Figury geometryczne
Figury geometryczne to zbiór wielu punktów, linii, powierzchni lub obiektów, które znajdują się na powierzchni, płaszczyźnie lub przestrzeni i tworzą skończoną liczbę linii.
Termin „figura” jest do pewnego stopnia formalnie stosowany do zbioru punktów, ale z reguły figurę nazywa się takimi zbiorami, które znajdują się na płaszczyźnie i są ograniczone do skończonej liczby linii.
Punkt i linia to główne figury geometryczne znajdujące się na płaszczyźnie.
Najprostsze figury geometryczne na płaszczyźnie to odcinek, promień i linia łamana.
Geometria to nauka matematyczna, która bada właściwości kształtów geometrycznych. Jeśli termin „geometria” jest dosłownie tłumaczony na język rosyjski, oznacza to „geometrię”, ponieważ w czasach starożytnych głównym zadaniem geometrii jako nauki był pomiar odległości i obszarów na powierzchni ziemi.
Praktyczne zastosowanie geometrii jest bezcenne zawsze i niezależnie od zawodu. Ani robotnik, ani inżynier, ani architekt, a nawet artysta nie mogą obejść się bez znajomości geometrii.
W geometrii istnieje taka sekcja, która zajmuje się badaniem różnych figur na płaszczyźnie i nazywa się planimetrią.
Wiesz już, że figura to dowolny zbiór punktów znajdujących się na płaszczyźnie.
Do figur geometrycznych zaliczamy: punkt, linię prostą, odcinek, promień, trójkąt, kwadrat, koło i inne figury, które studiują planimetrię.
Z materiału przestudiowanego powyżej wiesz już, że punkt odnosi się do głównych kształtów geometrycznych. I choć jest to najmniejsza figura geometryczna, jest niezbędna do konstruowania innych figur na płaszczyźnie, rysunku lub obrazie i jest podstawą wszystkich innych konstrukcji. W końcu konstrukcja bardziej skomplikowanych kształtów geometrycznych składa się z wielu punktów charakterystycznych dla danej figury.
W geometrii punkty są oznaczane dużymi literami alfabetu łacińskiego, na przykład: A, B, C, D ....
A teraz podsumujmy, a więc z matematycznego punktu widzenia punkt jest takim abstrakcyjnym obiektem w przestrzeni, który nie ma objętości, pola, długości i innych cech, ale pozostaje jednym z podstawowych pojęć w matematyce. Punkt to obiekt bezwymiarowy, który nie ma definicji. Zgodnie z definicją Euklidesa punkt jest czymś, czego nie można zdefiniować.
Podobnie jak punkt, linia odnosi się do figur na płaszczyźnie, która nie ma definicji, ponieważ składa się z nieskończonej liczby punktów znajdujących się na jednej linii, która nie ma ani początku, ani końca. Można argumentować, że linia prosta jest nieskończona i nie ma granic.
Jeśli linia prosta zaczyna się i kończy punktem, to nie jest już linią prostą i nazywana jest odcinkiem.
Ale czasami linia prosta ma punkt po jednej stronie, a nie po drugiej. W takim przypadku linia zamienia się w promień.
Jeśli weźmiemy linię prostą i umieścimy na jej środku punkt, to podzieli ona linię prostą na dwie przeciwnie skierowane promienie. Te belki są opcjonalne.
Jeśli masz przed sobą kilka segmentów, połączonych ze sobą tak, że koniec pierwszego segmentu staje się początkiem drugiego, a koniec drugiego segmentu początkiem trzeciego itd., a te segmenty nie znajdują się na ta sama linia prosta i po połączeniu mają wspólny punkt, to taki łańcuch jest linią łamaną.
Ćwiczenie
Która linia przerywana nazywa się otwartą?
Jak definiuje się linię?
Jak nazywa się linia przerywana, która ma cztery zamknięte linki?
Jak nazywa się linia przerywana z trzema zamkniętymi linkami?
Gdy koniec ostatniego segmentu polilinii pokrywa się z początkiem pierwszego segmentu, to taka łamana linia nazywana jest zamkniętą. Przykładem zamkniętej polilinii jest dowolny wielokąt.
Podobnie jak punkt i linia prosta, tak samo płaszczyzna jest pojęciem pierwotnym, nie ma definicji i nie widać w niej ani początku, ani końca. Dlatego rozważając samolot, bierzemy pod uwagę tylko jego część, która jest ograniczona zamkniętą linią łamaną. Tak więc każdą gładką powierzchnię można uznać za płaszczyznę. Tą powierzchnią może być kartka papieru lub stół.
