W tej lekcji szczegółowo omówiono procedurę wykonywania operacji arytmetycznych w wyrażeniach bez nawiasów iz nawiasami. Studenci w trakcie wykonywania zadań mają możliwość ustalenia, czy znaczenie wyrażeń zależy od kolejności wykonywania operacji arytmetycznych, sprawdzenia, czy kolejność działań arytmetycznych różni się w wyrażeniach bez nawiasów i z nawiasami, przećwiczyć stosowanie wyuczona reguła, aby znaleźć i poprawić błędy popełnione przy ustalaniu kolejności działań.
W życiu nieustannie wykonujemy jakąś akcję: chodzimy, studiujemy, czytamy, piszemy, liczymy, uśmiechamy się, kłócimy i malujemy. Te kroki wykonujemy w innej kolejności. Czasami można je zamienić, czasami nie. Na przykład chodząc rano do szkoły, możesz najpierw wykonać ćwiczenia, a następnie pościelić łóżko lub odwrotnie. Ale nie możesz najpierw iść do szkoły, a potem założyć ubrania.
A w matematyce, czy konieczne jest wykonywanie operacji arytmetycznych w określonej kolejności?
Sprawdźmy
Porównajmy wyrażenia:
8-3+4 i 8-3+4
Widzimy, że oba wyrażenia są dokładnie takie same.
Wykonujmy akcje w jednym wyrażeniu od lewej do prawej, a w innym od prawej do lewej. Liczby mogą wskazywać kolejność wykonywania czynności (ryc. 1).
Ryż. 1. Procedura
W pierwszym wyrażeniu najpierw wykonamy operację odejmowania, a następnie do wyniku dodamy liczbę 4.
W drugim wyrażeniu najpierw znajdujemy wartość sumy, a następnie odejmujemy wynik 7 od 8.
Widzimy, że wartości wyrażeń są różne.
Zakończmy: Nie można zmienić kolejności wykonywania operacji arytmetycznych..
Nauczmy się zasady wykonywania operacji arytmetycznych w wyrażeniach bez nawiasów.
Jeżeli wyrażenie bez nawiasów zawiera tylko dodawanie i odejmowanie lub tylko mnożenie i dzielenie, to czynności wykonywane są w kolejności ich zapisania.
Poćwiczmy.
Rozważ wyrażenie
To wyrażenie zawiera tylko operacje dodawania i odejmowania. Te działania nazywają się działania pierwszego kroku.
Wykonujemy czynności od lewej do prawej w kolejności (ryc. 2).
Ryż. 2. Procedura
Rozważ drugie wyrażenie
W tym wyrażeniu są tylko operacje mnożenia i dzielenia - To są działania drugiego kroku.
Wykonujemy czynności od lewej do prawej w kolejności (ryc. 3).
Ryż. 3. Procedura
W jakiej kolejności wykonywane są operacje arytmetyczne, jeśli wyrażenie zawiera nie tylko dodawanie i odejmowanie, ale także mnożenie i dzielenie?
Jeśli wyrażenie bez nawiasów obejmuje nie tylko dodawanie i odejmowanie, ale także mnożenie i dzielenie lub obie te operacje, to najpierw wykonaj mnożenie i dzielenie w kolejności (od lewej do prawej), a następnie dodawanie i odejmowanie.
Rozważ wyrażenie.
Rozumujemy w ten sposób. To wyrażenie zawiera operacje dodawania i odejmowania, mnożenia i dzielenia. Działamy zgodnie z regułą. Najpierw wykonujemy w kolejności (od lewej do prawej) mnożenie i dzielenie, a następnie dodawanie i odejmowanie. Rozłóżmy procedurę.
Obliczmy wartość wyrażenia.
18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7
W jakiej kolejności wykonywane są operacje arytmetyczne, jeśli wyrażenie zawiera nawiasy?
Jeśli wyrażenie zawiera nawiasy, najpierw obliczana jest wartość wyrażeń w nawiasach.
Rozważ wyrażenie.
30 + 6 * (13 - 9)
Widzimy, że w tym wyrażeniu jest akcja w nawiasie, co oznacza, że najpierw wykonamy tę akcję, potem w kolejności mnożenie i dodawanie. Rozłóżmy procedurę.
30 + 6 * (13 - 9)
Obliczmy wartość wyrażenia.
30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54
Jak należy rozumować, aby poprawnie ustalić kolejność działań arytmetycznych w wyrażeniu liczbowym?
Przed przystąpieniem do obliczeń należy wziąć pod uwagę wyrażenie (dowiedzieć się, czy zawiera nawiasy, jakie ma akcje) i dopiero potem wykonać czynności w następującej kolejności:
1. czynności napisane w nawiasach;
2. mnożenie i dzielenie;
3. dodawanie i odejmowanie.
Diagram pomoże Ci zapamiętać tę prostą zasadę (ryc. 4).
Ryż. 4. Procedura
Poćwiczmy.
Rozważ wyrażenia, ustal kolejność operacji i wykonaj obliczenia.
43 - (20 - 7) +15
32 + 9 * (19 - 16)
Postępujmy zgodnie z zasadami. Wyrażenie 43 - (20 - 7) +15 zawiera operacje w nawiasach, a także operacje dodawania i odejmowania. Ustalmy kierunek działania. Pierwszym krokiem jest wykonanie akcji w nawiasach, a następnie w kolejności od lewej do prawej odejmowanie i dodawanie.
43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45
Wyrażenie 32 + 9 * (19 - 16) zawiera operacje w nawiasach, a także operacje mnożenia i dodawania. Zgodnie z regułą najpierw wykonujemy akcję w nawiasach, potem mnożymy (liczba 9 mnoży się przez wynik uzyskany przez odejmowanie) i dodajemy.
32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59
W wyrażeniu 2*9-18:3 nie ma nawiasów, ale są operacje mnożenia, dzielenia i odejmowania. Działamy zgodnie z regułą. Najpierw wykonujemy mnożenie i dzielenie od lewej do prawej, a następnie od wyniku otrzymanego przez mnożenie odejmujemy wynik uzyskany przez dzielenie. Oznacza to, że pierwsza czynność to mnożenie, druga to dzielenie, a trzecia to odejmowanie.
