowadzić wzór na wysokość.
Odpowiedź: wysokość wynosi 6 √3 cm.
Nr 3. Biorąc pod uwagę, że MKR jest trójkątem, w którym kąt K ma 90 stopni, znane są boki MR i KR, które mają odpowiednio 30 i 15 cm. Musimy obliczyć wartość kąta P.
Rozwiązanie. Jeśli wykonasz rysunek, stanie się jasne, że MR jest przeciwprostokątną. Ponadto jest dwukrotnie większy od boku KR. Ponownie musisz zwrócić się do właściwości. Jeden z nich dotyczy kątów. Z tego jasno wynika, że kąt KMR wynosi 30°. Oznacza to, że pożądany kąt P będzie równy 60°. Wynika to z innej własności, która mówi, że suma dwóch kątów ostrych musi wynosić 90°.
Odpowiedź: kąt P wynosi 60°.
Nr 4. Musimy znaleźć wszystkie kąty trójkąta równoramiennego. Wiadomo o tym, że kąt zewnętrzny od kąta przy podstawie wynosi 110°.
Rozwiązanie. Ponieważ podany jest tylko kąt zewnętrzny, należy go użyć. Tworzy się z wewnętrznym obrócony pod kątem. Oznacza to, że w sumie dadzą 180°. Oznacza to, że kąt u podstawy trójkąta będzie równy 70°. Ponieważ jest to równoramienny, drugi kąt ma tę samą wartość. Pozostaje obliczyć trzeci kąt. Zgodnie z właściwością wspólną dla wszystkich trójkątów suma kątów wynosi 180°. Oznacza to, że trzeci będzie zdefiniowany jako 180° - 70° - 70° = 40°.
Odpowiedź: kąty wynoszą 70°, 70°, 40°.
Nr 5. Wiadomo, że w trójkącie równoramiennym kąt leżący naprzeciwko podstawy wynosi 90°. Na podstawie jest zaznaczony punkt. Odcinek łączący go pod kątem prostym dzieli go w stosunku od 1 do 4. Musisz znaleźć wszystkie kąty mniejszego trójkąta.
Rozwiązanie. Jeden z kątów można natychmiast wyznaczyć. Ponieważ prawy trójkąt i równoramienne, to te leżące u podstawy będą miały 45°, czyli 90°/2.
Drugi z nich pomoże Ci znaleźć zależność znaną w warunku. Ponieważ jest równy 1 do 4, to części, na które jest podzielony, jest tylko 5. Oznacza to, że aby znaleźć mniejszy kąt trójkąta, potrzebujesz 90°/5 = 18°. Pozostaje dowiedzieć się trzeciego. Aby to zrobić, należy odjąć 45° i 18° od 180° (suma wszystkich kątów trójkąta). Obliczenia są proste i otrzymujesz: 117°.