Figura, która ma dwa promienie i wierzchołek, nazywana jest kątem. Połączenie promieni jest wierzchołkiem tego kąta, a promienie tworzące ten kąt uważa się za jego boki.
Ćwiczenie:
1. Jak kąt jest wskazany w tekście?
2. Jakie jednostki mogą mierzyć kąt?
3. Jakie są kąty?
Równoległobok to czworokąt, którego przeciwległe boki są parami równoległe.
Prostokąt, kwadrat i romb to szczególne przypadki równoległoboku.
Równoległobok o kątach prostych równych 90 stopniom jest prostokątem.
Kwadrat to ten sam równoległobok, a jego kąty i boki są równe.
Jeśli chodzi o definicję rombu, jest to taka figura geometryczna, której wszystkie boki są równe.
Ponadto powinieneś wiedzieć, że każdy kwadrat jest rombem, ale nie każdy romb może być kwadratem.
Rozważając taką figurę geometryczną jako trapez, możemy powiedzieć, że w szczególności, podobnie jak czworobok, ma jedną parę równoległych przeciwległych boków i jest krzywoliniowy.
Okrąg to zbiór punktów w płaszczyźnie równoodległej od danego punktu, zwanego środkiem, w danej niezerowej odległości, zwanej jego promieniem.
Trójkąt, który już studiujesz, również należy do prostych kształtów geometrycznych. Jest to jeden z typów wielokątów, w którym część płaszczyzny jest ograniczona trzema punktami i trzema odcinkami, które łączą te punkty parami. Każdy trójkąt ma trzy wierzchołki i trzy boki.
Ćwiczenie: Który trójkąt nazywa się zdegenerowanym?
Wielokąty obejmują kształty geometryczne o różnych kształtach, które mają zamkniętą linię łamaną.
W wielokącie wszystkie punkty łączące segmenty są jego wierzchołkami. A segmenty tworzące wielokąt są jego bokami.
Czy wiesz, że pojawienie się geometrii sięga wieków wstecz i wiąże się z rozwojem różnych rzemiosł, kultury, sztuki i obserwacji otaczającego świata. Tak, a nazwa kształtów geometrycznych jest tego potwierdzeniem, ponieważ ich terminy powstały nie tylko w ten sposób, ale ze względu na ich podobieństwo i podobieństwo.
W końcu termin "trapez" w tłumaczeniu ze starożytnego języka greckiego od słowa "trapezion" oznacza stół, posiłek i inne pochodne słowa.
„Stożek” pochodzi od greckiego słowa „konos”, które w tłumaczeniu brzmi jak szyszka sosny.
„Line” ma łacińskie korzenie i pochodzi od słowa „linum”, w tłumaczeniu brzmi jak lniana nić.
Czy wiesz, że jeśli weźmiesz figury geometryczne o tym samym obwodzie, to wśród nich właścicielem największego obszaru był okrąg.
Dzisiaj zrobimy kurczaka. Jakiego koloru jest pisklę? Zgadza się, żółty. Ze wszystkich kręgów wybierz tylko żółte kręgi. Następnie odłóż osobno niebieskie i zielone kółka.
Najpierw po prostu układamy kurczaka na papierze bez kleju, aby dziecko zrozumiało, co robimy, pomoże to również uniknąć błędów podczas pracy z klejem.
Duże żółte kółko będzie ciałem kurczaka. Gdzie to położymy? (zapraszamy dziecko do wybrania miejsca na kartce).
Mniejsze koło będzie głową. Gdzie będzie głowa naszego kurczaka? (Pozwól dziecku ponownie wybrać miejsce, w którym będzie patrzeć kurczak: w górę do nieba i słońca lub w dół na trawę, może dziobie ziarna. Pomóż dziecku fantazjować, oferuj opcje. Możesz powiedzieć małemu te, doradzam, ale nie nalegaj, niech dokona wyboru)
Gdzie jest małe czarne kółko? To będzie oko. Mały trójkąt to dziób, dwa identyczne trójkąty to łapy. Umieść figurki na swoich miejscach.
Czego brakuje w naszym kurczaku? Zgadza się, skrzydła! Mamy jeszcze 2 żółte kółka, jedno odłożymy - będzie to słońce, a z drugiego zrobimy skrzydła. Jak myślisz, jak zrobić dwa skrzydła z jednego koła? (Dzieci od trzech lat poradzą sobie z tym. Pozwól dziecku trzymać kółko w dłoniach, obróć je, przymocuj do papieru, może będzie miał odpowiedź).