2*9-18:3=18-6=12
Sprawdźmy, czy kolejność działań w poniższych wyrażeniach jest poprawnie zdefiniowana.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
18: (11 - 5) + 47=
7 * 3 - (16 + 4)=
Rozumujemy w ten sposób.
37 + 9 - 6: 2 * 3 =
W tym wyrażeniu nie ma nawiasów, co oznacza, że najpierw wykonujemy mnożenie lub dzielenie od lewej do prawej, a następnie dodawanie lub odejmowanie. W tym wyrażeniu pierwsza czynność to dzielenie, druga to mnożenie. Trzecią czynnością powinno być dodawanie, czwartą - odejmowanie. Wniosek: kolejność działań jest zdefiniowana poprawnie.
Znajdź wartość tego wyrażenia.
37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37
Nadal się kłócimy.
Drugie wyrażenie ma nawiasy, co oznacza, że najpierw wykonujemy akcję w nawiasach, a następnie od lewej do prawej mnożenie lub dzielenie, dodawanie lub odejmowanie. Sprawdzamy: pierwsza akcja jest w nawiasach, druga to dzielenie, trzecia to dodawanie. Wniosek: kolejność działań jest zdefiniowana niepoprawnie. Popraw błędy, znajdź wartość wyrażenia.
18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50
To wyrażenie również ma nawiasy, co oznacza, że najpierw wykonujemy akcję w nawiasach, a następnie od lewej do prawej mnożenie lub dzielenie, dodawanie lub odejmowanie. Sprawdzamy: pierwsza akcja jest w nawiasach, druga to mnożenie, trzecia to odejmowanie. Wniosek: kolejność działań jest zdefiniowana niepoprawnie. Popraw błędy, znajdź wartość wyrażenia.
7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1
Dokończmy zadanie.
Uporządkujmy kolejność działań w wyrażeniu, korzystając z badanej reguły (ryc. 5).
Ryż. 5. Procedura
Nie widzimy wartości liczbowych, więc nie będziemy w stanie znaleźć znaczenia wyrażeń, ale poćwiczymy stosowanie wyuczonej reguły.
Działamy zgodnie z algorytmem.
Pierwsze wyrażenie ma nawiasy, więc pierwsza akcja jest w nawiasach. Następnie mnożenie i dzielenie od lewej do prawej, odejmowanie i dodawanie od lewej do prawej.
Drugie wyrażenie również zawiera nawiasy, co oznacza, że pierwszą akcję wykonujemy w nawiasach. Potem od lewej do prawej mnożenie i dzielenie, potem odejmowanie.
Sprawdźmy sami (ryc. 6).
Ryż. 6. Procedura
Dzisiaj na lekcji zapoznaliśmy się z zasadą kolejności wykonywania czynności w wyrażeniach bez nawiasów iz nawiasami.
Bibliografia
Praca domowa
1. Określ kolejność działań w tych wyrażeniach. Znajdź znaczenie wyrażeń.
2. Określ, w jakim wyrażeniu wykonywana jest ta kolejność działań:
1. mnożenie; 2. podział 3. dodawanie; 4. odejmowanie; 5. dodatek. Znajdź wartość tego wyrażenia.
3. Skomponuj trzy wyrażenia, w których wykonywana jest następująca kolejność działań:
1. mnożenie; 2. dodatek; 3. odejmowanie
1. dodatek; 2. odejmowanie; 3. dodatek
1. mnożenie; 2. podział; 3. dodatek
Znajdź znaczenie tych wyrażeń.
Zasady kolejności czynności w wyrażeniach złożonych są badane w klasie 2, ale prawie niektóre z nich są używane przez dzieci w klasie 1.
Najpierw rozważymy regułę dotyczącą kolejności wykonywania operacji w wyrażeniach bez nawiasów, gdy liczby są albo tylko dodawane i odejmowane, albo tylko mnożone i dzielone. Konieczność wprowadzenia wyrażeń zawierających dwie lub więcej operacji arytmetycznych tego samego poziomu pojawia się, gdy uczniowie zapoznają się z obliczeniowymi metodami dodawania i odejmowania w ciągu 10, a mianowicie:
Podobnie: 6 - 1 - 1, 6 - 2 - 1, 6 - 2 - 2.
Ponieważ, aby znaleźć wartości tych wyrażeń, uczniowie zwracają się do czynności podmiotowych, które są wykonywane w określonej kolejności, łatwo dowiadują się, że operacje arytmetyczne (dodawanie i odejmowanie), które mają miejsce w wyrażeniach, są wykonywane sekwencyjnie od lewej w prawo.
W przypadku wyrażeń liczbowych zawierających operacje dodawania i odejmowania oraz nawiasów uczniowie spotykają się najpierw w temacie „Dodawanie i odejmowanie w ciągu 10”. Kiedy dzieci spotykają się z takimi wyrażeniami w klasie 1, na przykład: 7 - 2 + 4, 9 - 3 - 1, 4 +3 - 2; w II klasie np.: 70 - 36 +10, 80 - 10 - 15, 32 + 18 - 17; 4 * 10: 5, 60: 10 * 3, 36: 9 * 3, nauczyciel pokazuje, jak czytać i pisać takie wyrażenia i jak znaleźć ich wartość (na przykład 4 * 10: 5 czytaj: 4 razy 10 i dziel wynik o 5). Do czasu studiowania tematu „Procedura działań” w klasie 2 uczniowie są w stanie znaleźć znaczenia wyrażeń tego typu. Cel pracy nad ten etap- opierając się na praktycznych umiejętnościach uczniów, zwróć ich uwagę na procedurę wykonywania czynności w takich wyrażeniach i sformułuj odpowiednią regułę. Uczniowie samodzielnie rozwiązują wybrane przez nauczyciela przykłady i wyjaśniają, w jakiej kolejności wykonali; działania w każdym przykładzie. Następnie sami formułują wniosek lub czytają wniosek z podręcznika: jeśli tylko operacje dodawania i odejmowania (lub tylko operacje mnożenia i dzielenia) są wskazane w wyrażeniu bez nawiasów, to są one wykonywane w kolejności, w jakiej są pisane (tj. od lewej do prawej).
