Schody. Grupa wejściowa. Materiały. Drzwi. Zamki. Projekt

>>Fizyka: napięcie pole elektryczne. Zasada superpozycji pól

Nie wystarczy powiedzieć, że istnieje pole elektryczne. Musisz wejść charakterystyka ilościowa pola. Następnie pola elektryczne można ze sobą porównać i kontynuować badanie ich właściwości.
Pole elektryczne jest wykrywane przez siły działające na ładunek. Można argumentować, że wiemy wszystko, czego potrzebujemy o polu, jeśli znamy siłę działającą na dowolny ładunek w dowolnym punkcie pola.
Dlatego konieczne jest wprowadzenie takiej charakterystyki pola, której znajomość pozwoli nam określić tę siłę.
Jeśli naprzemiennie umieścimy małe naładowane ciała w tym samym punkcie pola i zmierzymy siły, okaże się, że siła działająca na ładunek z pola jest wprost proporcjonalna do tego ładunku. Rzeczywiście, niech pole zostanie stworzone przez opłatę punktową q 1. Zgodnie z prawem Coulomba (14.2) dla ładunku q2 istnieje siła proporcjonalna do ładunku q2. Dlatego stosunek siły działającej na ładunek umieszczony w danym punkcie pola do tego ładunku dla każdego punktu pola nie zależy od ładunku i może być uważany za cechę pola. Ta cecha nazywana jest siłą pola elektrycznego. Jak siła, siła pola - wielkość wektorowa; jest oznaczony literą. Jeżeli ładunek umieszczony w polu jest oznaczony przez q zamiast q2, wtedy stres będzie:

Natężenie pola w danym punkcie jest równe stosunkowi siły, z jaką pole działa na ładunek punktowy umieszczony w tym punkcie do tego ładunku.
Stąd siła działająca na ładunek q od strony pola elektrycznego jest równy:

Kierunek wektora jest taki sam jak kierunek siły działającej na ładunek dodatni i przeciwny do kierunku siły działającej na ładunek ujemny.
Siła pola opłata punktowa. Znajdź siłę pola elektrycznego wytworzonego przez ładunek punktowy q0. Zgodnie z prawem Coulomba ładunek ten będzie działał na ładunek dodatni q z siłą równą

Moduł natężenia pola ładunku punktowego q0 na odległość r z tego równa się:

Wektor natężenia w dowolnym punkcie pola elektrycznego jest skierowany wzdłuż linii prostej łączącej ten punkt z ładunkiem ( rys.14.7) i pokrywa się z siłą działającą na punktowy ładunek dodatni umieszczony w danym punkcie.

Zasada superpozycji pól. Jeśli na ciało działa kilka sił, to zgodnie z prawami mechaniki siła wynikowa jest równa geometrycznej sumie tych sił:

Na ładunki elektryczne działają siły pola elektrycznego. Jeżeli przy zastosowaniu pól z kilku ładunków pola te nie mają na siebie żadnego wpływu, to siła wypadkowa ze wszystkich pól musi być równa geometrycznej sumie sił z każdego pola. Doświadczenie pokazuje, że tak właśnie dzieje się w rzeczywistości. Oznacza to, że natężenia pola sumują się geometrycznie.
jeśli w danym punkcie przestrzeni różne naładowane cząstki tworzą pola elektryczne, których siła itd., to wynikowa siła pola w tym momencie jest równa sumie sił tych pól:

ponadto siła pola wytworzonego przez pojedynczy ładunek jest definiowana tak, jakby nie było innych ładunków tworzących pole.
Dzięki zasadzie superpozycji, aby znaleźć natężenie pola układu naładowanych cząstek w dowolnym punkcie, wystarczy znać wyrażenie (14,9) na natężenie pola ładunku punktowego. Rysunek 14.8 pokazuje, jak natężenie pola w punkcie A, tworzony przez dwie opłaty punktowe q 1 oraz q 2 , q 1 > q 2

Wprowadzenie pola elektrycznego pozwala podzielić problem obliczania sił oddziaływania naładowanych cząstek na dwie części. Najpierw obliczana jest siła pola wytworzonego przez ładunki, a następnie wyznaczane są siły ze znanej siły. Taki podział problemu na części zwykle ułatwia obliczenia sił.

???
1. Jak nazywa się siła pola elektrycznego?
2. Jakie jest natężenie pola ładunku punktowego?
3. Jak jest skierowane natężenie pola ładunku q 0, jeśli q0>0 ? jeśli q0<0 ?
4. Jak sformułowana jest zasada superpozycji pól?

G.Ya.Myakishev, B.B.Bukhovtsev, N.N.Sotsky, klasa fizyki 10

Treść lekcji podsumowanie lekcji wsparcie ramka prezentacja lekcji metody akceleracyjne technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia samokontrola warsztaty, szkolenia, case'y, questy praca domowa pytania do dyskusji pytania retoryczne od studentów Ilustracje audio, wideoklipy i multimedia fotografie, obrazki grafika, tabele, schematy humor, anegdoty, żarty, komiksy przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły chipy dla dociekliwych ściągawki podręczniki podstawowe i dodatkowe słowniczek pojęć inne Doskonalenie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu w podręczniku elementów innowacji na lekcji zastępując przestarzałą wiedzę nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarzowy na rok zalecenia metodyczne programu dyskusji Zintegrowane lekcje

Jeśli masz poprawki lub sugestie dotyczące tej lekcji,

Nieskończona płaszczyzna naładowana ładunkiem powierzchniowym: aby obliczyć natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez nieskończoną płaszczyznę, wybieramy w przestrzeni walec, którego oś jest prostopadła do naładowanej płaszczyzny, a podstawy są do niej równoległe i jedna z bazy przechodzą przez interesujący nas punkt pola. Zgodnie z twierdzeniem Gaussa przepływ wektora natężenia pola elektrycznego przez zamkniętą powierzchnię wynosi:

Ф=, z drugiej strony jest to: Ф=E

Zrównaj właściwe części równań:

Wyrażamy = - poprzez gęstość ładunku powierzchniowego i wyznaczamy natężenie pola elektrycznego:

Znajdź natężenie pola elektrycznego między przeciwnie naładowanymi płytami o tej samej gęstości powierzchniowej:

Znajdź pole poza płytami:

Natężenie pola naładowanej kuli

Ф= (2) t. Gauss

dla r< R

; , dlatego (wewnątrz kuli nie ma ładunków)

Dla r = R

( ; ; )

Dla r > R

Intensywność pola wytworzonego przez kulkę naładowaną równomiernie w całej objętości

wolumetryczna gęstość ładunku,

rozłożone na piłce:

Dla r< R

Dla r = R

Dla r > R

PRACA POLA ELEKTROSTATYCZNEGO NA RUCH WŁADUNKU

pole elektrostatyczne- e-mail stacjonarne pole ładowania.
Fel, działając na ładunek, porusza go, wykonując pracę.
W jednolitym polu elektrycznym Fel = qE jest wartością stałą

Praca w terenie (elektroniczna siła) nie zależy na kształcie trajektorii i na trajektorii zamkniętej = zero.

Jeżeli w polu elektrostatycznym ładunku punktowego Q z punktu 1 do punktu 2 wzdłuż dowolnej trajektorii (rys. 1) porusza się inny ładunek punktowy Q 0, to siła przyłożona do ładunku działa. Praca siły F na przemieszczenie elementarne dl wynosi Ponieważ d ja/cosα=dr, to Praca przy przenoszeniu ładunku Q 0 z punktu 1 do punktu 2 (1) nie zależy od trajektorii ruchu, lecz jest wyznaczona jedynie przez położenia początkowego 1 i końcowego 2 punktów. Oznacza to, że pole elektrostatyczne ładunku punktowego jest potencjałem, a siły elektrostatyczne są zachowawcze.Z wzoru (1) wynika, że ​​praca wykonywana, gdy ładunek elektryczny porusza się w zewnętrznym polu elektrostatycznym wzdłuż dowolnie zamkniętego ścieżka L jest równa zeru, tj. (2) Jeżeli przyjmiemy jednopunktowy ładunek dodatni jako ładunek poruszający się w polu elektrostatycznym, to praca elementarna sił pola na drodze dl jest równa Еdl = E ja d ja, gdzie E ja= Ecosα - rzut wektora E na kierunek przemieszczenia elementarnego. Wtedy wzór (2) można przedstawić jako (3) Całka nazywana jest cyrkulacją wektora natężenia. Stąd krążenie wektora napięcia pole elektrostatyczne wzdłuż dowolnego zamkniętego konturu jest równy zero. Pole siłowe, które ma właściwość (3) nazywamy potencjałem. Z zerowej cyrkulacji wektora E wynika, że ​​linie pola elektrostatycznego nie mogą być zamknięte, koniecznie zaczynają się i kończą na ładunkach (na dodatnim lub ujemnym) lub idą w nieskończoność. Wzór (3) obowiązuje tylko dla pola elektrostatycznego. W dalszej części zostanie pokazane, że warunek (3) nie jest spełniony w przypadku pola poruszających się ładunków (dla niego cyrkulacja wektora natężenia jest niezerowa).

Twierdzenie o cyrkulacji dla pola elektrostatycznego.

Ponieważ pole elektrostatyczne jest centralne, siły działające na ładunek w takim polu są konserwatywne. Ponieważ reprezentuje pracę elementarną, jaką siły pola wytwarzają na ładunku jednostkowym, praca sił konserwatywnych na zamkniętej pętli jest równa

Potencjał

Układ „ładunek – pole elektrostatyczne” lub „ładunek – ładunek” ma energię potencjalną, podobnie jak układ „pole grawitacyjne – ciało” ma energię potencjalną.

Fizyczną wielkość skalarną charakteryzującą stan energetyczny pola nazywa się potencjał dany punkt w polu. W polu umieszczany jest ładunek q, który ma energię potencjalną W. Potencjał jest cechą pola elektrostatycznego.

Rozważ energię potencjalną w mechanice. Energia potencjalna wynosi zero, gdy ciało znajduje się na ziemi. A kiedy ciało zostanie podniesione na pewną wysokość, wtedy mówi się, że ciało ma energię potencjalną.

Jeśli chodzi o energię potencjalną w elektryczności, nie ma poziom zerowy energia potencjalna. Jest wybierany losowo. Dlatego potencjał jest względną wielkością fizyczną.

Energia potencjalna pola to praca, jaką wykonuje siła elektrostatyczna podczas przenoszenia ładunku z danego punktu pola do punktu o zerowym potencjale.

Rozważmy szczególny przypadek, gdy pole elektrostatyczne jest tworzone przez ładunek elektryczny Q. Aby zbadać potencjał takiego pola, nie ma potrzeby wprowadzania do niego ładunku q. Możesz obliczyć potencjał dowolnego punktu takiego pola, znajdującego się w odległości r od ładunku Q.

Stała dielektryczna ośrodka ma znaną wartość (tabela), charakteryzuje ośrodek, w którym istnieje pole. Dla powietrza jest równy jeden.