Przetniemy koło na pół. Aby to zrobić, znajdźmy środek koła. Gdzie jest środek (środek) koła? (możesz dać dziecku ołówek i zaproponować, że znajdzie i zaznaczy środek na plecach (nie kolorowy!) Bok prześcieradła. Nawet jeśli kropka nie jest pośrodku, ale gdzieś w pobliżu, w porządku, pochwal dziecko! Jeśli dziecko jest małe, zrób wszystko sam, wyjaśniając każdą czynność).
Teraz narysuj prostą linię przez środek, która podzieli okrąg na pół. Wzdłuż tej linii przetniemy nasz okrąg na dwie części. Okazało się, że dwa skrzydła (koniecznie przecinaj wskazany przez dziecko punkt (środek), po pierwsze dziecko poczuje, że jego zdanie jest dla ciebie ważne i ty go wysłuchasz, a po drugie aplikacja będzie bardziej artystyczna)
Podczas lekcji dla starszych dzieci możesz wyjaśnić, czym jest półkole (lub zapamiętać tę figurę)
Zobacz, jakie mamy kształty. Ta figura nazywa się półkolem. Półkole - półkole (powtarzamy kilka razy i sugerujemy powtórzenie nazwy)
Gdzie będą skrzydełka naszego kurczaka?
Kurczak został ułożony na papierze, teraz możesz go przykleić.
Kurczak jest gotowy.
Weźmy duże zielone kółka (lub 1 kółko) - to będzie nasza trawa. Jak myślisz, jak zrobić trawę z koła? Zgadza się, ponownie przetnij go na pół (powtarzamy kroki, jak ze skrzydłami: pozwól dziecku zaznaczyć środek, przeciąć i przykleić od dołu). Aby trawa była bardziej naturalna, możesz wykonać małe nacięcia wzdłuż zaokrąglonego boku.
Przyklej słońce do nieba.
Chmury można tworzyć na wiele sposobów:
1. Wklej koła z zakładką, tworząc chmurę. Koła o różnej wielkości sprawią, że kształt chmury będzie bardziej naturalny.
2. Przetnij kółka na pół, a także załóż je na siebie.
U nas wyszło inaczej: Polya chciała złożyć koła na pół i skleić tylko połowę koła. Tak więc zrobiliśmy już inne rzemiosło i podobała jej się ta opcja.
Gdy papier całkowicie wyschnie, możesz ołówkiem wykończyć promienie słoneczne i kwiaty na trawie. Możesz to zrobić za pomocą plasteliny. Niech dzieciak sam wybierze.
Najpierw zrozummy różnicę między kołem a kołem. Aby zobaczyć tę różnicę, wystarczy zastanowić się, czym są obie liczby. Jest to nieskończona liczba punktów na płaszczyźnie, znajdujących się w równej odległości od pojedynczego punktu centralnego. Ale jeśli okrąg składa się również z przestrzeni wewnętrznej, to nie należy do koła. Okazuje się, że okrąg to zarówno okrąg, który go ogranicza (o-koło (g)ness), jak i niezliczona liczba punktów, które znajdują się wewnątrz koła.
Dla dowolnego punktu L leżącego na okręgu obowiązuje równość OL=R. (Długość odcinka OL jest równa promieniowi okręgu).
Odcinek łączący dwa punkty na okręgu to akord.
Akord przechodzący bezpośrednio przez środek koła to średnica to koło (D) . Średnicę można obliczyć ze wzoru: D=2R
Obwód obliczone ze wzoru: C=2\pi R
Powierzchnia koła: S=\pi R^(2)
łuk koła nazwał tę jej część, która znajduje się między dwoma jej punktami. Te dwa punkty definiują dwa łuki koła. Akord CD zawiera dwa łuki: CMD i CLD. Te same akordy tworzą te same łuki.
Środkowy róg jest kątem między dwoma promieniami.
długość łuku można znaleźć za pomocą wzoru:
Średnica prostopadła do cięciwy przecina cięciwę i łuki, które obejmuje.
Jeżeli cięciwy AB i CD okręgu przecinają się w punkcie N, to iloczyny odcinków cięciw rozdzielonych punktem N są sobie równe.
AN\cdot NB = CN \cdot ND
Styczna do okręgu Zwyczajowo nazywa się linię prostą, która ma jeden wspólny punkt z okręgiem.
Jeśli linia ma dwa wspólne punkty, nazywa się ją sieczna.