Pomimo tego, że w wyrażeniach postaci a + b + c, a + (b + c) i (a + c) + c obecność nawiasów nie wpływa na kolejność wykonywania czynności ze względu na skojarzeniowe prawo dodawania , na tym etapie bardziej celowe jest zorientowanie uczniów, aby czynność w nawiasach była wykonywana jako pierwsza. Wynika to z faktu, że dla wyrażeń postaci a - (b + c) i a - (b - c) takie uogólnienie jest również niedopuszczalne dla studentów etap początkowy dość trudno będzie poruszać się po przypisaniu nawiasów do różnych wyrażeń liczbowych. Stosowanie nawiasów w wyrażeniach liczbowych zawierających dodawanie i odejmowanie jest dalej rozwijane, co wiąże się z badaniem takich reguł jak dodawanie sumy do liczby, liczby do sumy, odejmowanie sumy od liczby i liczby od sumy . Ale kiedy po raz pierwszy wprowadzono do nawiasów, ważne jest, aby skierować uczniów do faktu, że akcja w nawiasach jest wykonywana jako pierwsza.
Nauczyciel zwraca uwagę dzieci na to, jak ważne jest przestrzeganie tej zasady podczas obliczania, w przeciwnym razie można uzyskać nieprawidłową równość. Na przykład uczniowie wyjaśniają, w jaki sposób uzyskano wartości wyrażeń: 70 - 36 +10=24, 60:10 - 3 =2, dlaczego są niepoprawne, jakie wartości faktycznie mają te wyrażenia. Podobnie badają kolejność działań w wyrażeniach z nawiasami w postaci: 65 - (26 - 14), 50: (30 - 20), 90: (2 * 5). Studenci również znają takie wyrażenia i potrafią czytać, pisać i obliczać ich znaczenie. Po wyjaśnieniu kolejności wykonywania czynności w kilku takich wyrażeniach dzieci formułują wniosek: w wyrażeniach z nawiasami pierwsza czynność wykonywana jest na liczbach zapisanych w nawiasach. Biorąc pod uwagę te wyrażenia, łatwo wykazać, że czynności w nich zawarte nie są wykonywane w kolejności, w jakiej zostały napisane; aby pokazać inną kolejność wykonywania i są używane nawiasy.
Następnie wprowadzana jest reguła kolejności wykonywania akcji w wyrażeniach bez nawiasów, gdy zawierają one akcje pierwszego i drugiego etapu. Ponieważ zasady postępowania ustalane są w drodze porozumienia, nauczyciel przekazuje je dzieciom lub uczniowie zapoznają się z nimi z podręcznika. Aby uczniowie mogli zapoznać się z wprowadzonymi zasadami, wraz z ćwiczenia szkoleniowe obejmują rozwiązywanie przykładów z wyjaśnieniem kolejności, w jakiej wykonywane są ich działania. Skuteczne są także ćwiczenia z wyjaśniania błędów w kolejności wykonywania czynności. Na przykład z podanych par przykładów proponuje się wypisać tylko te, w których obliczenia są wykonywane zgodnie z regułami kolejności operacji:
Po wyjaśnieniu błędów możesz zlecić zadanie: za pomocą nawiasów zmień kolejność czynności tak, aby wyrażenie miało daną wartość. Na przykład, aby pierwsze z podanych wyrażeń miało wartość równą 10, musisz napisać to tak: (20+30):5=10.
Szczególnie przydatne są ćwiczenia do obliczania wartości wyrażenia, gdy uczeń musi zastosować wszystkie poznane zasady. Na przykład wyrażenie 36:6 + 3 * 2 jest zapisane na tablicy lub w zeszytach. Uczniowie obliczają jego wartość. Następnie na polecenie nauczyciela dzieci zmieniają kolejność czynności w wyrażeniu za pomocą nawiasów:
Ciekawe, ale trudniejsze ćwiczenie jest odwrotne: ułóż nawiasy tak, aby wyrażenie miało podaną wartość:
Interesujące są również ćwiczenia typu:
Wykonując te ćwiczenia, uczniowie są przekonani, że znaczenie wyrażenia może się zmienić, jeśli zmieni się kolejność działań.
Aby opanować zasady kolejności czynności, konieczne jest w klasach 3 i 4 uwzględnianie coraz bardziej skomplikowanych wyrażeń, przy obliczaniu wartości, których uczeń każdorazowo stosowałby nie jedną, ale dwie lub trzy zasady kolejność działań, na przykład:
Jednocześnie liczby powinny być tak dobrane, aby umożliwiały wykonywanie czynności w dowolnej kolejności, co stwarza warunki do świadomego stosowania wyuczonych reguł.
Kiedy pracujemy z różnymi wyrażeniami, które zawierają liczby, litery i zmienne, musimy to zrobić duża liczba działania arytmetyczne. Kiedy dokonujemy transformacji lub obliczamy wartość, bardzo ważne jest przestrzeganie właściwej kolejności tych działań. Innymi słowy, operacje arytmetyczne mają swoją specjalną kolejność wykonywania.
Yandex.RTB R-A-339285-1
W tym artykule powiemy Ci, jakie czynności należy wykonać najpierw, a które później. Najpierw przyjrzyjmy się kilku prostym wyrażeniom, które zawierają tylko zmienne lub wartości liczbowe, a także znaki dzielenia, mnożenia, odejmowania i dodawania. Następnie weźmiemy przykłady z nawiasami i zastanowimy się, w jakiej kolejności należy je oceniać. W trzeciej części podamy prawidłową kolejność przekształceń i obliczeń w tych przykładach, które zawierają znaki pierwiastków, potęg i innych funkcji.