Potencjalna różnica

Praca pola polegająca na przeniesieniu ładunku z jednego punktu do drugiego nazywana jest różnicą potencjałów

Formuła ta może być przedstawiona w innej formie

Zasada superpozycji

Potencjał pola utworzonego przez kilka ładunków jest równy algebraicznej (uwzględniającej znak potencjału) sumie potencjałów pól każdego pola z osobna

Jest to energia układu ładunków punktowych, energia samotnie naładowanego przewodnika i energia naładowanego kondensatora.

Jeśli istnieje układ dwóch naładowanych przewodników (kondensator), to całkowita energia układu jest równa sumie wewnętrznych energii potencjalnych przewodników i energii ich wzajemnego oddziaływania:

Energia pola elektrostatycznego system opłat punktowych wynosi:

Jednolicie naładowany samolot.
Natężenie pola elektrycznego generowanego przez nieskończoną płaszczyznę naładowaną gęstością ładunku powierzchniowego można obliczyć za pomocą twierdzenia Gaussa.

Z warunków symetrii wynika, że ​​wektor mi wszędzie prostopadle do płaszczyzny. Ponadto w punktach symetrycznych względem płaszczyzny wektor mi będzie taka sama pod względem wielkości i przeciwna w kierunku.
Jako powierzchnię zamkniętą wybieramy walec, którego oś jest prostopadła do płaszczyzny, a podstawy są usytuowane symetrycznie względem płaszczyzny, jak pokazano na rysunku.
Ponieważ linie napięcia są równoległe do generatorów powierzchni bocznej cylindra, przepływ przez powierzchnia boczna równa się zero. Dlatego przepływ wektora mi przez powierzchnię cylindra

gdzie jest obszar podstawy cylindra. Cylinder odcina ładunek od samolotu. Jeżeli samolot znajduje się w jednorodnym ośrodku izotropowym o przenikalności względnej , wtedy

Gdy natężenie pola nie zależy od odległości między płaszczyznami, takie pole nazywamy jednorodnym. wykres zależności mi (x) dla samolotu.

Różnica potencjałów między dwoma punktami znajdującymi się w odległości R 1 i R 2 od naładowanego samolotu jest równe

Przykład 2. Dwie równomiernie naładowane samoloty.
Obliczmy siłę pola elektrycznego wytworzonego przez dwie nieskończone płaszczyzny. Ładunek elektryczny jest rozprowadzany równomiernie z gęstościami powierzchniowymi i . Natężenie pola znajdujemy jako superpozycję natężeń pola każdej z płaszczyzn. Pole elektryczne różni się od zera tylko w przestrzeni między płaszczyznami i jest równe .

Różnica potencjałów między płaszczyznami, gdzie d- odległość między samolotami.
Otrzymane wyniki można wykorzystać do przybliżonego obliczenia pól tworzonych przez płaskie płyty o skończonych wymiarach, jeśli odległości między nimi są znacznie mniejsze niż ich wymiary liniowe. Zauważalne błędy w takich obliczeniach pojawiają się przy rozpatrywaniu pól przy krawędziach płyt. wykres zależności mi (x) dla dwóch samolotów.

Przykład 3. Cienki naładowany pręt.
Aby obliczyć siłę pola elektrycznego wytworzonego przez bardzo długi pręt naładowany liniową gęstością ładunku, korzystamy z twierdzenia Gaussa.
Wystarczająco długie dystanse od końców pręta linie pola elektrycznego są skierowane promieniowo od osi pręta i leżą w płaszczyznach prostopadłych do tej osi. We wszystkich punktach równoodległych od osi pręta wartości liczbowe wytrzymałości są takie same, jeśli pręt znajduje się w jednorodnym izotropowym ośrodku o względnym dielektryku
przepuszczalność.

Aby obliczyć natężenie pola w dowolnym punkcie znajdującym się w pewnej odległości r od osi pręta narysuj cylindryczną powierzchnię przez ten punkt
(widzieć zdjęcie). Promień tego cylindra wynosi r i jego wysokość h.
Strumienie wektora naprężenia przez górną i dolną podstawę cylindra będą równe zeru, ponieważ linie sił nie mają składowych normalnych do powierzchni tych podstaw. We wszystkich punktach na bocznej powierzchni cylindra
mi= const.
Dlatego całkowity przepływ wektora mi przez powierzchnię cylindra będzie równa

Według twierdzenia Gaussa przepływ wektora mi jest równa algebraicznej sumie ładunków elektrycznych znajdujących się wewnątrz powierzchni (in ta sprawa cylinder) podzielone przez iloczyn stałej elektrycznej i względnej przenikalności elektrycznej ośrodka

gdzie jest ładunek tej części pręta, która znajduje się wewnątrz cylindra. Dlatego siła pola elektrycznego

Różnica potencjałów pola elektrycznego między dwoma punktami znajdującymi się w odległości R 1 i R 2 od osi pręta znajdziemy zależność między siłą a potencjałem pola elektrycznego. Ponieważ natężenie pola zmienia się tylko w kierunku promieniowym, to

Przykład 4. Naładowana powierzchnia kulista.
Pole elektryczne wytworzone przez kulistą powierzchnię, na której równomiernie rozłożony jest ładunek elektryczny o gęstości powierzchniowej, ma centralnie symetryczny charakter.

Linie napięcia są skierowane wzdłuż promieni od środka kuli i modułu wektora mi zależy tylko od odległości r od środka kuli. Do obliczenia pola wybieramy zamkniętą powierzchnię kulistą o promieniu r.
Kiedy ro mi = 0.
Natężenie pola wynosi zero, ponieważ wewnątrz kuli nie ma ładunku.
Dla r > R (poza sferą), zgodnie z twierdzeniem Gaussa

gdzie jest względna przenikalność medium otaczającego sferę.