Jeśli narysujesz promień w punkcie kontaktu, będzie on prostopadły do stycznej do okręgu.
Narysujmy dwie styczne z tego punktu do naszego okręgu. Okazuje się, że odcinki stycznych będą sobie równe, a środek okręgu będzie znajdował się na dwusiecznej kąta z wierzchołkiem w tym punkcie.
AC=CB
Teraz narysujemy styczną i sieczną do okręgu z naszego punktu. Otrzymujemy, że kwadrat długości odcinka stycznego będzie równy iloczynowi całego siecznego odcinka przez jego zewnętrzną część.
AC^(2) = CD \cdot BC
Możemy wnioskować: iloczyn części całkowitej pierwszej siecznej przez jej część zewnętrzną jest równy iloczynowi części całkowitej drugiej siecznej przez jej część zewnętrzną.
AC \cdot BC = EC \cdot DC
Miary stopnia kąta środkowego i łuku, na którym się on opiera, są równe.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)
Wpisany kąt jest kątem, którego wierzchołek znajduje się na okręgu i którego boki zawierają cięciwy.
Możesz to obliczyć, znając rozmiar łuku, ponieważ jest on równy połowie tego łuku.
\angle AOB = 2 \angle ADB
Na podstawie średnicy, kąt wpisany, prosty.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)
Kąty wpisane, które opierają się na tym samym łuku, są identyczne.
Kąty wpisane na podstawie tego samego cięciwy są identyczne lub ich suma wynosi 180^ (\circ) .
\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)
\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB
Na tym samym okręgu znajdują się wierzchołki trójkątów o identycznych kątach i danej podstawie.
Kąt z wierzchołkiem wewnątrz okręgu i znajdujący się pomiędzy dwoma cięciwami jest równy połowie sumy wielkości kątowych łuków okręgu, które znajdują się wewnątrz danego kąta i kąta pionowego.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)
Kąt z wierzchołkiem na zewnątrz okręgu i znajdujący się między dwiema siecznymi jest równy połowie różnicy wielkości kątowych łuków koła, które znajdują się wewnątrz kąta.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)
Wpisany okrąg jest okręgiem stycznym do boków wielokąta.
W miejscu przecięcia dwusiecznych kątów wielokąta znajduje się jego środek.
Okrąg nie może być wpisany w każdy wielokąt.
Obszar wielokąta z wpisanym kołem określa wzór:
S=pr,
p jest półobwodem wielokąta,
r jest promieniem okręgu wpisanego.
Wynika z tego, że promień okręgu wpisanego wynosi:
r = \frac(S)(p)
Sumy długości przeciwległych boków będą identyczne, jeśli okrąg zostanie wpisany w wypukły czworobok. I odwrotnie: okrąg jest wpisany w czworobok wypukły, jeśli sumy długości przeciwległych boków są w nim identyczne.
AB+DC=AD+BC
W dowolny z trójkątów można wpisać okrąg. Tylko jeden. W miejscu, w którym przecinają się dwusieczne kątów wewnętrznych figury, będzie leżał środek tego wpisanego koła.
Promień okręgu wpisanego oblicza się według wzoru:
r = \frac(S)(p) ,
gdzie p = \frac(a + b + c)(2)
Jeśli okrąg przechodzi przez każdy wierzchołek wielokąta, to taki okrąg nazywa się opisane wielokątem.
Środek opisanego koła będzie w punkcie przecięcia prostopadłych dwusiecznych boków tej figury.
Promień można znaleźć, obliczając go jako promień okręgu opisanego wokół trójkąta określonego przez dowolne 3 wierzchołki wielokąta.
Warunek jest następujący: okrąg można opisać wokół czworoboku tylko wtedy, gdy suma jego przeciwnych kątów jest równa 180^( \circ) .
\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)
W pobliżu dowolnego trójkąta można opisać okrąg i tylko jeden. Środek takiego okręgu będzie znajdował się w miejscu przecięcia prostopadłych dwusiecznych boków trójkąta.
Promień opisanego okręgu można obliczyć ze wzorów:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4S)
a, b, c to długości boków trójkąta,
S to obszar trójkąta.
Na koniec rozważ twierdzenie Ptolemeusza.
Twierdzenie Ptolemeusza mówi, że iloczyn przekątnych jest identyczny z sumą iloczynów przeciwległych boków czworokąta wpisanego.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)
I koło- Kształty geometryczne, połączone ze sobą. istnieje polilinia graniczna (krzywa) okrąg,
Definicja. Okrąg jest zamkniętą krzywą, której każdy punkt znajduje się w równej odległości od punktu zwanego środkiem okręgu.
