O równoleżniku i siecznej.
Poza literaturą rosyjskojęzyczną twierdzenie Talesa bywa nazywane innym twierdzeniem planimetrii, mianowicie stwierdzeniem, że kąt wpisany oparty na średnicy koła jest prawidłowy. Odkrycie tego twierdzenia rzeczywiście przypisuje się Talesowi, o czym świadczy Proclus.
Jeżeli na jednej z dwóch prostych odłożymy kolejno kilka równe segmenty i przez ich końce narysuj równoległe linie przecinające drugą linię, a następnie odetną równe segmenty na drugiej linii.
Bardziej ogólne sformułowanie, zwane także twierdzenie o segmentach proporcjonalnych
Linie równoległe przecinają proporcjonalne segmenty w siecznych:
A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . (\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)Dowód w przypadku siecznych
Rozważ wariant z niepołączonymi parami odcinków: niech kąt będzie przecinany liniami prostymi A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) i gdzie A B = C D (\displaystyle AB=CD).
Dowód w przypadku linii równoległych
Narysujmy linię prostą pne. rogi ABC oraz BCD są równe krzyżykom wewnętrznym leżącym na równoległych liniach AB oraz płyta CD i sieczny pne i kąty ACB oraz CBD są równe krzyżykom wewnętrznym leżącym na równoległych liniach AC oraz BD i sieczny pne. Następnie, zgodnie z drugim kryterium równości trójkątów, trójkąty ABC oraz DCB są równe. Stąd wynika, że AC = BD oraz AB = płyta CD. ■
Jeśli w twierdzeniu Thalesa równe segmenty zaczynają się od wierzchołka (często w literatura szkolna to sformułowanie jest używane) twierdzenie odwrotne będzie również prawdziwe. Dla przecinających się siecznych formułuje się to w następujący sposób:
W odwrotnym twierdzeniu Thalesa ważne jest, aby równe segmenty zaczynały się od wierzchołka
Tak więc (patrz rys.) z faktu, że C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots ), wynika z tego A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).
Jeśli sieczki są równoległe, konieczne jest wymaganie równości odcinków na obu siecznych między sobą, w przeciwnym razie stwierdzenie to staje się nieprawidłowe (kontrprzykładem jest trapez przecięty linią przechodzącą przez punkty środkowe podstaw).
Twierdzenie to jest wykorzystywane w nawigacji: kolizja statków poruszających się ze stałą prędkością jest nieunikniona, jeśli zostanie zachowany kierunek od jednego statku do drugiego.
Poniższe stwierdzenie jest podwójne do lematu Sollertinsky'ego:
|
Wynajmować f (\styl wyświetlania f)- korespondencja projekcyjna między punktami linii l (\styl wyświetlania l) i bezpośredni m (\styl wyświetlania m). Wtedy zbiór linii będzie zbiorem stycznych do pewnego (ewentualnie zdegenerowanego) przekroju stożkowego. |
W przypadku twierdzenia Talesa, stożka będzie punktem w nieskończoności, odpowiadającym kierunkowi linii równoległych.
To stwierdzenie jest z kolei przypadkiem granicznym następującego stwierdzenia:
|
Wynajmować f (\styl wyświetlania f) to projekcyjna transformacja stożka. Następnie obwiednia zbioru linii X f (X) (\displaystyle Xf(X)) będzie stożkowy (prawdopodobnie zdegenerowany). |
O równoleżniku i siecznej.
Poza literaturą rosyjskojęzyczną twierdzenie Talesa bywa nazywane innym twierdzeniem planimetrii, mianowicie stwierdzeniem, że kąt wpisany oparty na średnicy koła jest prawidłowy. Odkrycie tego twierdzenia rzeczywiście przypisuje się Talesowi, o czym świadczy Proclus.