Intensywność zmniejsza się zgodnie z tym samym prawem, co natężenie pola ładunku punktowego, czyli zgodnie z prawem.
Kiedy ro Dla r > R (poza sferą) .
wykres zależności mi (r) dla kuli.

Przykład 5. Kula dielektryczna naładowana objętościowo.
Jeśli piłka o promieniu R z jednorodnego dielektryka izotropowego o względnej przenikalności elektrycznej jest równomiernie naładowany w całej objętości o gęstości pole elektryczne jest również centralnie symetryczny.
Podobnie jak w poprzednim przypadku do obliczenia przepływu wektorowego wybieramy powierzchnię zamkniętą mi w formie koncentrycznej kuli, której promień r może wahać się od 0 do .
Na r < R wektor przepływu mi przez tę powierzchnię zostanie określony ładunek

Aby

Na r < R(wewnątrz piłki).
Wewnątrz piłki napięcie wzrasta wprost proporcjonalnie do odległości od środka piłki. Poza piłką (o godz r > R) w ośrodku o przenikalności , wektor strumienia mi na całej powierzchni zostanie określona przez ładunek.
Kiedy r o > R o (poza piłką) .
Na granicy „piłki - środowisko„Natężenie pola elektrycznego zmienia się gwałtownie, którego wartość zależy od stosunku stałych dielektrycznych kuli do ośrodka. Wykres zależności mi (r) dla piłki().

Poza piłką ( r > R) potencjał pola elektrycznego zmienia się zgodnie z prawem

.

wewnątrz piłki ( r < R) potencjał jest opisany wyrażeniem

Podsumowując, podajemy wyrażenia do obliczania natężenia pola naładowanych ciał o różnych kształtach

Potencjalna różnica
Napięcie- różnica między wartościami potencjału w początkowym i końcowym punkcie trajektorii. Napięcie liczbowo równy pracy pola elektrostatycznego podczas przesuwania jednostkowego ładunku dodatniego wzdłuż linii siły tego pola. Różnica potencjałów (napięcie) nie zależy od wyboru układy współrzędnych!
Jednostka różnicy potencjałów Napięcie wynosi 1 V, jeśli, gdy ładunek dodatni o wartości 1 C porusza się wzdłuż linii siły, pole działa o wartości 1 J.

Konduktor- to jest solidny, w którym w ciele poruszają się „wolne elektrony”.

Przewodniki metalowe są generalnie neutralne: mają taką samą liczbę ładunków ujemnych, jak i dodatnich. Dodatnio naładowane są jony w węzłach sieci krystalicznej, ujemne to elektrony swobodnie poruszające się wzdłuż przewodnika. Gdy przewodnik otrzymuje nadmiar elektronów, jest naładowany ujemnie, ale jeśli pewna ilość elektronów zostanie „odebrana” przewodnikowi, jest naładowany dodatnio.

Nadwyżka jest rozkładana tylko na powierzchnia zewnętrzna konduktor.

1 . Natężenie pola w dowolnym punkcie wewnątrz przewodnika wynosi zero.

2 . Wektor na powierzchni przewodnika jest skierowany wzdłuż normalnej do każdego punktu na powierzchni przewodnika.

Z faktu, że powierzchnia przewodnika jest ekwipotencjalna wynika, że ​​bezpośrednio na tej powierzchni pole jest skierowane wzdłuż normalnej do niej w każdym punkcie (warunek 2 ). Gdyby tak nie było, to pod wpływem składowej stycznej ładunki poruszałyby się po powierzchni przewodnika. tych. Równowaga ładunków na przewodniku byłaby niemożliwa.

Z 1 wynika z tego, że od

Wewnątrz przewodu nie ma nadmiernych ładunków.

Ładunki są rozprowadzane tylko na powierzchni przewodnika o określonej gęstości s i znajdują się w bardzo cienkiej warstwie powierzchniowej (jej grubość wynosi około jednej lub dwóch odległości międzyatomowych).

gęstość ładunku- jest to ilość ładunku na jednostkę długości, powierzchni lub objętości, określająca w ten sposób liniowe, powierzchniowe i objętościowe gęstości ładunku, które są mierzone w układzie SI: w Kulombach na metr [C/m], w Kulombach na metr kwadratowy[C/m²] oraz w Kulombach na metr sześcienny[C/m³]. W przeciwieństwie do gęstości materii, gęstość ładunku może mieć zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne, wynika to z faktu występowania ładunków dodatnich i ujemnych.

Zadanie ogólne elektrostatyka

wektor napięcia,

zgodnie z twierdzeniem Gaussa

Równanie Poissona.

W przypadku - nie ma ładunków między przewodami, otrzymujemy

- Równanie Laplace'a.

Niech będą znane warunki brzegowe na powierzchniach przewodników: wartości; to ten problem ma unikalne rozwiązanie według twierdzenie o jednoznaczności.

Przy rozwiązywaniu problemu wyznacza się wartość, a następnie na podstawie rozkładu ładunków na przewodach wyznacza się pole między przewodami (zgodnie z wektorem natężenia przy powierzchni).

Rozważ przykład. Znajdź napięcie w pustej wnęce przewodnika.

Potencjał we wnęce spełnia równanie Laplace'a;

potencjał na ścianach przewodnika.

Rozwiązanie równania Laplace'a w tym przypadku jest banalne, a przez twierdzenie o jednoznaczności nie ma innych rozwiązań

, tj. we wnęce przewodnika nie ma pola.

Równanie Poissona- eliptyczny równanie różniczkowe w pochodnych cząstkowych, co m.in. opisuje

pole elektrostatyczne

stacjonarny pole temperatury,

Pole ciśnienia

· pole potencjału prędkości w hydrodynamice.