Definicja 1W przypadku wyrażeń bez nawiasów kolejność czynności określana jest jednoznacznie:
Znaczenie tych zasad jest łatwe do zrozumienia. Tradycyjna kolejność pisania od lewej do prawej określa podstawową sekwencję obliczeń, a konieczność mnożenia lub dzielenia w pierwszej kolejności tłumaczy się samą istotą tych operacji.
Weźmy kilka zadań dla jasności. Użyliśmy tylko najprostszych wyrażenia numeryczne aby wszystkie obliczenia można było wykonać w umyśle. Dzięki temu możesz szybko zapamiętać żądaną kolejność i szybko sprawdzić wyniki.
Przykład 1
Stan: obliczyć ile 7 − 3 + 6 .
Rozwiązanie
W naszym wyrażeniu nie ma nawiasów, nie ma też mnożenia i dzielenia, więc wszystkie czynności wykonujemy w określonej kolejności. Najpierw odejmij trzy od siedmiu, a następnie dodaj sześć do reszty, a w rezultacie otrzymamy dziesięć. Oto zapis całego rozwiązania:
7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10
Odpowiadać: 7 − 3 + 6 = 10 .
Przykład 2
Stan: w jakiej kolejności należy wykonać obliczenia w wyrażeniu 6:2 8:3?
Rozwiązanie
Aby odpowiedzieć na to pytanie, ponownie przeczytaliśmy sformułowaną wcześniej regułę dla wyrażeń bez nawiasów. Mamy tutaj tylko mnożenie i dzielenie, co oznacza, że zachowujemy pisemną kolejność obliczeń i liczymy kolejno od lewej do prawej.
Odpowiadać: najpierw dzielimy sześć przez dwa, mnożymy wynik przez osiem i dzielimy wynikową liczbę przez trzy.
Przykład 3
Stan: oblicz ile będzie 17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2.
Rozwiązanie
Najpierw ustalmy prawidłową kolejność działań, ponieważ mamy tutaj wszystkie podstawowe rodzaje działań arytmetycznych - dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie. Pierwszą rzeczą, którą musimy zrobić, jest dzielenie i mnożenie. Czynności te nie mają nad sobą pierwszeństwa, dlatego wykonujemy je w kolejności pisemnej od prawej do lewej. Oznacza to, że 5 należy pomnożyć przez 6 i otrzymać 30, następnie 30 podzielić przez 3 i otrzymać 10. Następnie dzielimy 4 przez 2 , czyli 2 . Zastąp znalezione wartości w oryginalnym wyrażeniu:
17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17 - 10 - 2 + 2
Nie ma tu dzielenia ani mnożenia, więc pozostałe obliczenia wykonujemy w kolejności i otrzymujemy odpowiedź:
17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7
Odpowiadać:17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 7.
Dopóki kolejność wykonywania czynności nie zostanie dobrze poznana, możesz umieszczać liczby nad znakami operacji arytmetycznych, wskazując kolejność obliczeń. Na przykład dla powyższego problemu moglibyśmy napisać to tak:
Jeśli mamy wyrażenia dosłowne, to samo robimy z nimi: najpierw mnożymy i dzielimy, potem dodajemy i odejmujemy.
Czasami w podręcznikach wszystkie operacje arytmetyczne są podzielone na operacje pierwszego i drugiego etapu. Sformułujmy wymaganą definicję.
Operacje pierwszego etapu obejmują odejmowanie i dodawanie, drugie - mnożenie i dzielenie.
Znając te nazwy, możemy napisać podaną wcześniej regułę dotyczącą kolejności działań w następujący sposób:
Definicja 2
W wyrażeniu, które nie ma nawiasów, musisz najpierw wykonać czynności z drugiego kroku w kierunku od lewej do prawej, a następnie czynności z pierwszego kroku (w tym samym kierunku).
Same nawiasy są znakiem, który mówi nam o pożądanej kolejności wykonywania czynności. W tym przypadku właściwa zasada można napisać tak:
Definicja 3
Jeśli w wyrażeniu są nawiasy, to najpierw wykonywana jest w nich akcja, po czym mnożymy i dzielimy, a następnie dodajemy i odejmujemy w kierunku od lewej do prawej.
Jeśli chodzi o samo wyrażenie w nawiasach, można je uznać za składnik wyrażenia głównego. Przy obliczaniu wartości wyrażenia w nawiasach zachowujemy tę samą znaną nam procedurę. Zilustrujmy nasz pomysł przykładem.
Przykład 4
Stan: obliczyć ile 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.
Rozwiązanie
To wyrażenie ma nawiasy, więc zacznijmy od nich. Przede wszystkim obliczmy, ile będzie 7 − 2 · 3. Tutaj musimy pomnożyć 2 przez 3 i odjąć wynik od 7:
7 − 2 3 = 7 − 6 = 1
Rozważamy wynik w drugich nawiasach. Tam mamy tylko jedną akcję: 6 − 4 = 2 .
Teraz musimy podstawić otrzymane wartości do oryginalnego wyrażenia:
5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2
Zacznijmy od mnożenia i dzielenia, następnie odejmijmy i otrzymamy:
5 + 1 2:2 = 5 + 2:2 = 5 + 1 = 6
To kończy obliczenia.
Odpowiadać: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.
Nie przejmuj się, jeśli warunek zawiera wyrażenie, w którym niektóre nawiasy zawierają inne. Musimy tylko konsekwentnie stosować powyższą regułę do wszystkich wyrażeń w nawiasach. Podejmijmy się tego zadania.
Przykład 5
Stan: obliczyć ile 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).
Rozwiązanie
Mamy nawiasy w nawiasach. Zaczynamy od 3 + 1 + 4 (2 + 3) , czyli 2 + 3 . Będzie 5 . Wartość będzie musiała zostać podstawiona do wyrażenia i obliczyć, że 3 + 1 + 4 5 . Pamiętamy, że najpierw musimy pomnożyć, a potem dodać: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Podstawiając znalezione wartości do oryginalnego wyrażenia, obliczamy odpowiedź: 4 + 24 = 28 .
Odpowiadać: 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.