Jeśli na jednej z dwóch linii prostych kilka równych odcinków zostanie kolejno odłożonych na bok, a przez ich końce poprowadzone zostaną równoległe linie, przecinające drugą prostą, to odetną równe odcinki na drugiej prostej.
Bardziej ogólne sformułowanie, zwane także twierdzenie o segmentach proporcjonalnych
Linie równoległe przecinają proporcjonalne segmenty w siecznych:
A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . (\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)Dowód w przypadku siecznych
Rozważ wariant z niepołączonymi parami odcinków: niech kąt będzie przecinany liniami prostymi A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) i gdzie A B = C D (\displaystyle AB=CD).
Dowód w przypadku linii równoległych
Narysujmy linię prostą pne. rogi ABC oraz BCD są równe krzyżykom wewnętrznym leżącym na równoległych liniach AB oraz płyta CD i sieczny pne i kąty ACB oraz CBD są równe krzyżykom wewnętrznym leżącym na równoległych liniach AC oraz BD i sieczny pne. Następnie, zgodnie z drugim kryterium równości trójkątów, trójkąty ABC oraz DCB są równe. Stąd wynika, że AC = BD oraz AB = płyta CD. ■
Jeśli w twierdzeniu Thalesa równe segmenty zaczynają się od wierzchołka (takie sformułowanie jest często używane w literaturze szkolnej), to twierdzenie odwrotne również okaże się prawdziwe. Dla przecinających się siecznych formułuje się to w następujący sposób:
Tak więc (patrz rys.) z faktu, że C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots ), wynika z tego A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).
Jeśli sieczki są równoległe, konieczne jest wymaganie równości odcinków na obu siecznych między sobą, w przeciwnym razie stwierdzenie to staje się nieprawidłowe (kontrprzykładem jest trapez przecięty linią przechodzącą przez punkty środkowe podstaw).
Twierdzenie to jest wykorzystywane w nawigacji: kolizja statków poruszających się ze stałą prędkością jest nieunikniona, jeśli zostanie zachowany kierunek od jednego statku do drugiego.
Poniższe stwierdzenie jest podwójne do lematu Sollertinsky'ego:
|
Wynajmować f (\styl wyświetlania f)- korespondencja projekcyjna między punktami linii l (\styl wyświetlania l) i bezpośredni m (\styl wyświetlania m). Następnie zestaw linii X f (X) (\displaystyle Xf(X)) dla niektórych będzie zbiorem stycznych |
Czy wiesz, że Tales z Miletu był wówczas jednym z siedmiu najsłynniejszych mędrców Grecji. Założył szkołę jońską. Ideą promowaną przez Talesa w tej szkole była jedność wszystkich rzeczy. Mędrzec wierzył, że istnieje jedno źródło, z którego powstały wszystkie rzeczy.
Wielką zasługą Talesa z Miletu jest stworzenie geometrii naukowej. Ta wielka nauka była w stanie stworzyć geometrię dedukcyjną z egipskiej sztuki pomiaru, której podstawą jest wspólna płaszczyzna.
Oprócz ogromnej wiedzy z zakresu geometrii Tales był również dobrze zorientowany w astronomii. Em jako pierwszy przewidział całkowite zaćmienie Słońca. Ale tak się nie stało w nowoczesny świat i z powrotem w 585, jeszcze przed naszą erą.
Tales z Miletu był człowiekiem, który zdał sobie sprawę, że północ może być dokładnie określona przez konstelację Ursa Minor. Ale to też nie był on. najnowsze odkrycie, ponieważ był w stanie dokładnie określić długość roku, rozbić go na trzysta sześćdziesiąt pięć dni, a także ustalić czas równonocy.
Thales był właściwie wszechstronnie rozwiniętym i mądrym człowiekiem. Oprócz tego, że zasłynął jako znakomity matematyk, fizyk, astronom, jako prawdziwy meteorolog potrafił dość dokładnie przewidzieć zbiory oliwek.