Jego nazwa pochodzi od słynnego francuskiego fizyka i matematyka Simeona Denisa Poissona.

To równanie wygląda tak:

gdzie jest operatorem Laplace'a lub Laplace'em i jest rzeczywistą lub złożoną funkcją na pewnej rozmaitości.

W trójwymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych równanie przyjmuje postać:

W kartezjańskim układzie współrzędnych operator Laplace'a jest zapisany w postaci, a równanie Poissona przyjmuje postać:

Jeśli f dąży do zera, a następnie równanie Poissona zamienia się w równanie Laplace'a (równanie Laplace'a jest szczególnym przypadkiem równania Poissona):

Równanie Poissona można rozwiązać za pomocą funkcji Greena; patrz na przykład artykuł, w którym przedstawiono równanie Poissona. Jest różne metody do uzyskania rozwiązań numerycznych. Na przykład stosowany jest algorytm iteracyjny - „metoda relaksacyjna”.

Rozważymy przewodnik samotny, tj. przewodnik znacznie odsunięty od innych przewodników, ciał i ładunków. Jak wiadomo, jego potencjał jest wprost proporcjonalny do ładunku przewodnika. Z doświadczenia wiadomo, że różne przewodniki, będąc jednakowo naładowanymi, mają różne potencjały. Dlatego dla pojedynczego przewodnika możesz zapisać Wartość (1) nazywana jest pojemnością elektryczną (lub po prostu pojemnością) pojedynczego przewodnika. Pojemność pojedynczego przewodnika jest podawana przez ładunek, którego przekazanie przewodnikowi zmienia jego potencjał o jeden. Pojemność pojedynczego przewodnika zależy od jego wielkości i kształtu, ale nie zależy od materiału, kształtu i wielkości wnęk wewnątrz przewodnika, a także od jego stanu skupienia. Powodem tego jest to, że nadmiarowe ładunki są rozprowadzane na zewnętrznej powierzchni przewodnika. Pojemność również nie zależy od ładunku przewodnika ani od jego potencjału. Jednostką pojemności elektrycznej jest farad (F): 1 F jest pojemnością takiego samotnego przewodnika, w którym potencjał zmienia się o 1 V po przekazaniu mu ładunku 1 C. Zgodnie ze wzorem na potencjał ładunku punktowego potencjał samotnej kuli o promieniu R, która znajduje się w jednorodnym ośrodku o przenikalności ε, jest równy Stosując wzór (1) otrzymujemy, że pojemność kula (2) Z tego wynika, że ​​pojedyncza kula miałaby pojemność 1 F, umieszczona w próżni i mająca promień R=C/(4πε 0)≈9 10 6 km, czyli około 1400 razy większy niż promień Ziemi (pojemność elektryczna Ziemi C≈0,7 mF). W związku z tym farad ma dość dużą wartość, dlatego w praktyce stosuje się jednostki podwielokrotne - milifarad (mF), mikrofarad (μF), nanofarad (nF), pikofarad (pF). Ze wzoru (2) wynika również, że jednostką stałej elektrycznej ε 0 jest farad na metr (F/m) (patrz (78.3)).

Kondensator(od łac. skondensować- „kompaktowy”, „zagęszczony”) - dwuzaciskowa sieć o określonej wartości pojemności i niskiej przewodności omowej; urządzenie do akumulacji ładunku i energii pola elektrycznego. Kondensator jest pasywnym elementem elektronicznym. Zwykle składa się z dwóch elektrod w kształcie płytki (zwanych okładziny), oddzielone dielektrykiem, którego grubość jest niewielka w porównaniu z wymiarami płyt.

Pojemność

Główną cechą kondensatora jest jego Pojemność charakteryzujący zdolność kondensatora do przechowywania ładunku elektrycznego. Wartość pojemności nominalnej pojawia się w oznaczeniu kondensatora, podczas gdy rzeczywista pojemność może się znacznie różnić w zależności od wielu czynników. Rzeczywista pojemność kondensatora określa jego właściwości elektryczne. Tak więc, z definicji pojemności, ładunek na płytce jest proporcjonalny do napięcia między płytami ( q=CU). Typowe wartości pojemności wahają się od pikofaradów do tysięcy mikrofaradów. Istnieją jednak kondensatory (jonizatory) o pojemności dochodzącej do kilkudziesięciu faradów.

Pojemność kondensatora płaskiego, składającego się z dwóch równoległych płytek metalowych o powierzchni S każdy znajduje się w pewnej odległości d od siebie, w układzie SI wyraża się wzorem: Ta formuła jest ważna tylko wtedy, gdy d znacznie mniejsze niż wymiary liniowe płyt.

Aby uzyskać duże pojemności, kondensatory są połączone równolegle. W takim przypadku napięcie między płytkami wszystkich kondensatorów jest takie samo. Całkowita pojemność baterii równoległy podłączone kondensatory są równe sumie pojemności wszystkich kondensatorów zawartych w akumulatorze.

Jeśli wszystkie kondensatory połączone równolegle mają taką samą odległość między płytami i właściwościami dielektryka, wówczas kondensatory te można przedstawić jako jeden duży kondensator podzielony na fragmenty o mniejszej powierzchni.

Gdy kondensatory są połączone szeregowo, ładunki wszystkich kondensatorów są takie same, ponieważ są one dostarczane ze źródła zasilania tylko na elektrody zewnętrzne, a na elektrodach wewnętrznych są uzyskiwane tylko dzięki separacji ładunków, które wcześniej wzajemnie się neutralizowały . Całkowita pojemność baterii sukcesywnie podłączone kondensatory to

Ta pojemność jest zawsze mniejsza niż minimalna pojemność kondensatora zawartego w akumulatorze. Jednak przy połączeniu szeregowym zmniejsza się możliwość przebicia kondensatorów, ponieważ każdy kondensator stanowi tylko część różnicy potencjałów źródła napięcia.