Innymi słowy, oceniając wartość wyrażenia zawierającego nawiasy w nawiasach, zaczynamy od nawiasów wewnętrznych i przechodzimy do nawiasów zewnętrznych.
Powiedzmy, że musimy ustalić, ile będzie (4 + (4 + (4 - 6: 2)) - 1) - 1. Zaczynamy od wyrażenia w nawiasach wewnętrznych. Ponieważ 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , oryginalne wyrażenie można zapisać jako (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Ponownie zwracamy się do nawiasów wewnętrznych: 4 + 1 = 5 . Doszliśmy do wyrażenia (4 + 5 − 1) − 1 . Wierzymy 4 + 5 − 1 = 8 iw rezultacie otrzymujemy różnicę 8 - 1, której wynikiem będzie 7.
Jeśli mamy wyrażenie w warunku ze stopniem, pierwiastkiem, logarytmem lub funkcja trygonometryczna(sinus, cosinus, tangens i cotangens) lub inne funkcje, to pierwszą rzeczą, którą robimy, jest obliczenie wartości funkcji. Następnie działamy zgodnie z zasadami określonymi w poprzednich akapitach. Innymi słowy, funkcje mają taką samą wagę, jak wyrażenie ujęte w nawiasy.
Spójrzmy na przykład takiego obliczenia.
Przykład 6
Stan: znajdź ile będzie (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 .
Rozwiązanie
Mamy wyrażenie ze stopniem, którego wartość należy najpierw znaleźć. Rozważamy: 6 2 \u003d 36. Teraz podstawiamy wynik do wyrażenia, po którym przyjmie postać (3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 .
(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13
Odpowiadać: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.
W osobnym artykule poświęconym obliczaniu wartości wyrażeń przedstawiamy inne, więcej złożone przykłady obliczenia w przypadku wyrażeń z pierwiastkami, stopniami itp. Zalecamy zapoznanie się z nim.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
W V wieku p.n.e. starożytny filozof grecki Zenon z Elei sformułował swoje słynne aporie, z których najsłynniejszą jest aporia „Achilles i żółw”. Oto jak to brzmi:Powiedzmy, że Achilles biegnie dziesięć razy szybciej niż żółw i jest tysiąc kroków za nim. W czasie, jaki Achilles potrzebuje na przebiegnięcie tego dystansu, żółw będzie czołgał się sto kroków w tym samym kierunku. Kiedy Achilles przebiegnie sto kroków, żółw będzie czołgał się o kolejne dziesięć i tak dalej. Proces będzie trwał w nieskończoność, Achilles nigdy nie dogoni żółwia.
To rozumowanie stało się logicznym szokiem dla wszystkich następnych pokoleń. Arystoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Wszyscy oni w ten czy inny sposób uważali aporie Zenona. Wstrząs był tak silny, że ” …dyskusje trwają w chwili obecnej, aby dojść do wspólnej opinii na temat istoty paradoksów społeczność naukowa jeszcze się nie udało... Analiza matematyczna, teoria mnogości, nowe podejścia fizyczne i filozoficzne; żaden z nich nie stał się powszechnie akceptowanym rozwiązaniem problemu...„[Wikipedia”, „Aporie Zenona”]. Wszyscy rozumieją, że są oszukiwani, ale nikt nie rozumie, czym jest oszustwo.
Z punktu widzenia matematyki Zenon w swojej aporii wyraźnie zademonstrował przejście od wartości do. To przejście oznacza zastosowanie zamiast stałych. O ile rozumiem, aparat matematyczny do stosowania zmiennych jednostek miar albo nie został jeszcze opracowany, albo nie został zastosowany do aporii Zenona. Zastosowanie naszej zwykłej logiki prowadzi nas w pułapkę. My, przez inercję myślenia, stosujemy stałe jednostki czasu do odwrotności. Z fizycznego punktu widzenia wygląda to tak, jakby czas zwalniał aż do całkowitego zatrzymania w momencie, gdy Achilles dogania żółwia. Jeśli czas się zatrzyma, Achilles nie może już wyprzedzić żółwia.
Jeśli odwrócimy logikę, do której jesteśmy przyzwyczajeni, wszystko ułoży się na swoim miejscu. Achilles biegnie ze stałą prędkością. Każdy kolejny odcinek jego drogi jest dziesięć razy krótszy niż poprzedni. W związku z tym czas poświęcony na jego pokonanie jest dziesięciokrotnie krótszy niż poprzedni. Jeśli zastosujemy w tej sytuacji pojęcie „nieskończoności”, to słuszne byłoby powiedzenie „Achilles nieskończenie szybko wyprzedzi żółwia”.
Jak uniknąć tej logicznej pułapki? Pozostań w stałych jednostkach czasu i nie przełączaj na wartości odwrotne. W języku Zenona wygląda to tak:
W czasie, jaki Achilles potrzebuje na wykonanie tysiąca kroków, żółw czołga się sto kroków w tym samym kierunku. W następnym przedziale czasowym, równym pierwszemu, Achilles przebiegnie kolejne tysiąc kroków, a żółw będzie czołgał się na sto kroków. Teraz Achilles jest osiemset kroków przed żółwiem.
Takie podejście adekwatnie opisuje rzeczywistość bez żadnych logicznych paradoksów. Ale to nie jest kompletne rozwiązanie problemu. Stwierdzenie Einsteina o nie do pokonania prędkości światła jest bardzo podobne do aporii Zenona „Achilles i żółw”. Musimy jeszcze przestudiować, przemyśleć i rozwiązać ten problem. A rozwiązania należy szukać nie w nieskończenie dużych ilościach, ale w jednostkach miary.
Kolejna interesująca aporia Zenona opowiada o latającej strzałie:
Latająca strzała jest nieruchoma, ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, a ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, zawsze jest w spoczynku.