Ale najbardziej niezwykłe jest to, że Tales nigdy nie ograniczał swojej wiedzy tylko do pola naukowego i teoretycznego, ale zawsze starał się skonsolidować dowody swoich teorii w praktyce. A najciekawsze jest to, że wielki mędrzec nie skupiał się na jednym obszarze swojej wiedzy, jego zainteresowania miały różne kierunki.
Już wtedy imię Talesa stało się powszechnie znane mędrcowi. Jego znaczenie i znaczenie dla Grecji było tak wielkie, jak imię Łomonosowa dla Rosji. Oczywiście jego mądrość można interpretować na różne sposoby. Ale z całą pewnością możemy powiedzieć, że cechowała go zarówno pomysłowość, jak i pomysłowość praktyczna, a do pewnego stopnia dystans.
Tales z Miletu był znakomitym matematykiem, filozofem, astronomem, uwielbiał podróżować, był kupcem i przedsiębiorcą, zajmował się handlem, a także był dobrym inżynierem, dyplomatą, jasnowidzem i aktywnie uczestniczył w życiu politycznym.
Udało mu się nawet określić wysokość piramidy za pomocą laski i cienia. I tak było. Pewnego pięknego słonecznego dnia Tales umieścił swoją laskę na granicy, gdzie kończył się cień piramidy. Potem czekał, aż długość cienia jego laski zrówna się z jego wzrostem i zmierzył długość cienia piramidy. Wydawałoby się więc, że Tales po prostu określił wysokość piramidy i udowodnił, że długość jednego cienia ma związek z długością drugiego cienia, tak jak wysokość piramidy ma związek z wysokością laski. Uderzyło to samego faraona Amazisa.
Dzięki Thalesowi cała znana wówczas wiedza została przeniesiona na pole zainteresowań naukowych. Był w stanie doprowadzić wyniki do poziomu odpowiedniego do konsumpcji naukowej, podkreślając pewien zestaw pojęć. I być może z pomocą Talesa rozpoczął się dalszy rozwój starożytnej filozofii.
Twierdzenie Thalesa odgrywa ważną rolę w matematyce. Znana była nie tylko w Starożytny Egipt i Babilon, ale także w innych krajach i był podstawą rozwoju matematyki. Tak i w Życie codzienne, podczas budowy budynków, budowli, dróg itp. nie można obejść się bez twierdzenia Thalesa.
Twierdzenie Thalesa zasłynęło nie tylko w matematyce, ale zostało również wprowadzone do kultury. Kiedyś argentyńska grupa muzyczna Les Luthiers (hiszpański) zaprezentowała publiczności piosenkę, którą poświęcili znanemu twierdzeniu. Członkowie Les Luthiers w swoim klipie wideo specjalnie do tej piosenki dostarczyli dowodów na bezpośrednie twierdzenie o segmentach proporcjonalnych.
Ten grób jest mały, ale chwała nad nim jest ogromna.
W nim, przed tobą, ukryty jest wielostronny Tales.
Inskrypcja na grobie Talesa z Miletu
Wyobraź sobie taki obraz. 600 pne Egipt. Przed tobą ogromny piramida egipska. Aby zaskoczyć faraona i pozostać wśród jego ulubionych, musisz zmierzyć wysokość tej piramidy. Nie masz… nic do swojej dyspozycji. Możesz wpaść w rozpacz lub możesz zrobić co Tales z Miletu: użyj twierdzenia o podobieństwie trójkątów. Tak, okazuje się, że wszystko jest dość proste. Tales z Miletu czekał, aż długość jego cienia i jego wysokość zbiegną się, a następnie, korzystając z twierdzenia o podobieństwie trójkątów, znalazł długość cienia piramidy, która w związku z tym była równa cieniu rzucanemu przez piramidę.