Aby skonstruować okrąg, wybiera się dowolny punkt O, przyjmowany jako środek okręgu, i za pomocą kompasu rysuje się zamkniętą linię.
Jeśli punkt O środka koła jest połączony z dowolnymi punktami na kole, wówczas wszystkie uzyskane segmenty będą sobie równe, a takie segmenty nazywane są promieniami, w skrócie łacińską małą lub wielką literą „er” ( r lub R). W okręgu jest tyle promieni, ile jest punktów na obwodzie.
Odcinek łączący dwa punkty koła i przechodzący przez jego środek nazywany jest średnicą. Średnica składa się z dwóch promienie leżąc na tej samej linii prostej. Średnica jest oznaczona łacińską małą lub dużą literą „de” ( d lub D).
Reguła. Średnica okrąg jest równy dwóm z jego promienie.
d = 2r
D=2R
Obwód jest obliczany według wzoru i zależy od promienia (średnicy) okręgu. Formuła zawiera liczbę ¶, która pokazuje, ile razy obwód koła jest większy niż jego średnica. Liczba ¶ ma nieskończoną liczbę miejsc po przecinku. Do obliczeń przyjmuje się ¶ = 3,14.
Obwód koła jest oznaczony łacińską wielką literą „ce” ( C). Obwód koła jest proporcjonalny do jego średnicy. Wzory do obliczania obwodu okręgu według jego promienia i średnicy:
C = ¶d
C = 2r
Dowolna sieczna (prosta) przecina okrąg w dwóch punktach i dzieli go na dwa łuki. Wielkość łuku koła zależy od odległości między środkiem a sieczną i jest mierzona wzdłuż krzywej zamkniętej od pierwszego punktu przecięcia siecznej z kołem do drugiego.
łuki kręgi są podzielone sieczna na duże i małe, jeśli sieczna nie pokrywa się ze średnicą, oraz na dwa równe łuki, jeśli sieczna przechodzi przez średnicę koła.
Jeżeli sieczna przechodzi przez środek okręgu, to jej odcinek, znajdujący się pomiędzy punktami przecięcia z okręgiem, jest średnicą okręgu lub największej cięciwy okręgu.
Im dalej od środka okręgu znajduje się sieczna, tym mniejsza miara stopnia mniejszego łuku okręgu, a im większa - większy łuk okręgu i odcinek siecznej, zwany akord, maleje, gdy sieczna oddala się od środka okręgu.
Definicja. Okrąg to część płaszczyzny, która leży wewnątrz okręgu.
Środek, promień, średnica okręgu są jednocześnie środkiem, promieniem i średnicą odpowiedniego okręgu.
Ponieważ okrąg jest częścią płaszczyzny, jednym z jego parametrów jest powierzchnia.
Reguła. Powierzchnia koła ( S) jest równy iloczynowi kwadratu promienia ( r2) do liczby ¶.
Jeśli w okręgu narysowane są dwa promienie do różnych punktów okręgu, powstają dwie części okręgu, które nazywane są sektory. Jeśli cięciwa jest narysowana w kole, nazywa się część płaszczyzny między łukiem a cięciwą segment koła.
Czy naprawdę jest wokół nas wiele obiektów, które wyglądają jak geometryczne kształty? Tak, to prawda! W szczególności wiele z nich ma kształt koła. Na przykład arenę cyrkową, dno garnka, bez problemu możemy wyciąć z tkaniny lub tektury.
Postać ograniczona kołem. Ma środek, więc wszystkie punkty, które znajdują się od środka do okręgu, są płaszczyzną okręgu. Promień okręgu to odległość od jego środka do obwodu.
Wielu nie rozróżnia koła od koła. Krąg otrzymamy, jeśli okrążymy szkło, a także możemy wyłożyć go z nici. Wszystkie punkty płaszczyzny, które znajdują się w tej samej odległości od danego punktu, tworzą figurę zwaną kołem. Jeśli połączymy dwa punkty koła, otrzymamy odcinek, który nazywamy cięciwą. Jeśli cięciwa przechodzi przez środek koła, już nazwiemy go średnicą równą dwóm promieniom. Okrąg można podzielić na sektory za pomocą dwóch promieni. Okrąg jest podzielony na segmenty cięciwą.
Rozejrzeć się! I zobaczysz okrąg i okrąg wokół siebie! Wszystko czego potrzebujesz to troche wyobraźni.