W tej aporii paradoks logiczny zostaje przezwyciężony bardzo prosto - wystarczy wyjaśnić, że w każdym momencie lecąca strzała spoczywa w różnych punktach przestrzeni, co w rzeczywistości jest ruchem. W tym miejscu należy zwrócić uwagę na jeszcze jedną kwestię. Z jednego zdjęcia samochodu na drodze nie da się ustalić ani faktu jego ruchu, ani odległości do niego. Do ustalenia faktu ruchu samochodu potrzebne są dwie fotografie wykonane z tego samego punktu w różnych punktach czasowych, ale nie można ich wykorzystać do określenia odległości. Aby określić odległość do samochodu, potrzebujesz dwóch zdjęć wykonanych jednocześnie z różnych punktów w przestrzeni, ale nie możesz z nich określić faktu ruchu (oczywiście do obliczeń nadal potrzebujesz dodatkowych danych, pomoże ci trygonometria). Na czym chcę się skupić Specjalna uwaga jest to, że dwa punkty w czasie i dwa punkty w przestrzeni to różne rzeczy, których nie należy mylić, ponieważ dają różne możliwości eksploracji.
Bardzo dobrze różnice między setami i multisetami są opisane w Wikipedii. Patrzymy.
Jak widać, „zestaw nie może mieć dwóch identycznych elementów”, ale jeśli w zestawie są identyczne elementy, taki zestaw nazywa się „multisetem”. Rozsądne istoty nigdy nie zrozumieją takiej logiki absurdu. Jest to poziom gadających papug i tresowanych małp, w którym umysł jest nieobecny w słowie „całkowicie”. Matematycy działają jak zwykli trenerzy, przekazują nam swoje absurdalne pomysły.
Dawno, dawno temu inżynierowie, którzy zbudowali most, byli w łodzi pod mostem podczas testów mostu. Jeśli most się zawalił, przeciętny inżynier zginął pod gruzami swojego dzieła. Jeśli most mógł wytrzymać obciążenie, utalentowany inżynier zbudował inne mosty.
Bez względu na to, jak matematycy kryją się za zwrotem „uwaga na mnie, jestem w domu”, a raczej „matematyka bada pojęcia abstrakcyjne”, istnieje jedna pępowina, która nierozerwalnie łączy je z rzeczywistością. Ta pępowina to pieniądze. Zastosujmy matematyczną teorię mnogości do samych matematyków.
Uczyliśmy się bardzo dobrze matematyki i teraz siedzimy przy kasie, płacąc pensje. Tutaj matematyk przychodzi do nas po swoje pieniądze. Odliczamy mu całą kwotę i układamy na naszym stole w różne stosy, w których wkładamy banknoty o tym samym nominale. Następnie bierzemy po jednym rachunku z każdego stosu i dajemy matematykowi jego „matematyczny zestaw wynagrodzeń”. Wyjaśniamy matematykę, że otrzyma resztę rachunków dopiero wtedy, gdy udowodni, że zbiór bez identycznych elementów nie jest równy zbiorowi z identycznymi elementami. Tu zaczyna się zabawa.
Przede wszystkim zadziała logika posłów: „możesz to zastosować do innych, ale nie do mnie!” Ponadto zaczną się zapewniać, że na banknotach o tym samym nominale znajdują się różne numery banknotów, co oznacza, że nie można ich uznać za elementy identyczne. Cóż, pensję liczymy w monetach - na monetach nie ma cyfr. Tutaj matematyk zacznie konwulsyjnie przypominać sobie fizykę: na różnych monetach jest inna kwota błoto, struktura krystaliczna a układ atomów w każdej monecie jest wyjątkowy...
A teraz mam najwięcej zainteresowanie Zapytaj: gdzie jest granica, poza którą elementy wielozbioru zamieniają się w elementy zbioru i odwrotnie? Taka linia nie istnieje - o wszystkim decydują szamani, nauka tutaj nie jest nawet bliska.
Popatrz tutaj. Dobieramy stadiony piłkarskie o tej samej powierzchni boiska. Powierzchnia pól jest taka sama, co oznacza, że mamy multiset. Ale jeśli weźmiemy pod uwagę nazwy tych samych stadionów, otrzymamy bardzo dużo, bo nazwy są różne. Jak widać, ten sam zestaw elementów jest jednocześnie zestawem i multizestawem. Jak dobrze? I tutaj matematyk-szaman-szuller wyciąga z rękawa asa atutowego i zaczyna nam opowiadać albo o secie, albo o multisecie. W każdym razie przekona nas, że ma rację.
Aby zrozumieć, jak współcześni szamani operują teorią mnogości, wiążąc ją z rzeczywistością, wystarczy odpowiedzieć na jedno pytanie: czym elementy jednego zbioru różnią się od elementów innego zbioru? Pokażę ci, bez żadnych „wyobrażalnych jako nie jedna całość” lub „nie wyobrażalnych jako jedna całość”.
Suma cyfr liczby to taniec szamanów z tamburynem, który nie ma nic wspólnego z matematyką. Tak, na lekcjach matematyki uczy się nas znajdowania sumy cyfr liczby i używania jej, ale są szamanami, aby uczyć swoich potomków swoich umiejętności i mądrości, w przeciwnym razie szamani po prostu wyginą.
Potrzebujesz dowodu? Otwórz Wikipedię i spróbuj znaleźć stronę „Suma cyfr liczby”. Ona nie istnieje. W matematyce nie ma formuły, za pomocą której można by znaleźć sumę cyfr dowolnej liczby. W końcu liczby to symbole graficzne, za pomocą których piszemy liczby, a w języku matematyki zadanie brzmi tak: „Znajdź sumę symboli graficznych reprezentujących dowolną liczbę”. Matematycy nie mogą rozwiązać tego problemu, ale szamani mogą to zrobić elementarnie.
Zastanówmy się, co i jak robimy, aby znaleźć sumę cyfr danej liczby. I tak załóżmy, że mamy liczbę 12345. Co należy zrobić, aby znaleźć sumę cyfr tej liczby? Rozważmy wszystkie kroki w kolejności.
1. Zapisz numer na kartce papieru. Co my zrobiliśmy? Przekonwertowaliśmy liczbę na symbol graficzny liczby. To nie jest operacja matematyczna.