Jeśli powierzchnia płytek wszystkich kondensatorów połączonych szeregowo jest taka sama, kondensatory te można przedstawić jako jeden duży kondensator, między płytami których znajduje się stos płytek dielektrycznych wszystkich kondensatorów, które go tworzą.

[edytuj] Pojemność właściwa

Kondensatory charakteryzują się również pojemnością właściwą - stosunkiem pojemności do objętości (lub masy) dielektryka. Maksymalna specyficzna wartość pojemności jest osiągnięta przy minimalna grubość dielektrykiem, ale to zmniejsza jego napięcie przebicia.

W obwody elektryczne różnorodny sposoby podłączenia kondensatorów. Podłączenie kondensatorów da się zrobić: sukcesywnie, równoległy oraz szeregowo-równoległy(to ostatnie jest czasami nazywane mieszanym połączeniem kondensatorów). Istniejące gatunki połączenia kondensatorów pokazano na rysunku 1.

Rysunek 1. Metody łączenia kondensatorów.

2 semestr

Wykład 19.

1. Pole elektrostatyczne w próżni

1.1 Dyskretny ładunek elektryczny. Prawo zachowania ładunku elektrycznego

źródło pole elektromagnetyczne służy jako ładunek elektryczny charakterystyka wewnętrzna cząstka elementarna, która decyduje o jej zdolności do wchodzenia w oddziaływania elektromagnetyczne. Istnieją dwa rodzaje ładunków elektrycznych - dodatnie i ujemne. Ładunek elektryczny jest dyskretny - ładunek dowolnego ciała jest całkowitą wielokrotnością elementarnego ładunku elektrycznego mi\u003d 1,610 -19 Cl. Zgodnie ze znakiem ładunku wszystkie cząstki elementarne można podzielić na dwie klasy: naładowane ujemnie (na przykład elektron) i naładowane dodatnio (proton, pozyton itp.). Jednym z podstawowych ścisłych praw natury jest prawo zachowania ładunku elektrycznego: algebraiczna suma ładunków elektrycznych dowolnego układu zamkniętego (izolowanego elektrycznie) pozostaje stała, niezależnie od procesów zachodzących w tym układzie.
^

1.2 Prawo Coulomba. Siła pola elektrycznego

Interakcja między stałymi ładunki elektryczne przeprowadzane za pomocą pola elektrycznego. Idea pola elektrycznego została wprowadzona w latach 30. XIX wieku. Angielski fizyk M. Faraday. Według Faradaya każdy ładunek w spoczynku tworzy wokół siebie pole elektryczne; pole jednego ładunku działa na inny ładunek i odwrotnie - tak odbywa się interakcja między ładunkami.

Siła oddziaływania między dwoma punktowymi ładunkami stałymi jest określona przez prawo Coulomba: dwa ładunki punktowe ładunek stacjonarny oddziałują ze sobą z siłą proporcjonalną do iloczynu ładunków i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi:

,

(1.1)

gdzie k jest stałą zależną od wyboru układu jednostek. Siła Coulomba jest skierowana wzdłuż linii łączącej ładunki. Zgodnie z trzecim prawem Newtona, siły kulombowskie działają na różne ładunki i są skierowane albo ku sobie (jeśli ładunki są przeciwne), albo w przeciwnych kierunkach (jeśli ładunki mają ten sam znak). W SI stała

, gdzie  0 - stała elektryczna SI,  0 = 8,85 10 -12 C 2 / (N  m 2).

Zatem dla ładunków znajdujących się w próżni prawo Coulomba ma postać

.

(1.2)

Ładunek elektryczny w SI jest mierzony w kulombach. Jeden wisiorek to taki ładunek, który przepływa przekrój poprzeczny przewodnik w 1 s przy stałym prądzie równym 1A.

Charakterystyczną mocą pola elektrycznego jest natężenie - wielkość wektorową, której moduł jest równy sile działającej od pola elektrostatycznego na ładunek jednostkowy; a kierunek jest taki sam jak kierunek siły działającej na ładunek dodatni

gdzie miZ jest natężeniem pola elektrostatycznego w medium.

Jeżeli pole elektrostatyczne jest tworzone przez kilka ładunków, to zgodnie z zasadą superpozycji całkowite natężenie pola w pewnym punkcie definiuje się jako sumę wektorów sił wytworzonych w tym punkcie przez poszczególne ładunki:

(1.5)

^

1.3. Obliczanie natężenia pola ładunku punktowego i dipola elektrycznego

1.3.1. Natężenie pola ładunku punktowego

Ryż. 1,1

Postawmy to w punkcie ALE(rys. 1.1), umieszczone w pewnej odległości r od opłaty Q, opłata próbna q i znajdź siłę oddziaływania między nimi zgodnie z prawem Coulomba. Wtedy siła pola wytworzonego przez ładunek Q na odległość r, w oparciu o (1.2) i (1.5) można znaleźć wzorem
^

1.3.2. Natężenie pola elektrycznego dipola

Dipol elektryczny to zbiór dwóch ładunków punktowych, równej wielkości, ale przeciwnych pod względem znaku, sztywno zamocowanych w pewnej odległości ja od siebie (ryc. 1.2). Dystans ja nazywa się ramieniem dipola, a wektorem

(1.8)

Ryż. 1.2
moment dipolowy (moment elektryczny dipola). Moment dipolowy jest skierowany wzdłuż osi dipola w kierunku ładunku dodatniego (rys. 1.2).Znajdźmy teraz natężenie pola dipolowego, ograniczając się do przypadku r>>l.
^

A. Natężenie pola w punkcie znajdującym się na przedłużeniu osi dipola

Zgodnie z zasadą superpozycji, siła pola w punkcie ALE(Rys. 1.3)

Ryż. 1,3

gdzie oraz

jest odpowiednio natężeniem pola wytworzonego przez ładunki +Q oraz -Q. Ponieważ wektory oraz skierowane w przeciwnych kierunkach, to moduł wektora będzie

, gdzie zgodnie z (1.6)

. W ten sposób,

.