Kto to jest Tales z Miletu? Człowieka, który zasłynął jako jeden z „siedmiu mędrców” starożytności? Tales z Miletu - starożytny filozof grecki, który wyróżnił się sukcesami w dziedzinie astronomii oraz matematyki i fizyki. Lata jego życia zostały ustalone tylko w przybliżeniu: 625-645 pne
Wśród dowodów wiedzy Talesa o astronomii jest następujący przykład. 28 maja 585 pne przepowiednia Miletu zaćmienie Słońca pomógł zakończyć trwającą od sześciu lat wojnę między Lydią a mediami. Zjawisko to tak przeraziło Medów, że zgodzili się na niekorzystne warunki zawarcia pokoju z Lidyjczykami.
Legenda, która charakteryzuje Thalesa jako osobę zaradną, jest dość powszechnie znana. Tales często słyszał niepochlebne komentarze na temat swojej biedy. Kiedyś postanowił udowodnić, że filozofowie mogą, jeśli chcą, żyć w obfitości. Nawet zimą Tales obserwując gwiazdy ustalił, że latem będzie dobre zbiory oliwki. Następnie wynajął olejarnie w Milecie i Chios. Kosztowało go to dość tanio, ponieważ zimą praktycznie nie ma na nie popytu. Kiedy oliwki dały obfite plony, Thales zaczął wynajmować swoje prasy do oliwy. Zebrane duża liczba pieniądze tą metodą uważano za dowód na to, że filozofowie mogą zarabiać umysłem, ale ich powołanie jest wyższe niż takie ziemskie problemy. Nawiasem mówiąc, tę legendę powtórzył sam Arystoteles.
Jeśli chodzi o geometrię, wiele jego „odkryć” zostało zapożyczonych od Egipcjan. A jednak ten transfer wiedzy do Grecji jest uważany za jedną z głównych zasług Talesa z Miletu.
Osiągnięcia Thalesa są sformułowaniem i dowodem na to, co następuje: twierdzenia:
Inne twierdzenie nosi imię Talesa, które jest przydatne w rozwiązywaniu problemów geometrycznych. Jest jego uogólniony i prywatny widok, twierdzenie odwrotne, sformułowania mogą się również nieznacznie różnić w zależności od źródła, ale ich znaczenie pozostaje takie samo. Rozważmy to twierdzenie.
Jeśli równoległe linie przecinają boki kąta i odcinają równe odcinki z jednej strony, to odcinają równe odcinki z drugiej strony.
Powiedzmy, że punkty A 1, A 2, A 3 to punkty przecięcia prostych równoległych z jednym z boków kąta, a B 1, B 2, B 3 to punkty przecięcia prostych równoległych z drugim bokiem kąta kąt. Konieczne jest udowodnienie, że jeśli A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, to B 1 B 2 \u003d B 2 B 3.
Narysuj linię przechodzącą przez punkt B 2 równolegle do linii A 1 A 2 . Wyznaczmy nową linię prostą С 1 С 2 . Rozważ równoległoboki A 1 C 1 B 2 A 2 i A 2 B 2 C 2 A 3 .
Właściwości równoległoboku pozwalają nam stwierdzić, że A1A2 = C 1 B 2 i A 2 A 3 = B 2 C 2 . A ponieważ zgodnie z naszym warunkiem A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, to C 1 B 2 \u003d B 2 C 2. 
I na koniec rozważmy trójkąty ∆ C 1 B 2 B 1 i ∆ C 2 B 2 B 3 .
C 1 B 2 = B 2 C 2 (udowodniono powyżej).
A to oznacza, że Δ C 1 B 2 B 1 i Δ C 2 B 2 B 3 będą równe zgodnie z drugim znakiem równości trójkątów (wzdłuż boku i kątów sąsiednich). W ten sposób udowodniono twierdzenie Talesa. Zastosowanie tego twierdzenia znacznie ułatwi i przyspieszy rozwiązywanie problemów geometrycznych. Powodzenia w opanowaniu tej zabawnej nauki matematyki! strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.