2. Dzielimy jeden otrzymany obrazek na kilka obrazków zawierających osobne numery. Wycinanie obrazu nie jest operacją matematyczną.
3. Konwertuj poszczególne znaki graficzne na liczby. To nie jest operacja matematyczna.
4. Dodaj otrzymane liczby. To jest matematyka.
Suma cyfr liczby 12345 to 15. Są to „kursy krojenia i szycia” od szamanów używane przez matematyków. Ale to nie wszystko.
Z punktu widzenia matematyki nie ma znaczenia, w jakim systemie liczbowym zapisujemy liczbę. Więc w różne systemy licząc, suma cyfr tego samego numeru będzie inna. W matematyce system liczbowy jest oznaczony jako indeks dolny po prawej stronie liczby. Z duża liczba 12345 Nie chcę oszukiwać głowy, rozważ numer 26 z artykułu o. Zapiszmy tę liczbę w systemie binarnym, ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym. Nie będziemy rozważać każdego kroku pod mikroskopem, już to zrobiliśmy. Spójrzmy na wynik.
Jak widać, w różnych systemach liczbowych suma cyfr tego samego numeru jest różna. Ten wynik nie ma nic wspólnego z matematyką. To tak, jakby znalezienie powierzchni prostokąta w metrach i centymetrach dało zupełnie inne wyniki.
Zero we wszystkich systemach liczbowych wygląda tak samo i nie ma sumy cyfr. To kolejny argument przemawiający za tym, że . Pytanie do matematyków: jak oznacza się w matematyce to, co nie jest liczbą? Czym dla matematyków nie istnieje nic poza liczbami? Szamanom mogę na to pozwolić, ale naukowcom nie. Rzeczywistość to nie tylko liczby.
Otrzymany wynik należy traktować jako dowód, że systemy liczbowe są jednostkami miary liczb. W końcu nie możemy porównywać liczb z różnymi jednostkami miary. Jeśli te same działania z różnymi jednostkami miary tej samej wielkości prowadzą do różne wyniki po ich porównaniu to nie ma nic wspólnego z matematyką.
Czym jest prawdziwa matematyka? Dzieje się tak, gdy wynik działania matematycznego nie zależy od wartości liczby, użytej jednostki miary i tego, kto wykonuje tę czynność.
Auć! Czy to nie jest toaleta dla kobiet?
- Młoda kobieta! To jest laboratorium do badania nieskończonej świętości dusz po wniebowstąpieniu! Nimbus na górze i strzałka w górę. Jaka inna toaleta?
Kobieta... Aureola na górze i strzałka w dół to mężczyzna.
Jeśli masz takie dzieło sztuki projektowania migające przed oczami kilka razy dziennie,
Nic więc dziwnego, że nagle w samochodzie znajdujesz dziwną ikonę:
Osobiście staram się widzieć minus cztery stopnie u osoby robiącej kupę (jedno zdjęcie) (złożenie kilku zdjęć: znak minus, cyfra cztery, oznaczenie stopni). I nie uważam tej dziewczyny za głupca, który nie zna fizyki. Po prostu ma łukowy stereotyp percepcji obrazy graficzne. A matematycy cały czas nas tego uczą. Oto przykład.
1A nie oznacza „minus cztery stopnie” lub „jeden a”. To jest „człowiek robi kupę” lub liczba „dwadzieścia sześć” w systemie szesnastkowym. Osoby, które stale pracują w tym systemie liczbowym, automatycznie postrzegają liczbę i literę jako jeden symbol graficzny.
A przy obliczaniu wartości wyrażeń czynności wykonywane są w określonej kolejności, innymi słowy, należy przestrzegać kolejność działań.
W tym artykule dowiemy się, które czynności należy wykonać jako pierwsze, a które po nich. Zacznijmy od najprostszych przypadków, gdy wyrażenie zawiera tylko liczby lub zmienne połączone znakami plus, minus, mnożenia i dzielenia. Następnie wyjaśnimy, jaka kolejność wykonywania akcji powinna być przestrzegana w wyrażeniach z nawiasami. Na koniec rozważ kolejność wykonywania czynności w wyrażeniach zawierających potęgi, pierwiastki i inne funkcje.
Nawigacja po stronach.
Szkoła zapewnia następujące reguła określająca kolejność wykonywania czynności w wyrażeniach bez nawiasów:
Podana zasada jest postrzegana całkiem naturalnie. Wykonywanie czynności w kolejności od lewej do prawej tłumaczy się tym, że zwyczajowo prowadzimy zapisy od lewej do prawej. A fakt, że mnożenie i dzielenie wykonuje się przed dodawaniem i odejmowaniem, tłumaczy się znaczeniem, jakie te działania niosą w sobie.
Przyjrzyjmy się kilku przykładom zastosowania tej zasady. Na przykład weźmiemy najprostsze wyrażenia liczbowe, aby nie rozpraszać się obliczeniami, ale skupić się na kolejności wykonywania czynności.
Przykład.
Postępuj zgodnie z krokami 7-3+6.
Rozwiązanie.
Oryginalne wyrażenie nie zawiera nawiasów ani mnożenia i dzielenia. Dlatego powinniśmy wykonywać wszystkie czynności w kolejności od lewej do prawej, to znaczy najpierw odejmujemy 3 od 7, otrzymujemy 4, po czym do powstałej różnicy dodajemy 6 4, otrzymujemy 10.
Krótko mówiąc, rozwiązanie można zapisać w następujący sposób: 7−3+6=4+6=10 .
Odpowiadać:
7−3+6=10 .
Przykład.
Wskaż kolejność wykonywania czynności w wyrażeniu 6:2.8:3 .
Rozwiązanie.
Aby odpowiedzieć na pytanie o problem, przejdźmy do reguły, która wskazuje kolejność wykonywania akcji w wyrażeniach bez nawiasów. Oryginalne wyrażenie zawiera tylko operacje mnożenia i dzielenia i zgodnie z zasadą należy je wykonywać w kolejności od lewej do prawej.