Przekształcamy wyrażenie w nawiasach w następujący sposób. Z ryc. 1.3 pokazuje, że

, gdzie r to odległość między punktem ALE i środek dipola. Następnie mamy

.

Ponieważ r>>l, to wartość

można pominąć w mianowniku, więc

;

. Dlatego Ql jest momentem dipolowym, więc

B. Natężenie pola prostopadłego do osi dipola

Ryż. 1,4
Z ryc. 1.4 pokazuje, że

.Dalej

,

,

W konsekwencji,

, gdzie Pja=Ql jest moment dipolowy. W ten sposób,

.

(1.10)

Porównanie (1.9) i (1.10) pokazuje, że natężenie pola na osi dipola jest 2 razy większe niż na prostopadłej do jego osi. Należy również zauważyć, że natężenie pola dipolowego zmniejsza się o 1/ r-3 , tj. szybciej niż przy ładowaniu punktowym, gdzie mi 1/r ‑2 .
^

1.4. Linie energetyczne. Przepływ wektora napięcia. Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa

Linia sił pola elektrostatycznego to linia, której styczna w każdym punkcie pokrywa się z kierunkiem wektora (rys. 1.5).

Ryż. 1,5
Właściwości linii pola:

a) linie siły pola elektrostatycznego nie przecinają się;

b) linie siły pola elektrostatycznego są otwarte - zaczynają się na ładunkach dodatnich, a kończą na ujemnych (lub idą w nieskończoność).

Wprowadźmy pojęcie przepływu wektora natężenia pola. Z definicji elementarny strumień wektora intensywności przez miejsce dS

gdzie jest wektorem jednostkowym pokrywającym się z normalną.

Całkowity przepływ wektora intensywności przez dowolną powierzchnię można znaleźć całkując (11.12) dla całej powierzchni

dla zamkniętej powierzchni

Najważniejszą rolę w elektrostatyce odgrywa twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa, które jest sformułowane w następujący sposób: strumień wektora intensywności przez dowolną zamkniętą powierzchnię jest proporcjonalny do sumy algebraicznej ładunków wewnątrz tej powierzchni:

, (1.13)

Ryż. 1,6

Dowód. Rozważmy najprostszy przypadek, gdy zamknięta powierzchnia jest kulą, w środku której znajduje się ładunek punktowy +Q(Rys. 1.7). Wyróżniamy elementarny obszar na kuli dS. Normalny dla tej witryny i wektora pokrywają się w kierunku, więc .

Ryż. 1,7
Przekształcamy całkę w (1.13) w następujący sposób:

Biorąc pod uwagę, że wszędzie na powierzchni kuli mi= stały, a biorąc pod uwagę wyrażenie (11.6), otrzymujemy:

Twierdzenie zostało udowodnione dla szczególnego przypadku, gdy wewnątrz powierzchni kuli znajduje się jeden ładunek. Dowód łatwo uogólnić na przypadek dowolnej liczby ładunków i dowolnej powierzchni zamkniętej.

W całkowitym przepływie, który tworzą ładunki znajdujące się poza zamkniętą powierzchnią można wyróżnić części dodatnie i ujemne, które wzajemnie się kompensują. Dlatego w twierdzeniu Ostrogradskiego-Gaussa nie uwzględnia się ładunków zewnętrznych względem danej powierzchni zamkniętej.

Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa łączy ładunki z wytwarzanymi przez nie polami elektrycznymi i odzwierciedla fakt, że stacjonarne ładunki elektryczne służą jako źródło pola elektrostatycznego.

Twierdzenie to jest ściśle związane z prawem Coulomba: jeśli prawo Coulomba jest ważne, to twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa jest również ważne i na odwrót. Jeśli w prawie Coulomba wykładnik był przynajmniej nieznacznie różny od dwóch, tj. F 1/ r 2+ α , gdzie α – arbitralnie mała liczba, wówczas twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa zostałoby naruszone. Ważność twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa została eksperymentalnie zweryfikowana ze znacznie większą dokładnością niż prawo Coulomba.
^

1.5. Zastosowanie twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa do obliczania pól

Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa w niektórych przypadkach umożliwia stosunkowo łatwe obliczenie natężenia pola elektrostatycznego dla danego rozkładu ładunku. Spójrzmy na kilka przykładów.
^

1.5.1. Pole nieskończonej, jednorodnie naładowanej płaszczyzny

Niech będzie nieskończona, jednorodnie naładowana płaszczyzna o powierzchniowej gęstości ładunku

[Cm 2 ]

Z rozważań na temat symetrii wynika, że ​​wektor musi być prostopadły do ​​płaszczyzny. Wybierzmy zamkniętą powierzchnię w postaci walca, którego boczna powierzchnia jest zorientowana wzdłuż wektora (ryc. 11.8). Całkowity przepływ wektorowy , oczywiście, jest

Ryż. 1,8


.

Przepływ przez powierzchnię boczną wynosi zero, ponieważ  (Rys. 1.8):

Przepływ przez podstawę cylindra:

.

Czyli całkowity przepływ wektora mi przez zamkniętą powierzchnię

.

Zgodnie z twierdzeniem Ostrogradskiego-Gaussa

. Stąd siła pola

, (1.14)

Intensywność pola wytworzonego przez nieskończoną, jednorodnie naładowaną płaszczyznę nie zależy od odległości do niej. Pole, w którym wektor natężenia jest taki sam pod względem wielkości i kierunku, nazywa się jednorodnym.
^

11.5.2. Pole dwóch nieskończonych, jednorodnie naładowanych płaszczyzn

Obliczmy siłę pola wytworzonego przez dwie nieskończone równoległe płaszczyzny, równomiernie naładowane o gęstości ładunku powierzchniowego +σ i -σ (ryc. 11.9).

Ryż. 1,9
Zgodnie z zasadą superpozycji, całkowite natężenie pola

,

gdzie oraz jest natężeniem pola generowanego odpowiednio przez dodatnio i ujemnie naładowane płaszczyzny.

W obszarach przestrzeni I i III (rys. 1.9) wektory i są skierowane w przeciwnych kierunkach, a więc naprężenie całkowite

W regionie II i są równoległe i równe w wartości bezwzględnej, dlatego

. Korzystając z poprzedniego wyniku, otrzymujemy

.

Podobnie można wykazać, że jeśli samoloty są naładowane tą samą nazwą, to w obszarach zewnętrznych I i III natężenie pola określa wzór (11.I5), a w obszarze wewnętrznym I, który służy do ochrona elektrostatyczna urządzeń.

11.5.3. Natężenie pola nieskończonego równomiernie naładowanego włókna o liniowej gęstości ładunku

[ Cm ]

Ryż. 1.10

Korzystając z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa można wykazać, że w tym przypadku

.

(1.16)

Wyprowadzając wzór (1.16), należy wybrać zamkniętą powierzchnię w postaci walca (rys. 1.10) i wziąć pod uwagę, że wektor jest prostopadła do gwintu, a zatem przepływ wektora przez podstawy cylindra jest równy zeru.

11.6. Praca nad ruchem ładunku w polu elektrostatycznym. Twierdzenie o obiegu wektorowym

Znajdźmy elementarną pracę nad przenoszeniem ładunku q w polu stworzonym przez podopiecznego Q:

gdzie  jest kątem między siłą i kierunek ruchu

.

Z ryc. 1.11 pokazuje, że

.dlatego

Całkowita praca, ale przeniesienie ładunku q z punktu ALE dokładnie B uzyskujemy przez całkowanie wyrażenia (11.17). Korzystając z prawa Coulomba, otrzymujemy

. Wreszcie

, (1.18)

Jeśli ładunek przemieści się z punktu A dokładnie B na innej ścieżce, po wykonaniu tych samych obliczeń, ponownie dochodzimy do wzoru (11.18). Dlatego praca w polu elektrostatycznym nie zależy od kształtu ścieżki, a jedynie od wyboru punktu początkowego i końcowego. Ponadto, jak widać z (11.18), praca przesuwania ładunku w palenisku elektrostatycznym po zamkniętej pętli wynosi zero, tj.

, (1.19)

Ryż. 1.11
Znaki te oznaczają, że pole elektrostatyczne jest potencjalne. Zgodnie z wynikiem uzyskanym w § 3.3, pracę sił potencjalnych (zachowawczych) można wyrazić w postaci różnicy energii potencjalnej:

Z porównania (11.18) i (11.20) wnioskujemy, że energia potencjalna oddziaływania dwóch ładunków punktowych

Jednostką potencjału pola elektrostatycznego jest wolt. Jeden wolt to potencjał takiego punktu w polu, w którym ładunek 1 C ma energię potencjalną 1 J: 1 V \u003d 1 J / C.

Znajdujemy potencjał pola ładunku punktowego, zastępując (1.21) przez (1.22):

.

(1.23)

I wreszcie, używając (1.22), wyrażenie (1.20) do pracy polegającej na przenoszeniu ładunku w polu elektrostatycznym z jednego punktu do drugiego można przedstawić jako iloczyn ładunku i różnicy potencjałów:
równa się zero. Wynik ten wynika z faktu, że praca w polu elektrostatycznym jest niezależna od kształtu ścieżki. Dlatego zerowa cyrkulacja wektora jest również znakiem, że pole elektrostatyczne jest potencjalne.
^

11.7. Związek między siłą pola a potencjałem

Ponieważ pole elektrostatyczne jest potencjałem, spełniona jest dla niego zależność (3.17), która ustala zależność między siłą zachowawczą a energią potencjalną. Jeśli podstawimy do wzoru (3.17)

,

wtedy dostajemy

, (1.28)

tych. siła pola elektrostatycznego jest równa gradientowi potencjału, branemu ze znakiem „-”. Znak „-” wskazuje, że siła pola jest skierowana w kierunku spadku potencjału.

Wprowadźmy pojęcie powierzchni ekwipotencjalnej, czyli powierzchni, w dowolnym punkcie, w którym wartość potencjału jest taka sama: φ =stała. W przypadku pola o ładunku punktowym powierzchnie ekwipotencjalne są sferyczne, dla jednorodnie naładowanego włókna są cylindryczne itd. Wektor natężenia pola jest zawsze prostopadły do ​​powierzchni ekwipotencjalnej.

Jeśli potencjał jest funkcją tylko jednej współrzędnej x, to wyrażenie (1.28) jest uproszczone:

W przypadku jednolitego pola elektrostatycznego (na przykład pola płaskiego kondensatora) wyrażenie (2.30) jest uproszczone:

Zilustrujmy zastosowanie wzoru (11.32) przykładami.

1. Pole opłaty punktowej

3. Pole dipola elektrycznego prostopadłego do jego osi

5. Pole kondensatora

.

(1.37)