Odpowiadać:
Pierwszy 6 podzielone przez 2, ten iloraz jest pomnożony przez 8, w końcu wynik jest dzielony przez 3.
Przykład.
Oblicz wartość wyrażenia 17−5,6:3−2+4:2 .
Rozwiązanie.
Najpierw ustalmy, w jakiej kolejności należy wykonać akcje w oryginalnym wyrażeniu. Obejmuje zarówno mnożenie i dzielenie oraz dodawanie i odejmowanie. Najpierw od lewej do prawej musisz wykonać mnożenie i dzielenie. Więc mnożymy 5 przez 6, otrzymujemy 30, dzielimy tę liczbę przez 3, otrzymujemy 10. Teraz dzielimy 4 przez 2, otrzymujemy 2. Podstawiamy znalezioną wartość 10 zamiast 5 6:3 w oryginalnym wyrażeniu, a wartość 2 zamiast 4:2, mamy 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.
W wynikowym wyrażeniu nie ma mnożenia ani dzielenia, więc pozostaje wykonać pozostałe czynności w kolejności od lewej do prawej: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .
Odpowiadać:
17-5 6:3-2+4:2=7.
Na początku, aby nie mylić kolejności wykonywania czynności przy obliczaniu wartości wyrażenia, wygodnie jest umieszczać liczby nad znakami czynności odpowiadających kolejności ich wykonywania. W poprzednim przykładzie wyglądałoby to tak: .
Ta sama kolejność operacji - najpierw mnożenie i dzielenie, potem dodawanie i odejmowanie - powinna być przestrzegana podczas pracy z wyrażeniami dosłownymi.
W niektórych podręcznikach do matematyki istnieje podział działań arytmetycznych na operacje pierwszego i drugiego kroku. Zajmijmy się tym.
Definicja.
Akcje pierwszego kroku nazywane są dodawaniem i odejmowaniem, a mnożenie i dzielenie nazywane są działania drugiego kroku.
W tych terminach reguła z poprzedniego akapitu, która określa kolejność wykonywania czynności, zostanie zapisana w następujący sposób: jeśli wyrażenie nie zawiera nawiasów, to w kolejności od lewej do prawej czynności z drugiego etapu ( najpierw wykonuje się mnożenie i dzielenie), a następnie czynności pierwszego etapu (dodawanie i odejmowanie).
Wyrażenia często zawierają nawiasy wskazujące kolejność wykonywania czynności. W tym przypadku reguła określająca kolejność wykonywania akcji w wyrażeniach z nawiasami, jest sformułowane w następujący sposób: najpierw wykonuje się czynności w nawiasach, przy czym mnożenie i dzielenie również wykonuje się w kolejności od lewej do prawej, a następnie dodawanie i odejmowanie.
Tak więc wyrażenia w nawiasach są uważane za składniki pierwotnego wyrażenia, a kolejność znanych nam już działań jest w nich zachowana. Rozważ rozwiązania przykładów dla większej przejrzystości.
Przykład.
Wykonaj podane kroki 5+(7−2 3) (6−4):2 .
Rozwiązanie.
Wyrażenie zawiera nawiasy, więc najpierw wykonajmy działania w wyrażeniach zawartych w tych nawiasach. Zacznijmy od wyrażenia 7−2 3 . W nim musisz najpierw wykonać mnożenie, a dopiero potem odejmowanie, mamy 7−2 3=7−6=1 . Przechodzimy do drugiego wyrażenia w nawiasach 6-4 . Jest tu tylko jedna czynność - odejmowanie, wykonujemy ją 6−4=2 .
Uzyskane wartości podstawiamy do oryginalnego wyrażenia: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2. W otrzymanym wyrażeniu najpierw wykonujemy mnożenie i dzielenie od lewej do prawej, a następnie odejmowanie, otrzymujemy 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6 . Na tym wszystkie czynności są zakończone, zachowaliśmy następującą kolejność ich wykonywania: 5+(7−2 3) (6−4):2 .
Napiszmy krótkie rozwiązanie: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.
Odpowiadać:
5+(7-2 3)(6-4):2=6.
Zdarza się, że wyrażenie zawiera nawiasy w nawiasach. Nie powinieneś się tego bać, wystarczy konsekwentnie stosować dźwięczną zasadę wykonywania czynności w wyrażeniach z nawiasami. Pokażmy przykładowe rozwiązanie.
Przykład.
Wykonaj czynności w wyrażeniu 4+(3+1+4·(2+3)) .
Rozwiązanie.
Jest to wyrażenie w nawiasach, co oznacza, że wykonanie akcji musi rozpocząć się od wyrażenia w nawiasach, czyli od 3+1+4 (2+3) . To wyrażenie zawiera również nawiasy, więc musisz najpierw wykonać w nich czynności. Zróbmy to: 2+3=5 . Podstawiając znalezioną wartość, otrzymujemy 3+1+4 5 . W tym wyrażeniu najpierw wykonujemy mnożenie, potem dodawanie, mamy 3+1+4 5=3+1+20=24 . Wartość początkowa, po podstawieniu tej wartości, przyjmuje postać 4+24 i pozostaje tylko dokończenie akcji: 4+24=28 .
Odpowiadać:
4+(3+1+4 (2+3))=28 .
Ogólnie rzecz biorąc, jeśli w wyrażeniu występują nawiasy w nawiasach, często wygodnie jest zacząć od nawiasów wewnętrznych i przejść do nawiasów zewnętrznych.
Na przykład powiedzmy, że musimy wykonać operacje na wyrażeniu (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Najpierw wykonujemy czynności w nawiasach wewnętrznych, ponieważ 4−6:2=4−3=1 , po czym oryginalne wyrażenie przyjmie postać (4+(4+1)−1)−1 . Ponownie wykonujemy akcję w nawiasach wewnętrznych, ponieważ 4+1=5 , to dochodzimy do następującego wyrażenia (4+5−1)−1 . Ponownie wykonujemy czynności w nawiasach: 4+5−1=8 , podczas gdy dochodzimy do różnicy 8−1 , która jest równa 7 .
